Если электрическое поле создано одним точечным зарядом q , то напряженность этого поля в какой-либо точке, отстоящей на расстоянии r от заряда равна, согласно закону Кулона:
и направлена вдоль прямой, соединяющей заряд с этой точкой. Таким образом, напряженность поля точечного заряда изменяется по мере удаления от заряда обратно пропорционально квадрату расстояния. При положительном заряде q поле направлено вдоль радиуса от заряда, при отрицательном q – вдоль радиуса по направлению к заряду. Посмотрим, чему равна напряженность поля, вызванного двумя точечными зарядами q 1 и q 2 . Пусть E 1 - напряженность поля в некоторой точке А , вызванная зарядом q 1 (когда заряд q 2 удален), а E 2 – напряженность в той же точке, вызванная зарядом q 2 (когда удален заряд q 1 ). Эти величины определяются по формулам:
Опыт показывает, что при совместном действии обоих зарядов напряженность поля в точке А
может быть найдена по правилу параллелограмма:
если из точкиА отложить отрезки, изображающие по модулю и по направлению напряженности E 1 и E 2 , и на этих отрезках, как на сторонах построить параллелограмм, то напряженность E результирующего поля по модулю и направлению представится диагональю этого параллелограмма .
Правило сложения напряженностей полей аналогично правилу сложения сил в механике. Так же как и в механике, применимость правила параллелограмма означает независимость действия электрических полей. Последовательно применяя правило параллелограмма, можно вычислить напряженность поля не только двух. Но и какого угодно числа точечных зарядов.
Напряженность поля системы зарядов в данной точке равна геометрической (векторной) сумме напряженностей полей, созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности:
Это утверждение называется принципом суперпозиции электростатических полей.
Линии напряженности – линии, касательные к которым в каждой точке поля совпадают с вектором напряженности электростатического поля в этой точке.
Линии напряженности не пересекаются.
Положительный заряд является источником линий напряженности; отрицательный заряд является стоком линий напряженности.
Модуль вектора напряженности пропорционален степени сгущения линий напряженности электростатического поля. Электрическое поле, векторы напряженности которого одинаковы во всех точках пространства, называется однородным.
Это некоторое положение, которое применяется при ряде случаев. Это один из общих физических законов, на которых строится физика, как наука. Этим он и примечателен для учёных, которые применяют его в разных ситуациях.
Если рассмотреть принцип суперпозиции в самом общем смысле, то согласно ему, сумма воздействия внешних сил, действующих на частицу, будет складываться из отдельных значений каждой из них.
Данный принцип применяется к различным линейным системам, т.е. таким системам, поведение которых можно описать линейными соотношениями. Примером может послужить простая ситуация, когда линейная волна распространяется в какой-то определённой среде, в этом случае её свойства будут сохраняться даже под действием возмущений, возникающих из-за самой волны. Эти свойства определяются как конкретная сумма эффектов каждой из гармоничных составляющих.
Сферы применения
Как уже было сказано, принцип суперпозиции имеет достаточно широкие сферы применения. Наиболее ярко его действие можно увидеть в электродинамике. Однако важно помнить, что рассматривая принцип суперпозиции, физика не считает его конкретным постулатом, а именно следствием из теории электродинамики.
Например, в электростатике данный принцип действует при изучении Система зарядов в конкретной точке создаёт напряжённость, которая будет складываться из суммы напряжённостей полей каждого из заряда. Данный вывод используется на практике, потому что с его помощью можно сосчитать потенциальную энергию электростатического взаимодействия. В этом случае нужно будет подсчитать потенциальную энергию каждого отдельного заряда.
Это подтверждается уравнением Максвелла, которое линейно в вакууме. Отсюда также следует тот факт, что свет не рассеивается, а распространяется линейно, поэтому отдельные лучи не взаимодействуют друг с другом. В физике это явление часто называют принципом суперпозиции в оптике.
Стоит также отметить, что в классической физике принцип суперпозиции вытекает из линейности уравнений отдельных движущихся линейных систем, поэтому является приближенным. Он основывается на глубоких динамических принципах, но приближенность делает его не универсальным и не фундаментальным.
В частности сильное описывается другими уравнениями, нелинейными, поэтому и принцип не может применяться в данных ситуациях. Макроскопическое также не подчиняется данному принципу, так как зависит от воздействия внешних полей.
Однако принцип суперпозиции сил является фундаментальным в квантовой физике. Если в других разделах он применяется с некоторыми погрешностями, то на квантовом уровне работает достаточно точно. Любая квантомеханическая система изображается из и векторов линейного пространства, и если она подчиняется линейным функциям, то её состояние определяется по принципу суперпозиции, т.е. складывается из суперпозиции каждого состояния и волновой функции.
Границы применения достаточно условны. Уравнения классической электродинамики линейны, но это не является основным правилом. Большинство фундаментальных теорий физики строятся по нелинейным уравнениям. Это значит, что в них принцип суперпозиции выполняться не будет, сюда можно отнести общую теорию относительности, квантовую хромодинамику, а также теорию Янга-Миллса.
В некоторых системах, где принципы линейности применимы только отчасти, может условно применяться и принцип суперпозиции, например, слабые гравитационные взаимодействия. Кроме того, при рассмотрении взаимодействия атомов и молекул принцип суперпозиции также не сохраняется, этим объясняется разнообразие физических и химических свойств материалов.
Тела, имеющие определенный объем и линейные размеры, всегда занимают часть пространства, в котором не могут нахо-диться другие тела без изменения тех или иных характеристик. Там, где находится ка-мень, не может находиться ни другой ка-мень, ни металлический шар, ни любой другой вещественный объект.
Характерной особенностью электричес-кого поля является то, что, в отличие от ве-щества, в одной точке пространства могут находиться одновременно поля различных источников и различного происхождения. При этом каждое поле сохраняет свою ин-дивидуальность и ни одна из его характе-ристик не изменяется под влиянием другого поля. Одним из подтверждений этого явля-ется известный всем пример распростране-ния радиоволн, которые являются перемен-ным электромагнитным полем. Радиоволна, распространяющаяся с севера на юг, со-всем не влияет на волну, которая распро-страняется с запада на восток. И слушатель, принимая информацию, которую принесла первая волна, даже не догадывается, что эта волна «встретилась» с другой.
Подобное наблюдается и в том случае, когда есть определенная система заряжен-ных тел и соответствующих им полей.
Пусть в некоторой точке пространства A находится тело, имеющее положительный заряд Q 1 (рис. 4.33). Если в произвольную точку B внесем точечное тело с положи-тельным зарядом q 0 , то на него будет действовать сила F̅ 1 как результат взаимодей-ствия тела B с полем тела A.
В произвольную точку C внесем тело с зарядом Q 2 (рис. 4.34). Его поле будет действовать на тело B с силой F̅ 2 . Никаких изменений в значении силы F̅ 1 не произойдет. Но из механики известно, что, если на тело действует несколько сил, то их можно за-менить равнодействующей (рис. 4.35).
В случае нескольких источников элект-рического поля
F̅ = F̅ 1 + F̅ 2 + … + F̅ n .
Если левую и правую части уравнения разделить на q 0 , то получим
F̅ / q 0 = F̅ 1 / q 0 + F̅ 2 / q 0 + … + F̅ n / q 0 ,
E̅ = E̅ 1 + E̅ 2 + … + E̅ n .
Следовательно, при расчетах взаимодей-ствия заряженного тела с электрическими полями разных источников можно поль-зоваться понятием напряженности «суммар-ного» электрического поля. Этот вывод фор-мулируется как принцип суперпозиции по-лей . Материал с сайта
Принцип суперпозиции по-лей. Напряженность электрического поля си-стемы заряженных тел в любой точке рав-няется векторной сумме напряженностей по-лей отдельных тел в этой точке.
В математической форме этот принцип записывается так:
E̅ = E̅ 1 + E̅ 2 + … + E̅ n ,
где E̅ — напряженность поля системы заряженных тел; E̅ 1 , E̅ 2 … —напряженности по-лей каждого из тел, которые входят в си-стему.
Напряженность электрического поля тела, имеющего одинако-вое количество положительно и отрицательно заряженных ча-стиц, равняется нулю.
Принцип суперпозиции по-лей не огра-ничен количеством тел в системе. Именно поэтому напряженность электрического по-ля незаряженного тела, в состав которого входит огромное количество частиц с по-ложительными и отрицательными заряда-ми, практически равна нулю.
На этой странице материал по темам:
Как формулируется принцип суперпозиции полей
Принцип суперпозиции сил формула
Принцип суперпозиции электрических полей кратко
Принцип суперпозиции формула
Какое выражение является математической записью принципа суперпозиции полей?
Вопросы по этому материалу:
Одной из основных задач электростатики является оценка параметров поля при заданном, стационарном, распределении зарядов в пространстве. Один из способов решения подобных задач основан на принципе суперпозиции . Суть его в следующем.
Если поле создается несколькими точечными зарядами, то на пробный заряд q действует со стороны заряда qk такая сила, как если бы других зарядов не было. Результирующая сила определится выражением:
Т.к. , то – результирующая напряженность поля в точке, где расположен пробный заряд, так же подчиняется принципу суперпозиции :
 |
(1.4.1) |
Это соотношение выражает принцип наложения или суперпозиции электрических полей и представляет важное свойство электрического поля. Напряженность результирующего поля, системы точечных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, созданных в данной точке каждым из них в отдельности.
Рассмотрим применение принципа суперпозиции в случае поля, созданного электрической системой из двух зарядов с расстоянием между зарядами, равными l (рис. 1.2).
Рис. 1.2
Поля, создаваемые различными зарядами, не влияют друг на друга, поэтому вектор результирующего поля нескольких зарядов может быть найден по правилу сложения векторов (правило параллелограмма)
 .
|
В данном случае
и
Следовательно,
 |
(1.4.2) |
Рассмотрим другой пример. Найдем напряженность электростатического поля Е , создаваемую двумя положительными зарядами q 1 и q 2 в точке А , находящейся на расстоянии r 1 от первого и r 2 от второго заря-дов (рис. 1.3).
Рис. 1.3
Воспользуемся теоремой косинусов:
| (1.4.3) |
Где 
.
Если поле создается не точечными зарядами , то используют обычный в таких случаях прием. Тело разбивают на бесконечно малые элементы и определяют напряженность поля создаваемого каждым элементом, затем интегрируют по всему телу:
| (1.4.4) |
Где – напряженность поля, обусловленная заряженным элементом. Интеграл может быть линейным, по площади или по объему в зависимости от формы тела. Для решения подобных задач пользуются соответствующими значениями плотности заряда:
– линейная плотность заряда, измеряется в Кл/м;
– поверхностная плотность заряда, измеряется в Кл/м2;
– объемная плотность заряда, измеряется в Кл/м3.
Если же поле создано сложными по форме заряженными телами и неравномерно заряженными, то используя принцип суперпозиции, трудно найти результирующее поле.
формуле (1.4.4) мы видим, что – векторная величина:
 |
(1.4.5) |
Так что интегрирование может оказаться непростым. Поэтому для вычисления часто пользуются другими методами, которые мы обсудим в следующих темах. Однако в некоторых, относительно простых случаях эти формулы позволяют аналитически рассчитать .
В качестве примеров можно рассмотреть линейное распределение зарядов или распределение заряда по окружности .
Определим напряженность электрического поля в точке А (рис. 1.4) на расстоянии х от бесконечно длинного, линейного, равномерно распределенного заряда. Пусть λ – заряд, приходящийся на единицу длины.
Рис. 1.4
Считаем, что х – мало по сравнению с длиной проводника. Выберем систему координат так, чтобы ось y совпадала с проводником. Элемент длины dy , несет заряд Создаваемая этим элементом напряженность электрического поля в точке А .
| , |
где = – вектор, по направлению совпадающий с нормалью к поверхности ( единичный вектор нормали к поверхности) и по модулю равный площади . Так как под интегралом стоит скалярное произведение векторов, то поток может получаться как положительным, так и отрицательным, в зависимости от выбора направления вектора . Геометрически поток пропорционален числу силовых линий, пронизывающих данную площадку (см. рис.2.3.1).
Теорема Гаусса.
Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную
замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных
внутри этой поверхности, деленной на (в системе СИ)
| . (2.3.1) |
В случае замкнутой поверхности вектор выбирают от поверхности наружу.
Таким образом, если силовые линии выходят из поверхности, поток будет положительным, а если входят, то – отрицательным.
Расчет электрических полей с помощью теоремы Гаусса.
В ряде случаев напряженность электрического поля по теореме Гаусса рассчи-
тывается достаточно просто. Однако в основе лежит принцип суперпозиции.
Поскольку поле точечного заряда является центрально-симметричным, то поле
центрально-симметричной системы зарядов также будет центрально-симметричным. Простейший пример – поле равномерно заряженного шара. Если распределение заряда обладает осевой симметрией, то и структура поля будет отличаться осевой симметрией. Примером может служить бесконечная равномерно заряженная нить или цилиндр. Если заряд равномерно распределен по бесконечной плоскости, то силовые линии поля будут располагаться симметрично относительно симметрии заряда. Таким образом, указанный метод расчета применяют в случае высокой степени симметрии распределения заряда, создающего поля. Далее приведем примеры расчета таких полей.
Электрическое поле однородно заряженного шара.
Шар радиуса равномерно заряжен с объемной плотностью . Рассчитаем поле внутришара .
Система зарядов центрально-симметричная. В
качестве поверхности интегрирования выберем
сферу радиуса r (r <R ), центр которой совпадает
с центром симметрии заряда (см. рис.2.3.2). Рассчитаем поток вектора через эту поверхность.
Вектор направлен по радиусу. Так как поле
обладает центральной симметрией, то
значение Е будет одинаково во всех точках
выбранной поверхности. Тогда
Теперь найдем заряд, заключенный внутри выбранной поверхности
Отметим, что, если заряд распределен не по всему объему шара, а лишь по его поверхности (задана заряженная сфера ), то напряженность поля внутри будет равна нулю .
Рассчитаем поле вне шара см. рис. 2.3.3.
Теперь поверхность интегрирования полностью охватывает весь заряд шара. Теорема Гаусса запишется в виде
Учтем, что поле центрально симметричное
Окончательно для напряженности поля снаружи заряженного шара получим
Таким образом, поле вне равномерно заряженного шара будет иметь такой же вид, как для точечного заряда, помещенного в центре шара. Тот же результат получим и для равномерно заряженной сферы.
Проанализировать полученный результат (2.3.2) и (2.3.3) можно с помощью графика рис.2.3.4.
Электрическое поле бесконечного равномерно заряженного цилиндра.
Пусть бесконечно длинный цилиндр заряжен равномерно с объемной плотностью .
Радиус цилиндра равен . Найдем поле внутри цилиндра , как функцию
расстояния от оси. Поскольку система зарядов имеет осевую симметрию,
поверхностью интегрирования мысленно выберем также цилиндр меньшего
радиуса и произвольной высоты , ось которого совпадает с осью симметрии задачи (рис.2.3.5). Рассчитаем поток через поверхность этого цилиндра, разбив его на интеграл по боковой поверх-
ности и по основаниям
Из соображений симметрии
следует, что направлен радиально. Тогда, так как силовые линии поля не пронизывают ни одно из оснований выбранного цилиндра,то поток через эти поверхности равен нулю. Поток вектора через боковую поверхность цилиндра запишется:
Подставим оба выражения в исходную формулу теоремы Гаусса (2.3.1)
После несложных преобразований получим выражение для напряженности электрического поля внутри цилиндра
В этом случае также, если заряд распределен только по поверхности цилиндра, то напряженность поля внутри равна нулю.
Теперь найдем поле снаружи заряженного цилиндра
Мысленно выберем в качестве поверхности, через которую будем рассчитывать поток вектора , цилиндр радиуса и произвольной высоты (см. рис. 2.3.6).
Поток запишется так же как и для внутренней области. А заряд, заключенный внутри мысленного цилиндра, будет равен:
После несложных преобразований получим выражение для напряженности электрического
поля снаружи заряженного цилиндра:
Если ввести в этой задаче линейную плотность заряда, т.е. заряд на единице длины цилиндра , то выражение (2.3.5) преобразуется к виду
Что соответствует результату, полученному с помощью принципа суперпозиции (2.2.14).
Как видим зависимости в выражениях (2.3.4) и (2.3.5) разные. Построим график .
Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости.
Бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью . Силовые линии электрического поля симметричны относительно этой плоскости, а, следовательно вектор перпендикулярен заряженной плоскости. Мысленно выберем для интегрирования цилиндр произвольных размеров и расположим его как показано на рис.2.3.8. Запишем теорему Гаусса:) бывает удобно ввести скалярную характеристику изменения поля , называемую дивергенцией. Для определения этой характеристики выберем в поле малый объем вблизи некоторой точки Р и найдем поток вектора через поверхность, ограничивающую этот объем. Затем поделим полученную величину на объем и возьмем предел полученного отношения при стягивании объема к данной точке Р . Полученная величина называется дивергенцией вектора
. (2.3.7)
Из сказанного следует . (2.3.8)
Это соотношение носит название теорема Гаусса – Остроградского , оно справедливо для любого векторного поля.
Тогда из (2.3.1) и (2.3.8), принимая во внимание, что заряд, заключенный в объеме V, можно записать получим
или, так как в обеих частях уравнения интеграл берется по одному и тому же объему,
Это уравнение математически выражает теорему Гаусса для электрического поля в дифференциальной форме.
Смысл операции дивергенция состоит в том, что она устанавливает наличие источников поля (источников силовых линий). Точки, в которых дивергенция не равна нулю, являются источниками силовых линий поля. Таким образом, силовые линии электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах.
