Гармонические колебания
Графики функций f (x ) = sin(x ) и g (x ) = cos(x ) на декартовой плоскости.
Гармоническое колебание - колебания, при которых физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид
,где х - смещение (отклонение) колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t; А - амплитуда колебаний, это величина, определяющая максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия; ω - циклическая частота, величина, показывающая число полных колебаний происходящих в течение 2π секунд - полная фаза колебаний, - начальная фаза колебаний.
Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде
(Любое нетривиальное решение этого дифференциального уравнения - есть гармоническое колебание с циклической частотой )
Виды колебаний
Эволюция во времени перемещения, скорости и ускорения при гармоническом движении
- Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (последняя вызвала бы затухание).
- Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы. Чтобы они были гармоническими, достаточно чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), а внешняя сила сама менялась со временем как гармоническое колебание (то есть чтобы зависимость от времени этой силы была синусоидальной).
Применение
Гармонические колебания выделяются из всех остальных видов колебаний по следующим причинам:
См. также
Примечания
Литература
- Физика. Элементарный учебник физики / Под ред. Г. С. Лансберга. - 3 изд. - М ., 1962. - Т. 3.
- Хайкин С. Э. Физические основы механики. - М ., 1963.
- А. М. Афонин. Физические основы механики. - Изд. МГТУ им. Баумана, 2006.
- Горелик Г. С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику. - М .: Физматлит, 1959. - 572 с.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Гармонические колебания" в других словарях:
Современная энциклопедия
Гармонические колебания - ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ, периодические изменения физической величины, происходящие по закону синуса. Графически гармонические колебания изображаются кривой синусоидой. Гармонические колебания простейший вид периодических движений, характеризуется … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Графически Г. к. изображаются кривой синусоидой или косинусоидой (см. рис.); они могут быть записаны в форме: х = Asin (ωt + φ) или х … Большая советская энциклопедия
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ, периодическое движение, такое как движение МАЯТНИКА, атомные колебания или колебания в электрической цепи. Тело совершает незатухающие гармонические колебания, когда оно колеблется вдоль линии, перемещаясь на одинаковое… … Научно-технический энциклопедический словарь
Колебания, при к рых физ. (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному закону: x=Asin(wt+j), где x значение колеблющейся величины в данный. момент времени t (для механич. Г. к., напр., смещение или скорость, для… … Физическая энциклопедия
гармонические колебания - Механические колебания, при которых обобщенная координата и (или) обобщенная скорость изменяются пропорционально синусу с аргументом, линейно зависящим от времени. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 106. Механические колебания. Академия наук … Справочник технического переводчика
Колебания, при к рых физ. (или любая другая) величина изменяется во времени по синусоидальному закону, где х значение колеблющейся величины в момент времени t (для механич. Г. к., напр., смещение и скорость, для электрич. напряжение и сила тока) … Физическая энциклопедия
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ - (см.), при которых физ. величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса (напр. изменения (см.) и скорости при колебании (см.) или изменения (см.) и силы тока при электрических Г. к.) … Большая политехническая энциклопедия
Характеризуются изменением колеблющейся величины x (напр., отклонения маятника от положения равновесия, напряжения в цепи переменного тока и т. д.) во времени t по закону: x = Asin (?t + ?), где А амплитуда гармонических колебаний, ? угловая… … Большой Энциклопедический словарь
Гармонические колебания - 19. Гармонические колебания Колебания, при которых значения колеблющейся величины изменяются во времени по закону Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Периодич. колебания, при к рых изменение во времени физ. величины происходит по закону синуса или косинуса (см. рис.): s = Аsin(wt+ф0), где s отклонение колеблющейся величины от её ср. (равновесного) значения, А=const амплитуда, w= const круговая … Большой энциклопедический политехнический словарь
Книги
- Гармонические колебания Вселенной , Берри Б.Л. , В книге описаны стабильные колебания Вселенной от периодов элементарных частиц до времени ее существования в 14 млрд. лет. Ритмы природы подобны звукам струнных инструментов с октавами из… Категория: Научная и техническая литература Издатель:
Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.
Так, при равномерном вращении шарика по окружности его проекция (тень в параллельных лучах света) совершает на вертикальном экране (рис. 13.2) гармо-ническое колебательное движение.
Смещение от положения равновесия при гармонических колебаниях описывается уравнением (его называют кинематическим законом гармонического движения) вида:
\(x = A \cos \Bigr(\frac{2 \pi}{T}t + \varphi_0 \Bigl)\) или \(x = A \sin \Bigr(\frac{2 \pi}{T}t + \varphi"_0 \Bigl)\)
где х - смешение - величина, характеризующая положение колеблющейся точки в момент времени t относительно положения равновесия и измеряемая расстоянием от положения равновесия до положения точки в заданный момент времени; А - амплитуда колебаний - максимальное смещение тела из положения равновесия; Т - период колебаний - время совершения одного полного колебания; т.е. наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения физических величин, характеризующих колебание; \(\varphi_0\) - начальная фаза; \(\varphi = \frac{2 \pi}{T}t + \varphi"_0\) - фаза колебании в момент времени t . Фаза колебаний - это аргумент периодической функции, который при заданной амплитуде колебаний определяет состояние колебательной системы (смещение, скорость, ускорение) тела в любой момент времени.
Если в начальный момент времени t 0 = 0 колеблющаяся точка максимально смещена от положения равновесия, то \(\varphi_0 = 0\), а смещение точки от положения равновесия изменяется по закону
\(x = A \cos \frac{2 \pi}{T}t.\)
Если колеблющаяся точка при t 0 = 0 находится в положении устойчивого равновесия, то смещение точки от положения равновесия изменяется по закону
\(x = A \sin \frac{2 \pi}{T}t.\)
Величину V , обратную периоду и равную числу полных колебаний, совершаемых за 1 с, называют частотой колебаний:
\(\nu = \frac{1}{T} \)(в СИ единицей частоты является герц, 1Гц = 1с -1).
Если за время t тело совершает N полных колебаний, то
\(T = \frac{t}{N} ; \nu = \frac{N}{t}.\)
Величину \(\omega = 2 \pi \nu = \frac{2 \pi}{T}\) , показывающую, сколько колебаний совершает тело за 2 \(\pi\) с , называют циклической (круговой) частотой.
Кинематический закон гармонического движения можно записать в виде:
\(x = A \cos(2\pi \nu t + \varphi_0), x = A \cos(\omega t + \varphi_0).\)
Графически зависимость смещения колеблющейся точки от времени изображается косинусоидой (или синусоидой).
На рисунке 13.3, а представлен график зависимости от времени смещения колеблющейся точки от положения равновесия для случая \(\varphi_0=0\), т.е. \(~x=A\cos \omega t.\)
Выясним, как изменяется скорость колеблющейся точки со временем. Для этого найдем производную по времени от этого выражения:
\(\upsilon_x = x" A \sin \omega t = \omega A \cos \Bigr(\omega t + \frac{\pi}{2} \Bigl) ,\)
где \(~\omega A = |\upsilon_x|_m\)- амплитуда проекции скорости на ось х .
Эта формула показывает, что при гармонических колебаниях проекция скорости тела на ось х изменяется тоже по гармоническому закону с той же частотой, с другой амплитудой и опережает по фазе смешение на \(\frac{\pi}{2}\) (рис. 13.3, б).
Для выяснения зависимости ускорения a x (t) найдем производную по времени от проекции скорости:
\(~ a_x = \upsilon_x" = -\omega^2 A \cos \omega t = \omega^2 \cos(\omega t + \pi),\)
где \(~\omega^2 A = |a_x|_m\) - амплитуда проекции ускорения на ось х.
При гармонических колебаниях проекция ускорения опережает смещение по фазе на к (рис. 13,3, в).
Аналогично можно построить графики зависимостей \(~x(t), \upsilon_x (t)\) и \(~a_x(t),\) если \(~x = A \sin \omega t\) при \(\varphi_0=0.\)
Учитывая, что \(A \cos \omega t = x\), формулу для ускорения можно записать
\(~a_x = - \omega^2 x,\)
т.е. при гармонических колебаниях проекция ускорения прямо пропорциональна смещению и противоположна ему по знаку, т.е. ускорение направлено в сторону, противоположную смещению.
Так, проекция ускорения - это вторая производная от смещения а x =х" " , то полученное соотношение можно записать в виде:
\(~a_x + \omega^2 x = 0\) или \(~x"" + \omega^2 x = 0.\)
Последнее равенство называют уравнением гармонических колебаний.
Физическую систему, в которой могут существовать гармонические колебания, называют гармоническим осциллятором, а уравнение гармонических колебаний - уравнением гармонического осциллятора.
Литература
Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - С. 368-370.
Уравнение гармонического колебания
Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени
График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .
Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании
Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила , скорость и ускорение , тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия - достигает максимального значения.
Если колебание описывать по закону косинуса
Если колебание описывать по закону синуса
Максимальные значения скорости и ускорения
Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле
Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются опреде-ленной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качание маятника часов, переменный электрический ток и т. д. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электро-магнитные и др. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковы-ми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы.
Колебания называются свободными , если они совершаются только под воздействием внутренних сил, действующих между элементами системы, после того как система выведена из положения равновесия внешними силами и предоставлена самой себе. Свободные колебания всегда затухающие колебания , ибо в реальных системах неизбежны потери энергии. В идеализированном случае системы без потерь энергии свободные колебания (продолжающиеся как угодно долго) называются собственными .
Простейшим типом свободных незатухающих колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеб-лющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому.
Гармонические колеба-ния описываются уравнением, которое называется уравнением гармонических колебаний:
где А - амплитуда колебаний, максимальное значение колеблющейся величины х ; - круговая (циклическая) частота собственных колебаний; - начальная фаза колебания в мо-мент времени t = 0; - фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до -1, то х может принимать значения от +A до -А .
Время T , за которое система совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний . За время Т фаза колебания получает приращение 2π , т. е.
Откуда . (14.2)
Величина , обратная периоду колебаний
т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Сравнивая (14.2) и (14.3) получим
Единица частоты - герц (Гц): 1 Гц - частота, при кото-рой за 1с совершается одно полное колебание.
Системы, в которых могут происходить свободные колебания, называются осцилляторами . Какими же свойствами должна обладать система, чтобы в ней могли возникнуть свободные колебания? Механическая система должна иметь положение устойчивого равновесия , при выходе из которого появляется возвращающая сила, направленная к положению равновесия . Этому положению соответствуют, как известно, минимум потенциальной энергии системы. Рассмотрим несколько колебательных систем, удовлетворяющих перечисленным свойствам.
Мы рассмотрели несколько физически совершенно различных систем, и убедились, что уравнения движения приводятся к одной и той же форме
Различия между физическими системами проявляются лишь в различном определении величины и в различном физическом смысле переменной x : это может быть координата, угол, заряд, ток и т. д. Отметим, что при этом, как следует из самой структуры уравнения (1.18), величина всегда имеет размерность обратного времени.
Уравнение (1.18) описывает так называемые гармонические колебания .
Уравнение гармонических колебаний (1.18) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка (так как оно содержит вторую производную от переменной x ). Линейность уравнения означает, что
если какая-то функция x(t) является решением этого уравнения, то функция Cx(t) также будет его решением (C – произвольная постоянная);
если функции x 1 (t) и x 2 (t) являются решениями этого уравнения, то их сумма x 1 (t) + x 2 (t) также будет решением того же уравнения.
Доказана также математическая теорема, согласно которой уравнение второго порядка имеет два независимых решения. Все остальные решения, согласно свойствам линейности, могут быть получены как их линейные комбинации. Непосредственным дифференцированием легко проверить, что независимые функции и удовлетворяют уравнению (1.18). Значит, общее решение этого уравнения имеет вид:
где C 1 , C 2 - произвольные постоянные. Это решение может быть представлено и в другом виде. Введем величину
|
|
и определим угол соотношениями:
|
|
Тогда общее решение (1.19) записывается как
Согласно формулам тригонометрии, выражение в скобках равно
Окончательно приходим к общему решению уравнения гармонических колебаний в виде:
Неотрицательная величина A называется амплитудой колебания , - начальной фазой колебания . Весь аргумент косинуса - комбинация - называется фазой колебания .
Выражения (1.19) и (1.23) совершенно эквивалентны, так что мы можем пользоваться любым их них, исходя из соображений простоты. Оба решения являются периодическими функциями времени. Действительно, синус и косинус периодичны с периодом . Поэтому различные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени t* , за который фаза колебания получает приращение, кратное :
Отсюда следует, что
Наименьшее из этих времен
называется периодом колебаний (рис. 1.8), а - его круговой (циклической) частотой .
Рис. 1.8.
Используют также и частоту колебаний
|
|
Соответственно, круговая частота равна числу колебаний за секунд.
Итак, если система в момент времени t характеризуется значением переменной x(t), то, то же самое значение, переменная будет иметь через промежуток времени (рис.1.9), то есть
Это же значение, естественно, повторится через время 2T , ЗT и т. д.
Рис. 1.9. Период колебаний
В общее решение входят две произвольные постоянные (C 1 , C 2 или A , a ), значения которых должны определяться двумя начальными условиями . Обычно (хотя и не обязательно) их роль играют начальные значения переменной x(0) и ее производной .
Приведем пример. Пусть решение (1.19) уравнения гармонических колебаний описывает движение пружинного маятника. Значения произвольных постоянных зависят от способа, каким мы вывели маятник из состояния равновесия. Например, мы оттянули пружину на расстояние и отпустили шарик без начальной скорости. В этом случае
Подставляя t = 0 в (1.19), находим значение постоянной С 2
Решение, таким образом, имеет вид:
Скорость груза находим дифференцированием по времени
Подставляя сюда t = 0, находим постоянную С 1 :
Окончательно
Сравнивая с (1.23), находим, что - это амплитуда колебаний, а его начальная фаза равна нулю: .
Выведем теперь маятник из равновесия другим способом. Ударим по грузу, так что он приобретет начальную скорость , но практически не сместится за время удара. Имеем тогда другие начальные условия:
наше решение имеет вид
Скорость груза будет изменяться по закону:
Подставим сюда :
