Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.
Что такое инерция
Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.
Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции» .
Определение момента инерции
Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела . Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.
По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.
Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.
Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm , то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.
Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m , вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:
Теорема Штейнера
От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.
Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:
Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:
Пример решения задачи на нахождение момента инерции
Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.
Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.
Решение:
Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r , а масса – dm . Тогда момент инерции кольца:
Массу кольца можно представить в виде:
Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:
В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.
Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.
Решение:
Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:
Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач .
Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе . Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.
Осевой момент сопротивления - отношение момента инерции относительно оси к расстоянию от нее до наиболее удаленной точки сечения. [см 3 , м 3 ]
Особенно важны моменты сопротивления относительно главных центральных осей:
прямоугольник:
;
круг:W x =W y =
,
трубчатое
сечение (кольцо): W x =W y =
,
где =
d Н /d B .
Полярный
момент сопротивления - отношение
полярного момента инерции к расстоянию
от полюса до наиболее удаленной точки
сечения:
.
Для
круга W р =
.
Кручение
Т
акой
вид деформации, при котором в поперечных
сечениях возникает только одни крутящие
моменты - М к.
Знак крутящего момента М к
удобно определять по направлению
внешнего момента. Если при взгляде со
стороны сечения внешний момент направлен
против час.стр., то М к >0
(встречается и обратное правило). При
кручении происходит поворот одного
сечения относительно другого на угол
закручивания
-.
При кручении круглого бруса (вала)
возникает напряженное состояние чистого
сдвига (нормальные напряжения отсутствуют),
возникают только касательные напряжения.
Принимается, что сечения плоские до
закручивания остаются плоскими и после
закручивания - закон
плоских сечений
.
Касательные напряжения в точках сечения
изменяются пропорционально расстоянию
точек от оси. Из закона Гука при сдвиге:
=G,
G - модуль сдвига,
,
- полярный момент сопротивления круглого
сечения. Касательные напряжения в центре
равны нулю, чем дальше от центра, тем
они больше. Угол закручивания
,GJ p
- жесткость
сечения при кручении
.
-относительный
угол закручивания
.
Потенциальная энергия при кручении:
.
Условие прочности:
,
[]
=
,
для пластичного материала за пред
принимается предел текучести при сдвиге
т,
для хрупкого материала – в
– предел прочности, [n]
– коэффициент запаса прочности. Условие
жесткости при кручении: max []
– допустимый угол закручивания.
Кручение бруса прямоугольного сечения
П
ри
этом нарушается закон плоских сечений,
сечения некруглой формы при кручении
искривляются –депланация
поперечного сечения.
Эпюры касательных напряжений прямоугольного сечения.
;
,J k
и W k
- условно называют моментом инерции и
моментом сопротивления при кручении.
W k =
hb 2 ,
J k = hb 3 , Максимальные касательные напряжения max будут посредине длинной стороны, напряжения по середине короткой стороны: = max , коэффициенты: ,, приводятся в справочниках в зависимости от отношения h/b (например, при h/b=2, =0,246; =0,229; =0,795.
Изгиб
П
лоский
(прямой) изгиб
- когда изгибающий момент действует в
плоскости, проходящей через одну из
главных центральных осей инерции
сечения, т.е. все силы лежат в плоскости
симметрии балки. Основные
гипотезы
(допущения): гипотеза о не надавливании
продольных волокон: волокна, параллельные
оси балки, испытывают деформацию
растяжения – сжатия и не оказывают
давления друг на друга в поперечном
направлении; гипотеза плоских сечений:
сечение балки, плоское до деформации,
остается плоским и нормальным к
искривленной оси балки после деформации.
При плоском изгибе в общем случае
возникают внутренние
силовые факторы
:
продольная сила N,
поперечная сила Q
и изгибающий момент М. N>0,
если продольная сила растягивающая;
при М>0 волокна сверху балки сжимаются,
снизу растягиваются.
.
С
лой,
в котором отсутствуют удлинения,
называетсянейтральным
слоем
(осью,
линией). При N=0
и Q=0,
имеем случай чистого
изгиба.
Нормальные напряжения:
,
- радиус кривизны нейтрального слоя,
y
- расстояние от некоторого волокна до
нейтрального слоя. Закон
Гука при изгибе
:
,
откуда (формула Навье):
,J x
- момент инерции сечения относительно
главной центральной оси, перпендикулярной
плоскости изгибающего момента, EJ x
- жесткость при изгибе,
- кривизна нейтрального слоя.
М
аксимальные
напряжения при изгибе возникают в
точках, наиболее удаленных от нейтрального
слоя:
,J x /y max =W x -момент
сопротивления сечения при изгибе,
.
Если сечение не имеет горизонтальной
оси симметрии, то эпюра нормальных
напряжений
не будет симметричной. Нейтральная ось
сечения проходит через центр тяжести
сечения. Формулы для определения
нормального напряжения для чистого
изгиба приближенно годятся и когда Q0.
Это случай поперечного
изгиба
. При
поперечном изгибе, кроме изгибающего
момента М, действует поперечная сила
Q
и в сечении возникают не только нормальные
,
но и касательные
напряжения. Касательные напряжения
определяются формулой
Журавского:
,
гдеS x (y)
- статический момент относительно
нейтральной оси той части площади,
которая расположена ниже или выше слоя,
отстоящего на расстоянии "y"
от нейтральной оси; J x
- момент инерции всего
поперечного сечения относительно
нейтральной оси, b(y)
- ширина сечения в слое, на котором
определяются касательные напряжения.
Д
ля
прямоугольного сечения:
,F=bh,
для круглого сечения:
,F=R 2 ,
для сечения любой формы
,
k- коэфф., зависящий от формы сечения (прямоугольник: k= 1,5; круг - k= 1,33).
M
max
и Q max
определяются из эпюр изгибающих моментов
и поперечных сил. Для этого балка
разрезается на две части и рассматривается
одна из них. Действие отброшенной части
заменяется внутренними силовыми
факторами М и Q,
которые определяются из уравнений
равновесия. В некоторых вузах момент
М>0 откладывается вниз, т.е. эпюра
моментов строится на растянутых волокнах.
При Q=
0 имеем экстремум эпюры моментов.
Дифференциальные
зависимости между М,
Q
и
q
:
q - интенсивность распределенной нагрузки [кН/м]
Главные напряжения при поперечном изгибе :
.
Расчет
на прочность при изгибе
:
два условия прочности, относящиеся к
различным точкам балки: а) по нормальным
напряжениям
,
(точки наиболее удаленные от С); б) по
касательным напряжениям
,
(точки на нейтр.оси). Из а) определяют
размеры балки:
,
которые проверяют по б). В сечениях балок
могут быть точки, где одновременно
большие нормальные и большие касательные
напряжения. Для этих точек находятся
эквивалентные напряжения, которые не
должны превышать допустимых. Условия
прочности проверяются по различным
теориям прочности
I-я:
;II-я:(при коэфф.Пуассона=0,3);
- применяются редко.
теория
Мора:
,
(используется для чугуна, у которого
допускаемое напряжение на растяжение
[ р ][ с ]
– на сжатие).
Если m = 1, n = 1, тогда получим характеристику
которая называется центробежным моментом инерции .
Центробежный момент инерции относительно осей координат – сумма произведений элементарных площадей dA на их расстояния до этих осей, взятая по всей площади сечения А .
Если хотя бы одна из осей y
или z
является осью симметрии сечения, центробежный момент инерции такого сечения относительно этих осей равен нулю (так как в этом случае каждой положительной величине z·y·dA
можем поставить в соответствие точно такую же, но отрицательную, по другую сторону от оси симметрии сечения, см. рисунок).
Рассмотрим дополнительные геометрические характеристики, которые могут быть получены из перечисленных основных и также часто используются в расчетах на прочность и жесткость.
Полярный момент инерции
Полярным моментом инерции J p называют характеристику
С другой стороны,
Полярный момент инерции
(относительно данной точки) – сумма произведений элементарных площадей dA
на квадраты их расстояний 
до этой точки, взятая по всей площади сечения А
.
Размерность моментов инерции – м 4 в СИ.
Момент сопротивления
Момент сопротивления относительно некоторой оси – величина равная моменту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию (y max или z max ) до наиболее удаленной от этой оси точки
Размерность моментов сопротивления – м 3 в СИ.
Радиус инерции
Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, называется величина, определяемая из соотношения:
Радиусы инерции выражаются в м в системе СИ.
Замечание: сечения элементов современных конструкций часто представляют собой некоторую композицию из материалов с разным сопротивлением упругим деформациям, характеризуемым, как известно из курса физики, модулем Юнга E . В самом общем случае неоднородного сечения модуль Юнга является непрерывной функцией координат точек сечения, т. е. E = E(z, y) . Поэтому жесткость неоднородного по упругим свойствам сечения характеризуется более сложными, чем геометрические характеристики однородного сечения, характеристиками, а именно упруго-геометрическими вида
2.2. Вычисление геометрических характеристик простых фигур
Прямоугольное сечение
Определим осевой момент инерции прямоугольника относительно оси z . Разобьем площадь прямоугольника на элементарные площадки с размерами b (ширина) и dy (высота). Тогда площадь такого элементарного прямоугольника (заштрихован) равна dA = b · dy . Подставляя значение dA в первую формулу, получим
По аналогии запишем осевой момент относительно оси у :
Осевые моменты сопротивления прямоугольника:
; 
Подобным образом можно получить геометрические характеристики и для других простых фигур.
Круглое сечение
Сначала удобно найти полярный момент инерции J p .
Затем, учитывая, что для круга J z = J y , а J p = J z + J y , найдем J z = J y = J p / 2.
Разобьем круг на бесконечно малые кольца толщиной dρ и радиусом ρ ; площадь такого кольца dA = 2 ∙ π ∙ ρ ∙ dρ . Подставляя выражение для dA в выражение для J p и интегрируя, получим
2.3. Вычисление моментов инерции относительно параллельных осей
z и y :
Требуется определить моменты инерции этого сечения относительно «новых» осей z 1 и y 1 , параллельных центральным и отстоящих от них на расстояние a и b соответственно:
Координаты любой точки в «новой» системе координат z 1 0 1 y 1 можно выразить через координаты в «старых» осях z и y так:
Так как оси z и y – центральные, то статический момент S z = 0.
Окончательно можем записать формулы «перехода» при параллельном переносе осей:
Отметим, что координаты a и b необходимо подставлять с учетом их знака (в системе координат z 1 0 1 y 1 ).
2.4. Вычисление моментов инерции при повороте координатных осей
Пусть известны моменты инерции произвольного сечения относительно центральных осей z, y :
; 
;
Повернем оси z , y на угол α против часовой стрелки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным.
Требуется определить моменты инерции относительно «новых» (повернутых) осей z 1 и y 1 :
Координаты элементарной площадки dA в «новой» системе координат z 1 0y 1 можно выразить через координаты в «старых» осях так:
Подставляем эти значения в формулы для моментов инерции в «новых» осях и интегрируем почленно:
Проделав аналогичные преобразования с остальными выражениями, запишем окончательно формулы «перехода» при повороте координатных осей:
Отметим, что если сложить два первых уравнения, то получим
т. е. полярный момент инерции есть величина инвариантная (другими словами, неизменная при повороте координатных осей).
2.5. Главные оси и главные моменты инерции
До сих пор рассматривались геометрические характеристики сечений в произвольной системе координат, однако наибольший практический интерес представляет система координат, в которой сечение описывается наименьшим количеством геометрических характеристик. Такая «особая» система координат задается положением главных осей сечения. Введем понятия: главные оси и главные моменты инерции .
Главные оси – две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, при этом осевые моменты инерции принимают экстремальные значения (максимум и минимум).
Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями .
Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.
Главные центральные оси принято обозначать буквами u и v ; главные моменты инерции – J u и J v (по определению J uv = 0).
Выведем выражения, позволяющие находить положение главных осей и величину главных моментов инерции. Зная, что J uv = 0, воспользуемся уравнением (2.3):
Угол α 0 определяет положение главных осей относительно любых центральных осей z и y . Угол α 0 откладывается между осью z и осью u и считается положительным в направлении против часовой стрелки.
Заметим, что если сечение имеет ось симметрии, то, в соответствии со свойством центробежного момента инерции (см. разд.2.1, п.4), такая ось всегда будет главной осью сечения.
Исключая угол α в выражениях (2.1) и (2.2) с помощью (2.4), получим формулы для определения главных осевых моментов инерции:
Запишем правило: ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей (z или y), относительно которой момент инерции имеет большее значение.
2.6. Рациональные формы поперечных сечений
Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения балки при прямом изгибе определяются по формуле:
, (2.5)
где М – изгибающий момент в рассматриваемом поперечном сечении; у – расстояние от рассматриваемой точки до главной центральной оси, перпендикулярной плоскости действия изгибающего момента; J x – главный центральный момент инерции сечения.
Наибольшие растягивающие и сжимающие нормальные напряжения в данном поперечном сечении возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. Их определяют по формулам:
; 
,
где у 1 и у 2 – расстояния от главной центральной оси Х до наиболее удаленных растянутого и сжатого волокон.
Для балок из пластичных материалов, когда [σ p ] = [σ c ] ([σ p ], [σ c ] – допускаемые напряжения для материала балки соответственно на растяжение и сжатие), применяют сечения, симметричные относительно центральной оси. В этом случае условие прочности имеет вид:
≤
[σ], (2.6)
где W x = J x / y max – момент сопротивления площади поперечного сечения балки относительно главной центральной оси; y max = h / 2 (h – высота сечения); М max – наибольший по абсолютному значению изгибающий момент; [σ] – допускаемое напряжение материала на изгиб.
Кроме условия прочности балка должна удовлетворять и условию экономичности. Наиболее экономичными являются такие формы поперечных сечений, для которых с наименьшей затратой материала (или при наименьшей площади поперечного сечения) получается наибольшая величина момента сопротивления. Чтобы форма сечения была рациональной, необходимо, по возможности, распределять сечение подальше от главной центральной оси.
Например, двутавровая стандартная балка примерно в семь раз прочнее и в тридцать раз жестче, чем балка квадратного поперечного сечения той же площади сделанного из того же материала.
Необходимо иметь в виду, что при изменении положения сечения по отношению к действующей нагрузке прочность балки существенно изменяется, хотя площадь сечения остается неизменной. Следовательно, сечение надо располагать так, чтобы силовая линия совпадала с той из главных осей, относительно которых момент инерции минимален. Следует стремится, чтобы изгиб бруса проходил в плоскости его наибольшей жесткости.
Статикой называется раздел теоретической механики, в котором излагается общее учение о силах и изучаются условия равновесия тел, находящихся под действием сил.
В основе статики лежат некоторые основные положения (аксиомы ), которые являются обобщением многовекового производственного опыта человечества и теоретических исследований.
Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твёрдое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по величине и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис.1.2).
Рис.1.2
Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно твёрдое тело не изменится, если к ней прибавить или от неё отнять уравновешенную систему сил. Если , то . Следствие : действие силы на абсолютно твёрдое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль её линии действия в любую другую точку тела. Пусть на тело действует приложенная в точке А сила . Выберем на линии действия этой силы произвольную точку В , и приложим к ней уравновешенные силы и , причём , . Так как силы и образуют уравновешенную систему сил, то согласно второй аксиоме статики их можно отбросить. В результате на тело будет действовать только одна сила , равная , но приложенная в точке В (рис.1.3).
Рис.1.3
Аксиома 3. Две силы, приложенные к твёрдому телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах. Вектор , равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах и , называется геометрической суммой векторов и (рис.1.4).
Аксиома 4. Закон равенства действия и противодействия. При всяком действии одного тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие (рис.1.5).
Рис.1.5
Аксиома 5. Принцип отвердевания. Равновесие изменяемого (деформируемого) тела, находящегося под действи-ем данной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим, т.е. абсолютно твёрдым.
4.Геометрические характеристики фигур. Статический момент. Центробежный момент инерции, полярный момент инерции (основные понятия).
Результат расчетов зависит не только от площади сечения, поэтому при решении задач по сопромату не обойтись без определения геометрических характеристик фигур : статических, осевых, полярного и центробежного моментов инерции. Обязательно необходимо уметь определять положение центра тяжести сечения (от положения центра тяжести зависят перечисленные геометрические характеристики). К дополнению к геометрическим характеристикам простых фигур: прямоугольника, квадрата, равнобедренного и прямоугольного треугольников, круга, полукруга . Указаны центр тяжести и положение главных центральных осей, и определены относительно них геометрические характеристики при условии, что материал балки однородный.
Геометрические характеристики прямоугольника и квадрата
Осевые моменты инерции прямоугольника (квадрата)
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Осевые моменты инерции равнобедренного треугольника
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КРУГА
Осевые моменты инерции круга
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛУКРУГА
Осевые моменты инерции полукруга
Статический момент
Рассмотрим поперечное сечение стержня площадью F. Проведем через произвольную точку О оси координат x и y. Выделим элемент площади с координатами x и y (рис. 4.1).
Введем
понятие статического момента инерции
относительно оси - величину, равную
произведению элемента площади ()
на расстояние (обозначено буквой y) до
оси x:
Аналогично статический момент инерции относительно оси y равен:
Просуммировав такие произведения по площади F, получим статический момент инерции всей фигуры относительно осей x и y:
.
Статический момент инерции фигуры относительно оси измеряется в единицах длины в кубе (см3), и может быть положительным, отрицательным и равным нулю.
Пусть –координаты центра тяжести фигуры. Продолжая аналогию с моментом силы, можно записать следующие выражения:
Таким образом, моментом (статическим моментом) площади фигуры относительно оси называется произведение площади на расстояние от ее центра тяжести до оси.
Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системыкоординат называются следующие величины:
где x , y и z - координаты малого элемента тела объёмом dV , плотностью ρ и массой dm .
Ось OX называется главной осью инерции тела , если центробежные моменты инерции J xy и J xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти осивзаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции,проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела .
Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осямиинерции тела , а моменты инерции относительно этих осей - его главными центральными моментамиинерции . Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осейинерции.
Поля́рный моме́нт ине́рции - интегральная сумма произведений площадей элементарных площадок dA на квадрат расстояния их от полюса - ρ 2 (в полярной системе координат), взятая по всей площади сечения. То есть:
Эта величина используется для прогнозирования способности объекта оказывать сопротивлениекручению. Она имеет размерность единиц длины в четвёртой степени (м 4 , см 4 ) и может быть лишь положительной.
Для площади сечения, имеющей форму круга радиусом r полярный момент инерции равен:
Если совместить начало декартовой прямоугольной системы координат 0 с полюсом полярной системы (см. рис.), то
потому
что 
.
