В этой статье мы расскажем, что из себя представляет предел функции. Сначала поясним общие моменты, которые очень важны для понимания сути этого явления.
Понятие предела
В математике принципиально важным является понятие бесконечности, обозначаемое символом ∞ . Его следует понимать как бесконечно большое + ∞ или бесконечно малое - ∞ число. Когда мы говорим о бесконечности, часто мы имеем в виду сразу оба этих ее смысла, однако запись вида + ∞ или - ∞ не стоит заменять просто на ∞ .
Запись предела функции имеет вид lim x → x 0 f (x) . В нижней части мы пишем основной аргумент x , а с помощью стрелочки указываем, к какому именно значению x 0 он будет стремиться. Если значение x 0 является конкретным действительным числом, то мы имеем дело с пределом функции в точке. Если же значение x 0 стремится к бесконечности (не важно, ∞ , + ∞ или - ∞), то следует говорить о пределе функции на бесконечности.
Предел бывает конечным и бесконечным. Если он равен конкретному действительному числу, т.е. lim x → x 0 f (x) = A , то его называют конечным пределом, если же lim x → x 0 f (x) = ∞ , lim x → x 0 f (x) = + ∞ или lim x → x 0 f (x) = - ∞ , то бесконечным.
Если мы не можем определить ни конечное, ни бесконечное значение, это значит, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел от синуса на бесконечности.
В этом пункте мы объясним, как найти значение предела функции в точке и на бесконечности. Для этого нам нужно ввести основные определения и вспомнить, что такое числовые последовательности, а также их сходимость и расходимость.
Определение 1
Число A является пределом функции f (x) при x → ∞ , если последовательность ее значений будет сходиться к A для любой бесконечно большой последовательности аргументов (отрицательной или положительной).
Запись предела функции выглядит так: lim x → ∞ f (x) = A .
Определение 2
При x → ∞ предел функции f (x) является бесконечным, если последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности аргументов будет также бесконечно большой (положительной или отрицательной).
Запись выглядит как lim x → ∞ f (x) = ∞ .
Пример 1
Докажите равенство lim x → ∞ 1 x 2 = 0 с помощью основного определения предела для x → ∞ .
Решение
Начнем с записи последовательности значений функции 1 x 2 для бесконечно большой положительной последовательности значений аргумента x = 1 , 2 , 3 , . . . , n , . . . .
1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 n 2 > . . .
Мы видим, что значения будут постепенно уменьшаться, стремясь к 0 . См. на картинке:
x = - 1 , - 2 , - 3 , . . . , - n , . . .
1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 - n 2 > . . .
Здесь тоже видно монотонное убывание к нулю, что подтверждает верность данного в условии равенства:
Ответ: Верность данного в условии равенства подтверждена.
Пример 2
Вычислите предел lim x → ∞ e 1 10 x .
Решение
Начнем, как и раньше, с записи последовательностей значений f (x) = e 1 10 x для бесконечно большой положительной последовательности аргументов. Например, x = 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . . , 10 2 , . . . → + ∞ .
e 1 10 ; e 4 10 ; e 9 10 ; e 16 10 ; e 25 10 ; . . . ; e 100 10 ; . . . = = 1 , 10 ; 1 , 49 ; 2 , 45 ; 4 , 95 ; 12 , 18 ; . . . ; 22026 , 46 ; . . .
Мы видим, что данная последовательность бесконечно положительна, значит, f (x) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞
Переходим к записи значений бесконечно большой отрицательной последовательности, например, x = - 1 , - 4 , - 9 , - 16 , - 25 , . . . , - 10 2 , . . . → - ∞ .
e - 1 10 ; e - 4 10 ; e - 9 10 ; e - 16 10 ; e - 25 10 ; . . . ; e - 100 10 ; . . . = = 0 , 90 ; 0 , 67 ; 0 , 40 ; 0 , 20 ; 0 , 08 ; . . . ; 0 , 000045 ; . . . x = 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . . , 10 2 , . . . → ∞
Поскольку она тоже стремится к нулю, то f (x) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 .
Наглядно решение задачи показано на иллюстрации. Синими точками отмечена последовательность положительных значений, зелеными – отрицательных.
Ответ: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , п р и x → + ∞ 0 , п р и x → - ∞ .
Перейдем к методу вычисления предела функции в точке. Для этого нам нужно знать, как правильно определить односторонний предел. Это пригодится нам и для того, чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции.
Определение 3
Число B является пределом функции f (x) слева при x → a в том случае, когда последовательность ее значений сходится к данному числу при любой последовательности аргументов функции x n , сходящейся к a , если при этом ее значения остаются меньше a (x n < a).
Такой предел на письме обозначается как lim x → a - 0 f (x) = B .
Теперь сформулируем, что такое предел функции справа.
Определение 4
Число B является пределом функции f (x) справа при x → a в том случае, когда последовательность ее значений сходится к данному числу при любой последовательности аргументов функции x n , сходящейся к a , если при этом ее значения остаются больше a (x n > a).
Этот предел мы записываем как lim x → a + 0 f (x) = B .
Мы можем найти предел функции f (x) в некоторой точке тогда, когда для нее существуют равные пределы с левой и правой стороны, т.е. lim x → a f (x) = lim x → a - 0 f (x) = lim x → a + 0 f (x) = B . В случае бесконечности обоих пределов предел функции в исходной точке также будет бесконечен.
Теперь мы разъясним данные определения, записав решение конкретной задачи.
Пример 3
Докажите, что существует конечный предел функции f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 в точке x 0 = 2 и вычислите его значение.
Решение
Для того чтобы решить задачу, нам потребуется вспомнить определение предела функции в точке. Для начала докажем, что у исходной функции имеется предел слева. Запишем последовательность значений фукнции, которая будет сходиться к x 0 = 2 , если x n < 2:
f (- 2) ; f (0) ; f (1) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024 ; . . . = = 8 , 667 ; 2 , 667 ; 0 , 167 ; - 0 , 958 ; - 1 , 489 ; - 1 , 747 ; - 1 , 874 ; . . . ; - 1 , 998 ; . . . → - 2
Поскольку приведенная последовательность сводится к - 2 , мы можем записать, что lim x → 2 - 0 1 6 x - 8 2 - 8 = - 2 .
6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2
Значения функции в этой последовательности будут выглядеть так:
f (6) ; f (4) ; f (3) ; f 2 1 2 ; f 2 3 4 ; f 2 7 8 ; f 2 15 16 ; . . . ; f 2 1023 1024 ; . . . = = - 7 , 333 ; - 5 , 333 ; - 3 , 833 ; - 2 , 958 ; - 2 , 489 ; - 2 , 247 ; - 2 , 124 ; . . . , - 2 , 001 , . . . → - 2
Данная последовательность также сходится к - 2 , значит, lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .
Мы получили, что пределы с правой и левой стороны у данной функции будут равными, значит, предел функции f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 в точке x 0 = 2 существует, и lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .
Вы можете увидеть ход решения на иллюстрации (зеленые точки– последовательность значений, сходящаяся к x n < 2 , синие – к x n > 2).
Ответ: Пределы с правой и левой стороны у данной функции будут равными, значит, предел функции существует, и lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .
Чтобы более глубоко изучить теорию пределов, советуем вам прочесть статью о непрерывности функции в точке и основных видах точек разрыва.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Решение пределов функции онлайн . Найти предельное значение функции либо функциональной последовательности в точке, вычислить предельное значение функции на бесконечности. определить сходимость числового ряда и многое другое можно выполнить благодаря нашему онлайн сервису - . Мы позволяем находить лимиты функций онлайн быстро и безошибочно. Вы сами вводите переменную функции и предел, к которому она стремится, анаш сервис проводит все вычисления за вас, выдавая точный и простой ответ. Причем для нахождения предела онлайн вы можете вводить как числовые ряды, так и аналитические функции, содержащие константы в буквенном выражении. В этом случае найденный предел функции будет содержать эти константы как постоянные аргументы в выражении. Нашим сервисом решаются любые сложные задачи по нахождению пределов онлайн , достаточно указать функцию и точку в которой необходимо вычислить предельное значение функции . Вычисляя пределы онлайн , можно пользоваться различными методами и правилами их решения, при этом сверяя полученный результат с решением пределов онлайн на www.сайт, что приведет с успешному выполнению задачи - вы избежите собственных ошибок и описок. Либо вы полностью можете довериться нам и использовать наш результат в своей работе, не затрачивая лишних усилий и времени на самостоятельные вычисления предела функции. Мы допускаем ввод таких предельных значений, как бесконечность. Необходимо ввести общий член числовой последовательности и www.сайт вычислит значение предела онлайн на плюс или минус бесконечности.
Одним из основных понятий математического анализа является лимит функции и предел последовательности в точке и на бесконечности, важно уметь правильно решать пределы . С нашим сервисом это не составит никакого труда. Производится решение пределов онлайн в течение нескольких секунд, ответ точный и полный. Изучение математического анализа начинается с предельного перехода , пределы используются практически во всех разделах высшей математики, поэтому полезно иметь под рукой сервер для решения лимитов онлайн , каковым является matematikam.ru.
Урок и презентация на тему: "Предел функции на бесконечности"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве для 10 и 11 классов
Что будем изучать:
1. Что такое Бесконечность?5. Свойства. 6. Примеры.
Ребята, давайте посмотрим, что такое предел функции на бесконечности?
А, что такое бесконечность?
Бесконечность
- используется для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, в нашем случае характеристика чисел.
Бесконечность
–сколь угодно большое(малое), безграничное число.
Если рассмотреть координатную плоскость то ось абсцисс(ординат) уходит на бесконечность, если ее безгранично продолжать влево или вправо(вниз или вверх).
![](https://i2.wp.com/mathematics-tests.com/images/stories/matematika/10-klass/predel-funkrsii-na-beskonechnosti_2.jpg)
Теперь давайте перейдем к пределу функции на бесконечности:
Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч , и пусть прямая y=b является горизонтальной
асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:
Так же наши соотношения могут выполняться одновременно:
Тогда принято записывать как:
Предел функции y=f(x) при x стремящимся к бесконечности равен b
Примеры
Построить график функции y=f(x), такой что:1) Область определения – множество действительных чисел.
2) f(x)- непрерывная функция
3)
![](https://i2.wp.com/mathematics-tests.com/images/stories/matematika/10-klass/predel-funkrsii-na-beskonechnosti_9.jpg)
![](https://i1.wp.com/mathematics-tests.com/images/stories/matematika/10-klass/predel-funkrsii-na-beskonechnosti_10.jpg)
![](https://i2.wp.com/mathematics-tests.com/images/stories/matematika/10-klass/predel-funkrsii-na-beskonechnosti_11.jpg)
Основные свойства
Для вычисления предела на бесконечности пользуются несколькими1) Для любого натурально числа m справедливо следующее соотношение:
2) Если
то:
а) Предел суммы равен сумме пределов:
Б) Предел произведения равен произведению пределов:
в) Предел частного равен частному пределов:
г) Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
Пример 1.
Найти:
Решение:
Разделим числитель и знаменатель дроби на x.
Воспользуемся свойством предел частного равен частному пределов:
Ребята, вспомните предел числовой последовательности.
Получим:
Пример 2.
Найти предел функции y=f(x), при x стремящимся к бесконечности.![](https://i1.wp.com/mathematics-tests.com/images/stories/matematika/10-klass/predel-funkrsii-na-beskonechnosti_23.jpg)
Решение.
Обычно второй замечательный предел записывают в такой форме:
\begin{equation} \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\end{equation}
Число $e$, указанное в правой части равенства (1), является иррациональным. Приближённое значение этого числа таково: $e\approx{2{,}718281828459045}$. Если сделать замену $t=\frac{1}{x}$, то формулу (1) можно переписать в следующем виде:
\begin{equation} \lim_{t\to{0}}\biggl(1+t\biggr)^{\frac{1}{t}}=e\end{equation}
Как и для первого замечательного предела, неважно, какое выражение стоит вместо переменной $x$ в формуле (1) или вместо переменной $t$ в формуле (2). Главное - выполнение двух условий:
- Основание степени (т.е. выражение в скобках формул (1) и (2)) должно стремиться к единице;
- Показатель степени (т.е. $x$ в формуле (1) или $\frac{1}{t}$ в формуле (2)) должен стремиться к бесконечности.
Говорят, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность $1^\infty$. Заметьте, что в формуле (1) мы не уточняем, о какой именно бесконечности ($+\infty$ или $-\infty$) идёт речь. В любом из этих случаев формула (1) верна. В формуле (2) переменная $t$ может стремиться к нулю как слева, так и справа.
Отмечу, что есть также несколько полезных следствий из второго замечательного предела . Примеры на использование второго замечательного предела, равно как и следствий из него, очень популярны у составителей стандартных типовых расчётов и контрольных работ.
Пример №1
Вычислить предел $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right)^{4x+7}$.
Сразу отметим, что основание степени (т.е. $\frac{3x+1}{3x-5}$) стремится к единице:
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{3x-5}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right| =\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{1}{x}}{3-\frac{5}{x}} =\frac{3+0}{3-0} =1. $$
При этом показатель степени (выражение $4x+7$) стремится к бесконечности, т.е. $\lim_{x\to\infty}(4x+7)=\infty$.
Основание степени стремится к единице, показатель степени - к бесконечности, т.е. мы имеем дело с неопределенностью $1^\infty$. Применим формулу для раскрытия этой неопределённости. В основании степени формулы расположено выражение $1+\frac{1}{x}$, а в рассматриваемом нами примере основание степени таково: $\frac{3x+1}{3x-5}$. Посему первым действием станет формальная подгонка выражения $\frac{3x+1}{3x-5}$ под вид $1+\frac{1}{x}$. Для начала прибавим и вычтем единицу:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right)^{4x+7} =|1^\infty| =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3x+1}{3x-5}-1\right)^{4x+7} $$
Следует учесть, что просто так добавить единицу нельзя. Если мы вынуждены добавить единицу, то её же нужно и вычесть, дабы не изменять значения всего выражения. Для продолжения решения учтём, что
$$ \frac{3x+1}{3x-5}-1 =\frac{3x+1}{3x-5}-\frac{3x-5}{3x-5} =\frac{3x+1-3x+5}{3x-5} =\frac{6}{3x-5}. $$
Так как $\frac{3x+1}{3x-5}-1=\frac{6}{3x-5}$, то:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(1+ \frac{3x+1}{3x-5}-1\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{6}{3x-5}\right)^{4x+7} $$
Продолжим «подгонку». В выражении $1+\frac{1}{x}$ формулы в числителе дроби находится 1, а в нашем выражении $1+\frac{6}{3x-5}$ в числителе находится $6$. Чтобы получить $1$ в числителе, опустим $6$ в знаменатель с помощью следующего преобразования:
$$ 1+\frac{6}{3x-5} =1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}} $$
Таким образом,
$$ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{6}{3x-5}\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{4x+7} $$
Итак, основание степени, т.е. $1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}$, подогнано под вид $1+\frac{1}{x}$, который требуется в формуле . Теперь начнём работать с показателем степени. Заметьте, что в формуле выражения, стоящие в показатели степени и в знаменателе, одинаковы:
Значит, и в нашем примере показатель степени и знаменатель нужно привести к одинаковой форме. Чтобы получить в показателе степени выражение $\frac{3x-5}{6}$, просто домножим показатель степени на эту дробь. Естественно, что для компенсации такого домножения, придется тут же домножить на обратную дробь, т.е. на $\frac{6}{3x-5}$. Итак, имеем:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{3x-5}{6}\cdot\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)} =\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}} $$
Отдельно рассмотрим предел дроби $\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}$, расположенной в степени:
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5} =\left|\frac{\infty}{\infty}\right| =\lim_{x\to\infty}\frac{6\cdot\left(4+\frac{7}{x}\right)}{3-\frac{5}{x}} =6\cdot\frac{4}{3} =8. $$
Ответ : $\lim_{x\to{0}}\biggl(\cos{2x}\biggr)^{\frac{1}{\sin^2{3x}}}=e^{-\frac{2}{9}}$.
Пример №4
Найти предел $\lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right)$.
Так как при $x>0$ имеем $\ln(x+1)-\ln{x}=\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)$, то:
$$ \lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)\right) $$
Раскладывая дробь $\frac{x+1}{x}$ на сумму дробей $\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$ получим:
$$ \lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)^x\right) =\ln{e} =1. $$
Ответ : $\lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right)=1$.
Пример №5
Найти предел $\lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}}$.
Так как $\lim_{x\to{2}}(3x-5)=6-5=1$ и $\lim_{x\to{2}}\frac{2x}{x^2-4}=\infty$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $1^\infty$. Подробные пояснения даны в примере №2, здесь же ограничимся кратким решением. Сделав замену $t=x-2$, получим:
$$ \lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}} =\left|\begin{aligned}&t=x-2;\;x=t+2\\&t\to{0}\end{aligned}\right| =\lim_{t\to{0}}\biggl(1+3t\biggr)^{\frac{2t+4}{t^2+4t}}=\\ =\lim_{t\to{0}}\biggl(1+3t\biggr)^{\frac{1}{3t}\cdot 3t\cdot\frac{2t+4}{t^2+4t}} =\lim_{t\to{0}}\left(\biggl(1+3t\biggr)^{\frac{1}{3t}}\right)^{\frac{6\cdot(t+2)}{t+4}} =e^3. $$
Можно решить данный пример и по-иному, используя замену: $t=\frac{1}{x-2}$. Разумеется, ответ будет тем же:
$$ \lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}} =\left|\begin{aligned}&t=\frac{1}{x-2};\;x=\frac{2t+1}{t}\\&t\to\infty\end{aligned}\right| =\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{3}{t}\right)^{t\cdot\frac{4t+2}{4t+1}}=\\ =\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{t}{3}}\right)^{\frac{t}{3}\cdot\frac{3}{t}\cdot\frac{t\cdot(4t+2)}{4t+1}} =\lim_{t\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{t}{3}}\right)^{\frac{t}{3}}\right)^{\frac{6\cdot(2t+1)}{4t+1}} =e^3. $$
Ответ : $\lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}}=e^3$.
Пример №6
Найти предел $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{3x} $.
Выясним, к чему стремится выражение $\frac{2x^2+3}{2x^2-4}$ при условии $x\to\infty$:
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+3}{2x^2-4} =\left|\frac{\infty}{\infty}\right| =\lim_{x\to\infty}\frac{2+\frac{3}{x^2}}{2-\frac{4}{x^2}} =\frac{2+0}{2-0}=1. $$
Таким образом, в заданном пределе мы имеем дело с неопределенностью вида $1^\infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{3x} =|1^\infty| =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2x^2+3}{2x^2-4}-1\right)^{3x}=\\ =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{7}{2x^2-4}\right)^{3x} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{3x}=\\ =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{\frac{2x^2-4}{7}\cdot\frac{7}{2x^2-4}\cdot 3x} =\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{\frac{21x}{2x^2-4}} =e^0 =1. $$
Ответ : $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{3x}=1$.
Неопределённость вида и вида - самые распространённые неопределённости, которые требуется раскрывать при решении пределов.
Большая часть задач на пределы, попадающихся студентам, как раз несут в себе такие неопределённости. Для их раскрытия или, точнее, ухода от неопределённостей существует несколько искусственных приёмов преобразования вида выражения под знаком предела. Эти приёмы следующие: почленное деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной, домножение на сопряжённое выражение и разложение на множители для последующего сокращения с использованием решений квадратных уравнений и формул сокращённого умножения.
Неопределённость вида
Пример 1.
n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на :
.
Комментарий к правой части выражения. Стрелками и цифрами обозначено, к чему стремятся дроби после подстановки вместо n значения бесконечность. Здесь, как и в примере 2, степень n в знаменателя больше, чем в числителе, в результате чего вся дробь стремится к бесконечно малой величине или "супермалому числу".
Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен .
Пример 2. .
Решение. Здесь старшая степень переменной x равна 1. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на x :
.
Комментарий к ходу решения. В числителе загоняем "икс" под корень третьей степени, а чтобы его первоначальная степень (1) оставалась неизменной, присваиваем ему ту же степень, что и у корня, то есть 3. Стрелок и дополнительных чисел в этой записи уже нет, так что попробуйте мысленно, но по аналогии с предыдущим примером определить, к чему стремятся выражения в числителе и знаменателе после подстановки бесконечности вместо "икса".
Получили ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен нулю.
Неопределённость вида
Пример 3. Раскрыть неопределённость и найти предел .
Решение. В числителе - разность кубов. Разложим её на множители, применяя формулу сокращённого умножения из курса школьной математики:
В знаменателе - квадратный трёхчлен, который разложим на множители, решив квадратное уравнение (ещё раз ссылка на решение квадратных уравнений):
Запишем выражение, полученное в результате преобразований и найдём предел функции:
Пример 4. Раскрыть неопределённость и найти предел
Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку
Поэтому тождественно преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и сократим на x +1. Согласно следствию из теоремы 1, получим выражение, решая которое, находим искомый предел:
Пример 5. Раскрыть неопределённость и найти предел
Решение. Непосредственная подстановка значения x
= 0 в заданную функцию приводит к неопределённости вида 0/0. Чтобы раскрыть её, выполним тождественные преобразования и получим в итоге искомый предел:
Пример 6.
Вычислить
Решение: воспользуемся теоремами о пределах
Ответ: 11
Пример 7.
Вычислить
Решение: в этом примере пределы числителя и знаменателя при равны 0:
; . Получили , следовательно, теорему о пределе частного применять нельзя.
Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и, следовательно, сделать возможным применение теоремы 3.
Квадратный трехчлен в числителе разложим по формуле , где x 1 и х 2 – корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на (x-2), затем применим теорему 3.
Ответ:
Пример 8. Вычислить
Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, поэтому при непосредственном применении теоремы 3 получаем выражение , которое представляет собой неопределенность. Для избавления от неопределенности такого вида следует разделить числитель и знаменатель на старшую степень аргумента. В данном примере нужно разделить на х :
Ответ:
Пример 9.
Вычислить
Решение: х 3 :
Ответ: 2
Пример 10.
Вычислить
Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. х 5 :
=
числитель дроби стремится к 1, знаменатель к 0, поэтому дробь стремится к бесконечности.
Ответ:
Пример 11. Вычислить
Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. х 7 :
Ответ: 0
Производная.
Производной функции y = f(x) по аргументу x называется предел отношения ее приращения y к приращению x аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю: . Если этот предел конечен, то функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке х. Если же этот предел есть , то говорят, что функция y = f(x) имеет в точке х бесконечную производную.
Производные основных элементарных функций:
1. (const)=0
9.
4. 12.
5. 13.
6. 14.
Правила дифференцирования:
в)
Пример 1.
Найти производную функции
Решение: Если производную от второго слагаемого находим по правилу дифференцирования дроби, то первое слагаемое представляет собой сложную функцию, производная которой находится по формуле:
, где
, тогда
При решении были использованы формулы: 1,2,10,а,в,г.
Ответ:
Пример 21.
Найти производную функции
Решение: оба слагаемых – сложные функции, где для первого , , а для второго , , тогда
Ответ:
Приложения производной.
1. Скорость и ускорение
Пусть функция s(t) описывает положение
объекта в некоторой системе координат в момент времени t. Тогда первая производная функции s(t) является мгновенной скоростью
объекта:
v=s′=f′(t)
Вторая производная функции s(t) представляет собой мгновенное ускорение
объекта:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Уравнение касательной
y−y0=f′(x0)(x−x0),
где (x0,y0) − координаты точки касания, f′(x0) − значение производной функции f(x) в точке касания.
3. Уравнение нормали
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
где (x0,y0) − координаты точки, в которой проведена нормаль, f′(x0) − значение производной функции f(x) в данной точке.
4. Возрастание и убывание функции
Если f′(x0)>0, то функция возрастает в точке x0. На рисунке ниже функция является возрастающей при x
Если f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Локальные экстремумы функции
Функция f(x) имеет локальный максимум
в точке x1, если существует такая окрестность точки x1, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x1)≥f(x).
Аналогично, функция f(x) имеет локальный минимум
в точке x2, если существует такая окрестность точки x2, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x2)≤f(x).
6. Критические точки
Точка x0 является критической точкой
функции f(x), если производная f′(x0) в ней равна нулю или не существует.
7. Первый достаточный признак существования экстремума
Если функция f(x) возрастает (f′(x)>0) для всех x в некотором интервале (a,x1] и убывает (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) для всех x из интервала }