Определение . Нормаль - это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.
Если существует конечная и отличная от нуля производная f"(x 0) то уравнение нормали к графику функции y=f(x) в точке x 0 выражается следующим уравнением:
Пример 1 . Написать уравнение нормали к кривой y=3x-x 2 в точке x 0 =2.
Решение.
1. Находим производную y"=3-2x
x 0 =2: f"(x 0)=f"(2)=3-2*2=-1
3. Находим значение функции в точке x 0 =2: f(x 0)=f(2)=3*2-2 2 =2
4. Подставляем найденные значения в уравнение нормали:
5. Получаем уравнение нормали: y=x
Калькулятор уравнения нормали
Найти уравнение нормали онлайн можно с помощью данного калькулятора.
Пример 2 . (Рассмотрим особый случай когда f"(x 0) равно нулю)
Написать уравнение нормали к кривой y=cos24x в точке x 0 =π/2
Решение.
1. Находим производную y"=2cos4x*(-sin4x*4)=-4sin2x
2. Находим значение производной в точке x 0 =π/2:
f"(x 0)=f"(π/2)=-4sin(2*π/2)=0 , следовательно уравнение нормали в данном случае применить нельзя.
Воспользуемся определением нормали,сначала находим , потом находим уравнение перпендикулярной прямой проходящей через данную точку.
Уравнение нормали в общем виде записывается как:
Если функция задана в параметрической форме x(t) , y(t) , то уравнение нормали находят по формуле:
(x–x 0)x’+(y-y 0)y’=0
Назначение сервиса . Данный сервис предназначен для нахождения уравнения нормали к кривой . Решение оформляется в формате Word . Для получения уравнения необходимо выбрать вид заданной функции.
Алгоритм составления уравнения нормали к графику функции
- Вычисление значения функции y 0 в точке x 0:y 0 = f(x 0). Если исходное значение y 0 задано, то переходим к п.2.
- Нахождение производной y"(x).
- Вычисление значения производной при x 0 .
- Запись уравнения нормали к кривой линии в форме: y k = y 0 - 1/y"(y 0)(x - x 0)
Пример
Задание №1
Найти уравнение нормали к параболе y = 1/2*x 2 в точке (-2;2).
Решение
находим с помощью калькулятора .
Запишем уравнения нормали в общем виде:
По условию задачи x 0 = -2, тогда y 0 = 2
Теперь найдем производную:
y" = (1 / 2 x 2)" = x
следовательно:
f"(-2) = -2 = -2
В результате имеем:
или
y k = 1 / 2 x+3
Задание №2
Написать уравнения нормали к кривой y 2 -1/2*x 3 -8 в точке M 0 (0;2).
Решение
.
Поскольку функция задана в неявном виде, то производную ищем по формуле:
Для нашей функции:
Тогда:
или
следовательно:
F x "(0;2) = 3 / 4 0 2 /2 = 0
В результате имеем:
или
x = 0
Задание №3
Написать уравнения нормали к эллипсу, заданному в параметрической форме: x = 5*sqrt(2)*cos(t);y = 3*sqrt(2)*sin(t) в точке M 0 (-5;3).
Решение
.
Запишем уравнения нормали в для функции, заданной в параметрической форме:
(x - x 0)x" + (y - y 0)y" = 0
Данной точке M 0 (-5;3) соответствует значение t = 3 / 4 π
Для нашей функции:
следовательно:
В результате имеем:
(x +5)-5 + (y - 3)-3 = 0
или
y k = -5x-3y-16
Рассмотрим кривую, уравнение которой имеет вид
Уравнение касательной к данной кривой в точке имеет вид:
Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку, перпендикулярную к касательной в этой точке.
Уравнение нормали к данной кривой в точке имеет вид:
(35)
Длина отрезка касательной, заключенного между точкой касания и осью абсцисс называется длиной касательной , проекция этого отрезка на ось абсцисс называется подкасательной .
Длина отрезка нормали, заключенного между точкой касания и осью абсцисс называется длиной нормали ,проекция этого отрезка на ось абсцисс называется поднормалью.
Пример 17
Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке, абсцисса которой равна.
Решение:
Найдем значение функции в точке :
Найдем производную заданной функции в точке
Ответ:
Уравнение
касательной:
Уравнение
нормали:
.
Пример 18
Написать уравнения касательной и нормали, длины касательной и подкасательной, длины нормали и поднормали для эллипса
в точке , для которой.
Решение:
Найдем как производную функции, заданной параметрически по формуле (10):
Найдем координаты точки касания : и значение производной в точке касания :
Уравнение касательной найдем по формуле (34):
Найдем координаты точкипересечения касательной с осью:
Длина касательной равна длине отрезка :
Согласно определению, подкасательная равна
Где угол – угол между касательной и осью. Поэтому,- угловой коэффициент касательной, равный
Таким образом, подкасательная равна
Уравнение нормали найдем по формуле (35):
Найдем координатыточкипересечения нормали с осью:
Длина нормали равна длине отрезка :
Согласно определению, поднормаль равна
Где угол – угол между нормалью и осью. Поэтому,- угловой коэффициент нормали, равный
Поэтому, поднормаль равна:
Ответ: Уравнение касательной:
Уравнение нормали:
Длина
касательной
;
подкасательная;
Длина
нормали
; поднормаль
Задания 7. Написать уравнения касательной и нормали:
1. К параболе в точке, абсцисса которой
2. К окружности в точках пересечения её с осью абсцисс
3. К циклоиде в точке, для которой
4.
В каких точках кривой
касательная параллельна:
а) оси Оx; б) прямой
.
10. Промежутки монотонности функции. Экстремумы функции.
Условие монотонности функции:
Для того, чтобы дифференцируемая на функцияне возрастала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неположительна.
Для того, чтобы дифференцируемая на функцияне убывала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неотрицательна.
Промежутки, на которых производная функции сохраняет определенный знак, называются промежутками монотонности функции
Пример 19
Найти промежутки монотонности функции .
Решение:
Найдем производную функции .
Найдем промежутки знакопостоянства полученной производной. Для этого
разложим полученный квадратный трехчлен на множители:
Исследуем знак полученного выражения, используя метод интервалов.
Таким образом, получаем согласно (36), (37),что заданная функция возрастает на и убывает на.
Ответ: Заданная функция возрастает наи убывает на.
Определение Функция имеет в точкелокальный максимум (минимум) , если существует такая окрестность точки , что для всехвыполняется условие
Локальный минимум или максимум функции называетсялокальным экстремумом.
Необходимое условие существования экстремума .
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки. Если функцияимеет в точкеэкстремумом, то производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.
Точка называетсякритической точкой функции , если производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.
Достаточные условия наличия экстремума в критической точке .
Пусть точка является критической.
Первое достаточное условие экстремума:
Пусть функция непрерывна в некоторой окрестноститочкии дифференцируема в каждой точке.
Точка является локальным максимумом, если при переходе через
производная функции меняет знак с плюса на минус.
Точка является локальным минимумом, если при переходе через
производная функции меняет знак с минуса на плюс.
Пример 20
Найти экстремумы функции .
Решение:
Найдем производную заданной функции
Приравнивая в полученной производной к нулю числитель и знаменатель, найдем критические точки:
Исследуем знак производной, используя метод интервалов.
Из рисунка видно, что при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в точке- локальный максимум.
При переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс.
Следовательно, в точке - локальный минимум.
При переходе через точку производная не меняет знак. Следовательно, критическая точкане является экстремумом заданной функции.
Ответ: - локальный максимум, - локальный минимум.
Второе достаточное условие экстремума:
Если первые производные функциив точкеравны нулю, а-ная производная функциив точкеотлична от нуля, то точкаявляется экстремумом функции, причем,
то -локальный минимум
то -локальный максимум.
Пример 21
Найти экстремумы функции, пользуясь второй производной .
Решение:
Найдем первую производную заданной функции
Найдем критические точки функции:
Точку мы не рассматриваем, так как функция определена только в левой окрестности.
Найдем вторую производную
Находим
Таким образом, на основании (39) делаем вывод о том, что при - локальный максимум.
Ответ: - локальный максимум.
Задания 8.
Исследовать на возростание и убывание функции:
|
2. |
3. |
|
Исследовать на экстремумы функции:
|
7 . |
|
||
|
8 . |
|
||
|
9
.
| |||
|
|
|||
Определение: нормалью к кривой у= ¦(х) в точке М 0 называется прямая, проходящая через точку М 0 и перпендикулярна касательной в точке М 0 к этой кривой.
Напишем уравнение касательной и нормали, зная уравнение кривой и координаты точки М 0 . Касательная имеет угловой коэффициент к= t g = ¦ , (х 0). Из аналитической геометрии известно, что прямая имеет уравнение у- у 0 = к(х – х 0).
Поэтому уравнение касательной: у - у 0 = ¦ , (х 0)(х – х 0); (1)
Угловой коэффициент нормали К н = (так как они перпендикулярны), но тогда уравнение нормали:
у- у 0 =(-1/ ¦ , (х 0)(х – х 0); (2)
Если в точке не существует производная, то в этой точке не существует и касательная.
Например, функция ¦(х)=|х| в точке х=0 не имеет производной.
lim D х ®0 (D у/ D х)= lim D х ®0 (| D х|/ D х)=
Односторонние пределы существуют, но lim D х ®0 (D у/ D х) не существует
Касательная тоже.
Такая точка называется угловой точкой графика.
§4. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
Справедлива следующая теорема о дифференцируемой функции.
Теорема: если функция у= ¦(х) имеет конечную производную в точке х 0, то функция непрерывна в этой точке.
Доказательство:
Т.к. в точке х 0 существует производная ¦ , (х 0), т.е. существует предел
lim D х ®0 (D у/ D х)= ¦ , (х 0), то D у/ D х= ¦ , (х 0)+ , где
Б.м.в., зависящая от D х. При D х®0, ®0, т.к. = (D у/ D х) - ¦ , (х 0) ®0 при D х®0
Отсюда имеем: D у= ¦ , (х 0) D х + D х.
Но тогда
Бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, поэтому ¦(х) непрерывна в точке х 0 .
Важно понять, что обратная теорема не верна!
Не всякая непрерывная функция является дифференцируемой.
Так, ¦(х) =|х| является непрерывной в точке х 0 =0, график – сплошная линия, но ¦ , (0) не существует.
§5. Производные постоянной, синуса, косинуса и степенной функции.
1. у= ¦(х) =с; у, = (с) , = 0; (1)
Доказательство:
а) в любой точке х ¦(х) = с
б) дадим х приращение D х, х + D х, значение функции ¦ (х + D х)= с;
в) ¦ (х + D х)- ¦(х)= с- с= 0;
г) D у/ D х= 0/ D х = 0
д) lim D х ®0 (D у/ D х)= lim D х ®0 0 = 0
2. у= sin х; у, = (sin х) , = cos х; (2)
Доказательство:
а) в любой точке х ¦(х) = sin х;
б) дадим х приращение D х, х + D х, значение функции
Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке?
На данном уроке мы узнаем, как найти уравнение нормали к графику функции в точке и разберём многочисленные примеры, которые касаются этой задачи. Для качественного усвоения материала нужно понимать геометрический смысл производной и уметь их находить хотя бы на уровне следующих статей:
Как найти производную? Производная сложной функции и .
Перечисленные уроки позволят «чайникам» быстро сориентироваться в теме и поднять свои навыки дифференцирования практически с полного нуля. По существу, сейчас последует развёрнутое продолжение параграфа об уравнении касательной 3-й статьи из вышеприведенного списка. Почему продолжение? Уравнение нормали тесно связано с уравнением касательной. Помимо прочего я рассмотрю задачи о том, как построить уравнения этих линий в ситуациях, когда функция задана неявно либо параметрически .
Но сначала освежим воспоминания: если функция дифференцируема в точке (т.е. если существует конечная производная ), то уравнение касательной к графику функции в точке можно найти по следующей формуле:
Это самый распространенный случай, с которым мы уже столкнулись на уроке Простейшие задачи с производными . Однако дело этим не ограничивается: если в точке существует бесконечная производная: , то касательная будет параллельна оси и её уравнение примет вид . Дежурный пример: функция с производной , которая обращается в бесконечность вблизи критической точки . Соответствующая касательная выразится уравнением: (ось ординат).
Если же производной не существует (например, производной от в точке ) , то, разумеется, не существует и общей касательной .
Как различать последние два случая, я расскажу чуть позже, а пока что вернёмся в основное русло сегодняшнего урока:
Что такое нормаль ? Нормалью к графику функции в точке называется прямая , проходящая через данную точку перпендикулярно касательной к графику функции в этой точке (понятно, что касательная должна существовать) . Если совсем коротко, нормаль – это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.
Как найти уравнение нормали ? Из курса аналитической геометрии напрашивается очень простой алгоритм: находим уравнение касательной и представляем его вобщем виде . Далее «снимаем» нормальный вектор и составляем уравнение нормали по точке и направляющему вектору .
Этот
способ применять можно, но в математическом
анализе принято пользоваться готовой
формулой, основанной на взаимосвязи
угловых коэффициентов перпендикулярных
прямых
.
Если существует конечная
и отличная
от нуля
производная
,
то уравнение нормали к графику функции
в
точке
выражается
следующим уравнением:
Особые случаи, когда равна нулю либо бесконечности мы обязательно рассмотрим, но сначала «обычные» примеры:
Пример 1
Составить
уравнения касательной и нормали к
графику кривой
в
точке, абсцисса которой равна
.
В практических заданиях часто требуется найти и касательную тоже. Впрочем, это очень только нА руку – лучше будет «набита рука» =)
Решение : Первая часть задания хорошо знакома, уравнение касательной составим по формуле:
В
данном случае:
Найдём
производную
:
Здесь
на первом шаге вынесли
константу за знак производной
,
на втором – использовали правило
дифференцирования сложной функции
.
Теперь вычислим производную в точке :
Получено конечное число и это радует. Подставим и в формулу :
Перебросим
наверх
левой части, раскроем скобки и представим
уравнение касательной в общем
виде
:
Вторая
часть задания ничуть не сложнее. Уравнение
нормали составим по формуле:
Избавляемся
от трёхэтажности
дроби
и доводим уравнение до ума:
–
искомое уравнение.
Ответ :
Здесь можно выполнить частичную проверку. Во-первых, координаты точки должны удовлетворять каждому уравнению:
–
верное равенство.
–
верное равенство.
И, во-вторых, векторы нормали должны быть ортогональны. Это элементарно проверяется с помощью скалярного произведения : , что и требовалось проверить.
Как вариант, вместо нормальных векторов можно использовать направляющие векторы прямых .
! Данная проверка оказывается бесполезной, если неверно найдена производная и/или производная в точке . Это «слабое звено» задания – будьте предельно внимательны!
Чертежа
по условию не требовалось, но полноты
картины ради:
Забавно,
но фактически получилась и полная
проверка, поскольку чертёж выполнен
достаточно точно =) Кстати, функция
задаёт
верхнюю дугу эллипса
.
Следующая задача для самостоятельного решения:
Пример 2
Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .
Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.
Теперь разберём два особых случая:
1)
Если производная в точке
равна
нулю:
,
то уравнение касательной упростится:
То
есть, касательная будет параллельна
оси
.
Соответственно, нормаль будет проходить через точку параллельно оси , а значит её уравнение примет вид .
2) Если производная в точке существует, но бесконечна: , то, как отмечалось в самом начале статьи, касательная станет вертикальной: . И поскольку нормаль проходит через точку параллельно оси , то её уравнение выразится «зеркальным» образом:
Всё просто:
Пример 3
Составить
уравнения касательной и нормали к
параболе
в
точке
.
Сделать чертёж.
Требование выполнить чертёж я не добавлял – так было сформулировано задание в оригинале. Хотя это редкость.
Решение : составим уравнение касательной . В данном случае
Казалось
бы, расчёты пустяковые, а в знаках
запутаться более чем реально:
Таким
образом:
Поскольку касательная параллельна оси (Случай №1) , то нормаль, проходящая через ту же точку , будет параллельна оси ординат:
Чертёж
– это, конечно же, дополнительные
хлопоты, но зато добротная проверка
аналитического решения:
Ответ : ,
В школьном курсе математики распространено упрощённое определение касательной, которое формулируется примерно так: «Касательная к графику функции – это прямая, имеющая с данным графиком единственную общую точку» . Как видите, в общем случае это утверждение некорректно. Согласно геометрическому смыслу производной , касательной является именно зелёная, а не синяя прямая.
Следующий пример посвящён тому же Случаю №1, когда :
Пример 4
Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке .
Краткое решение и ответ в конце урока
Случай №2, в котором на практике встречается редко, поэтому начинающие могут особо не волноваться и с лёгким сердцем пропустить пятый пример. Информация, выделенная курсивом, предназначена для читателей с высоким уровнем подготовки, которые хорошо разобрались с определениями производной и касательной , а также имеют опыт нахождения производной по определению :
Пример 5
Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке
Решение
:
в
критической
точке
знаменатель
производной
обращается
в ноль, и поэтому здесь нужно вычислить
односторонние производные
с
помощью определения производной (см.
конец статьи
Производная
по определению
):
Обе
производные бесконечны, следовательно,
в точке
существует
общая вертикальная касательная:
Ну,
и очевидно, что нормалью является ось
абсцисс. Формально по формуле:
Для
лучшего понимания задачи приведу
чертёж:
Ответ
:
Я рад, что вы не ушли бороздить просторы Интернета, потому что всё самое интересное только начинается! Чтобы осилить материал следующего параграфа, нужно уметь находить производную от неявно заданной функции :
Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана неявно?
Формулы касательной и нормали остаются прежними, но меняется техника решения:
Пример 6
Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке .
Решение : судя по уравнению, это какая-то линия 3-го порядка , какая именно – нас сейчас совершенно не интересует.
В уравнении присутствует зловред , и поэтому перспектива выразить функция в явном виде выглядит весьма туманной.
Но этого и не требуется! Есть куда более остроумное решение. Уравнение касательной составим по той же формуле .
Из
условия известны значения
,
кстати, не помешает убедиться, что они
действительно удовлетворяют предложенному
уравнению:
Получено
верное равенство, значит, с точкой
всё
в порядке.
Осталось
вычислить
.
Сначала по стандартной схеме найдём
производную
от функции, заданной неявно
:
Перепишем
результат с более подходящим для нашей
задачи обозначением:
На 2-м шаге в найденное выражение производной подставим :
Вот так-то!
Осталось
аккуратно разобраться с уравнением:
Составим
уравнение нормали:
Ответ :
Готово! А поначалу представлялось всё непросто. Хотя производная здесь, конечно, – место уязвимое. Миниатюра для самостоятельного решения:
Пример 7
Найти уравнение нормали к линии в точке
Хватит уже вымучивать касательную =)
В
данном случае легко выяснить, что это
окружность
центром
в точке
радиуса
и
даже выразить нужную функцию
.
Но зачем?! Ведь найти производную от
неявно
заданной функции
на порядок легче! Она тут чуть ли не
самая примитивная.
Краткое решение и ответ в конце урока.
Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана параметрически?
Ещё проще. Но для этого нужно потренироваться в нахождении производной от параметрически заданной функции . А так – почти халява:
Пример 8
Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде , проведенные в точке, для которой .
Чертёж циклоиды можно найти на странице S и V, если линия задана параметрически (так получилось, что эта статья была создана раньше) . Там даже изображена точка касания.
Решение
:
абсцисса и ордината точки касания
рассчитываются непосредственно из
параметрических уравнений кривой:
Найдём 1-ую производную от параметрически заданной функции :
И
вычислим её значение при
:
Уравнение
касательной составим по обычной формуле
с поправкой на несколько другие
обозначения:
Уравнение
нормали:
Ответ :
В заключение предлагаю познакомиться с ещё одной интересной линией:
Пример 9
Составить уравнение нормали к полукубической параболе , проведенной в точке, для которой .
Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что графики параметрически заданных функций можно построить, например, с помощью моего расчётного геометрического макета .
Ну а наш урок подошёл к концу, и я надеюсь, что изложенный материал прошёл для вас не по касательной, а нормально =)
Спасибо за внимание и успехов!
Решения и ответы :
Пример
2:
Решение
В
данном случае:
Таким
образом:
Уравнение
нормали составим по формуле
:
Ответ
:
Пример
4:
Решение
:
уравнение касательной составим по
формуле:
В
данной задаче:
Таким
образом:
В
точке
касательная
параллельна оси
,
поэтому соответствующее уравнение
нормали:
Ответ
:
Пример
7:
Решение
:
в данной задаче:
.
Найдём
производную:
Или:
Подставим
в выражение производной
:
Искомое
уравнение нормали:
Ответ
:
Пример
9:
Решение
:
в данном случае:
Найдём
производную и вычислим её значение при
:
Уравнение
нормали:
Ответ
:
Взято с сайта http://www.mathprofi.ru
