Fiecare derivată parțială (prin x iar prin y) a unei funcții a două variabile este derivata obișnuită a unei funcții a unei variabile pentru o valoare fixă a celeilalte variabile:
(Unde y= const),
(Unde x= const).
Prin urmare, derivatele parțiale sunt calculate folosind formule și reguli pentru calcularea derivatelor funcțiilor unei variabile, luând în considerare cealaltă constantă variabilă.
Dacă nu aveți nevoie de o analiză a exemplelor și de teoria minimă necesară pentru aceasta, ci aveți nevoie doar de o soluție la problema dvs., atunci accesați calculator de derivate parțiale online .
Dacă este greu să vă concentrați pentru a urmări unde se află constanta în funcție, atunci în schița de soluție a exemplului, în loc de o variabilă cu o valoare fixă, puteți înlocui orice număr - atunci puteți calcula rapid derivata parțială ca derivata obisnuita a unei functii a unei variabile. Trebuie doar să vă amintiți să returnați constanta (o variabilă cu o valoare fixă) la locul ei când terminați proiectul final.
Proprietatea derivatelor parțiale descrisă mai sus rezultă din definiția derivatelor parțiale, care poate apărea în întrebările de examen. Prin urmare, pentru a vă familiariza cu definiția de mai jos, puteți deschide referința teoretică.
Conceptul de continuitate a funcției z= f(x, y) într-un punct este definit în mod similar cu acest concept pentru o funcție a unei variabile.
Funcţie z = f(x, y) se numeste continuu intr-un punct daca
Diferența (2) se numește increment total al funcției z(se obține ca urmare a creșterii ambelor argumente).
Să fie dată funcția z= f(x, y) și punct
Dacă funcția se schimbă z apare atunci când doar unul dintre argumente se schimbă, de exemplu, x, cu o valoare fixă a altui argument y, atunci funcția va primi un increment
numită creștere parțială a funcției f(x, y) De către x.
Luând în considerare o schimbare a funcției zîn funcție de schimbarea doar a unuia dintre argumente, trecem efectiv la o funcție a unei variabile.
Dacă există o limită finită
atunci se numește derivată parțială a funcției f(x, y) prin argumentare xși este indicată de unul dintre simboluri
(4)
Creșterea parțială este determinată în mod similar z De y:
și derivată parțială f(x, y) De către y:
(6)
Exemplul 1.
Soluţie. Aflați derivata parțială față de variabila „x”:
(y fix);
Găsim derivata parțială față de variabila „y”:
(x fix).
După cum puteți vedea, nu contează în ce măsură variabila este fixă: în acest caz este pur și simplu un anumit număr care este un factor (ca și în cazul derivatei obișnuite) al variabilei cu care găsim derivata parțială. . Dacă variabila fixă nu este înmulțită cu variabila cu care găsim derivata parțială, atunci această constantă singuratică, indiferent în ce măsură, ca în cazul derivatei obișnuite, dispare.
Exemplul 2. Dată o funcție
Găsiți derivate parțiale
(prin X) și (prin Y) și calculați valorile lor la punctul O (1; 2).
Soluţie. La fix y derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției de putere ( tabelul funcțiilor derivate ale unei variabile):
.
La fix x derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției exponențiale, iar al doilea - ca derivată a unei constante:
Acum să calculăm valorile acestor derivate parțiale la punctul respectiv O (1; 2):
Puteți verifica soluția problemelor derivate parțiale la calculator online cu derivate parțiale .
Exemplul 3. Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor
Soluţie. Într-un singur pas găsim
(y x, de parcă argumentul sinelui ar fi 5 x: la fel, 5 apare înaintea semnului funcției);
(x este fix și este în acest caz un multiplicator la y).
Puteți verifica soluția problemelor derivate parțiale la calculator online cu derivate parțiale .
Derivatele parțiale ale unei funcții de trei sau mai multe variabile sunt definite în mod similar.
Dacă fiecare set de valori ( x; y; ...; t) variabile independente din mulţime D corespunde unei anumite valori u din multi E, Asta u numită funcţie de variabile x, y, ..., t si denota u= f(x, y, ..., t).
Pentru funcțiile a trei sau mai multe variabile, nu există o interpretare geometrică.
Derivatele parțiale ale unei funcții a mai multor variabile sunt, de asemenea, determinate și calculate sub ipoteza că doar una dintre variabilele independente se modifică, în timp ce celelalte sunt fixe.
Exemplul 4. Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor
.
Soluţie. yŞi z fix:
xŞi z fix:
xŞi y fix:
Găsiți singur derivate parțiale și apoi uitați-vă la soluții
Exemplul 5.
Exemplul 6. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții.
Derivata parțială a unei funcții a mai multor variabile are același lucru sensul mecanic este același cu derivata unei funcții a unei variabile, este rata de modificare a funcției în raport cu o modificare a unuia dintre argumente.
Exemplul 8. Valoarea cantitativă a debitului P pasagerii căi ferate poate fi exprimat printr-o funcție
Unde P– numărul de pasageri, N– numărul de rezidenți ai punctelor corespondente, R- distanta dintre puncte.
Derivată parțială a unei funcții P De R, egal
arată că scăderea fluxului de pasageri este invers proporțională cu pătratul distanței dintre punctele corespunzătoare cu același număr de rezidenți în puncte.
Derivată parțială P De N, egal
arată că creșterea fluxului de pasageri este proporțională cu dublul numărului de locuitori ai localităților aflate la aceeași distanță între puncte.
Puteți verifica soluția problemelor derivate parțiale la calculator online cu derivate parțiale .
Diferenţial complet
Produsul unei derivate parțiale și incrementul variabilei independente corespunzătoare se numește diferență parțială. Diferențele parțiale se notează după cum urmează:
Suma diferenţialelor parţiale pentru toate variabilele independente dă diferenţialul total. Pentru o funcție a două variabile independente, diferența totală este exprimată prin egalitate
(7)
Exemplul 9. Găsiți diferența completă a unei funcții
Soluţie. Rezultatul utilizării formulei (7):
Se spune că o funcție care are o diferență totală în fiecare punct al unui anumit domeniu este diferențiabilă în acel domeniu.
Găsiți singur diferența totală și apoi uitați-vă la soluție
La fel ca și în cazul unei funcții a unei variabile, diferențiabilitatea unei funcții într-un anumit domeniu implică continuitatea acesteia în acest domeniu, dar nu invers.
Să formulăm fără dovezi o condiție suficientă pentru derivabilitatea unei funcții.
Teorema. Dacă funcţia z= f(x, y) are derivate parțiale continue
într-o regiune dată, atunci este diferențiabilă în această regiune și diferența sa este exprimată prin formula (7).
Se poate demonstra că, la fel ca în cazul unei funcții a unei variabile, diferența funcției este partea liniară principală a incrementului funcției, deci în cazul unei funcții de mai multe variabile, diferența totală este principala, liniară în raport cu incrementele variabilelor independente, parte din incrementul total al funcției.
Pentru o funcție a două variabile increment complet funcția are forma
(8)
unde α și β sunt infinitezimale la și .
Derivate parțiale de ordin superior
Derivate parțiale și funcții f(x, y) în sine sunt unele funcții ale acelorași variabile și, la rândul lor, pot avea derivate față de diferite variabile, care sunt numite derivate parțiale de ordin superior.
Derivatele parțiale ale unei funcții, dacă nu există la un moment dat, ci pe o anumită mulțime, sunt funcții definite pe această mulțime. Aceste funcții pot fi continue și, în unele cazuri, pot avea și derivate parțiale în diferite puncte din domeniul lor.
Derivatele parțiale ale acestor funcții sunt numite derivate parțiale de ordinul doi sau derivate parțiale a doua.
Derivatele parțiale de ordinul doi sunt împărțite în două grupuri:
· derivate parțiale secundare ale unei variabile;
· derivate parțiale mixte ale cu privire la variabile și.
Cu diferențierea ulterioară, pot fi determinate derivate parțiale de ordinul trei etc. Prin raționament similar, derivatele parțiale de ordin superior sunt determinate și scrise.
Teorema. Dacă toate derivatele parțiale incluse în calcule, considerate ca funcții ale variabilelor lor independente, sunt continue, atunci rezultatul diferențierii parțiale nu depinde de succesiunea diferențierii.
Adesea este nevoie să se rezolve problema inversă, care constă în a determina dacă diferența totală a unei funcții este o expresie a formei, unde sunt funcții continue cu derivate continue de ordinul întâi.
Condiția necesară pentru o diferență totală poate fi formulată ca o teoremă, pe care o acceptăm fără demonstrație.
Teorema. Pentru ca o expresie diferențială să fie într-un domeniu diferența totală a unei funcții definită și diferențiabilă în acest domeniu, este necesar ca în acest domeniu condiția pentru orice pereche de variabile independente și să fie satisfăcută identic.
Problema calculării diferenţialului total de ordinul doi a unei funcţii poate fi rezolvată după cum urmează. Dacă expresia unei diferenţiale totale este şi ea diferenţiabilă, atunci a doua diferenţială totală (sau o diferenţială totală de ordinul doi) poate fi considerată expresia obţinută prin aplicarea operaţiei de diferenţiere la prima diferenţială totală, i.e. . Expresia analitică pentru a doua diferență totală este:
Ținând cont de faptul că derivatele mixte nu depind de ordinea diferențierii, formula poate fi grupată și prezentată sub forma unei forme pătratice:
Matricea de forma patratica este:
Fie o suprapunere de funcții definite în și
Definit în. În același timp. Atunci, dacă și au derivate parțiale continue până la ordinul doi în puncte și, atunci există o a doua diferență totală functie complexa de urmatoarea forma:
După cum puteți vedea, a doua diferență completă nu are proprietatea invarianței formei. Expresia celei de-a doua diferenţiale a unei funcţii complexe include termeni de formă care sunt absenţi în formula celei de-a doua diferenţiale a unei funcţii simple.
Construcția derivatelor parțiale ale unei funcții de ordin superior poate fi continuată prin diferențierea secvențială a acestei funcții:
Acolo unde indicii iau valori de la până la, i.e. derivata de ordin este considerată ca o derivată parțială de ordinul întâi a derivatei de ordin. În mod similar, putem introduce conceptul de diferenţial complet de ordinul unei funcţii, ca diferenţial complet de ordinul întâi dintr-un diferenţial de ordin: .
În cazul unei funcţii simple de două variabile, formula de calcul a diferenţialului total de ordine a funcţiei este
Utilizarea operatorului de diferențiere ne permite să obținem o formă de notație compactă și ușor de reținut pentru calcularea diferenţialului total de ordinul unei funcţii, similar formulei binomiale a lui Newton. În cazul bidimensional are forma.
Lasă funcția să fie definită într-un domeniu (deschis). D
puncte 
spațiu dimensional și 
– un punct în această zonă, adică
D.
Creștere parțială a funcției din multe variabile pentru orice variabilă este incrementul pe care îl va primi funcția dacă dăm un increment acestei variabile, presupunând că toate celelalte variabile au valori constante.
De exemplu, creșterea parțială a unei funcții cu o variabilă 
voinţă
Derivată parțială față de variabila independentă 
la punct 
a unei funcții se numește limita (dacă există) a raportului de creștere parțială 
funcții pentru a crește 
variabilă 
în timp ce se străduieşte 
la zero:
Derivata parțială se notează cu unul dintre simbolurile:
;
.
Comentariu. Index 
de mai jos, în aceste notații, indică numai care dintre variabile este luată derivata și nu este legată în ce moment 
se calculează această derivată.
Calculul derivatelor parțiale nu este nimic nou în comparație cu calculul derivatei obișnuite, trebuie doar să vă amintiți că atunci când diferențiați o funcție față de orice variabilă, toate celelalte variabile sunt luate ca constante. Să arătăm asta cu exemple.
Exemplul 1.Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor 
.
Soluţie. La calcularea derivatei parțiale a unei funcții 
prin argumentare 
luați în considerare funcția 
în funcţie de o singură variabilă 
, adică noi credem că 
are o valoare fixă. La fix 
funcţie 
este o funcție de putere a argumentului 
.
Folosind formula de diferențiere a unei funcții de putere, obținem: 
În mod similar, la calcularea derivatei parțiale 
presupunem că valoarea este fixă 
, și luați în considerare funcția Cum funcţie exponenţială 
argument
.. Ca rezultat obținem:Exemplul 2 
N 
derivate parțiale IT 
.
Şi funcții 
Soluţie. 
La calcularea derivatei parțiale în raport cu 
funcţie dată 
o vom considera ca o functie a unei variabile 
, și expresii care conțin 
cu o funcție de putere 
(
). Diferenţierea acestei expresii prin 
, obținem: 
.
Acum, dimpotrivă, funcția 
considerată în funcție de o variabilă 
, în timp ce expresiile care conțin 
, acționează ca un coeficient 
(
).Diferentiere 
conform regulilor de diferențiere a funcțiilor trigonometrice, obținem:
Exemplul 3. Calculați derivate parțiale ale funcțiilor 
la punct 
.
Şi Mai întâi găsim derivatele parțiale ale acestei funcții într-un punct arbitrar 
domeniul său de definire. La calcularea derivatei parțiale în raport cu 
noi credem că 
sunt permanente.
la diferenţierea prin 
va fi permanent 
:
iar la calcularea derivatelor parţiale cu privire la 
iar prin 
, în mod similar, va fi constantă, respectiv, 
N 
, adică:
Acum să calculăm valorile acestor derivate la punctul respectiv
, substituind valori specifice ale variabilelor în expresiile acestora. Ca rezultat obținem:
11. Funcții diferențiale parțiale și complete
Dacă acum la creșterea parțială 
se aplică teorema lui Lagrange pe incremente finite într-o variabilă 
, atunci, având în vedere 
continuu, obtinem urmatoarele relatii:
Unde 
,
– o cantitate infinitezimală.
Funcția diferențială parțială după variabilă 
se numește partea liniară principală a incrementului parțial 
, egal cu produsul derivatei parțiale față de această variabilă și incrementul acestei variabile și se notează
Evident, o diferență parțială diferă de o creștere parțială printr-un infinitezimal de ordin superior.
Creștere completă a funcției a multor variabile se numește increment pe care îl va primi atunci când dăm un increment tuturor variabilelor independente, adică.
unde este toată lumea 
, depind și împreună cu ele tind spre zero.
Sub diferențiale ale variabilelor independente
a fost de acord să implice arbitrar incremente 
și desemnează-i 
.
Astfel, expresia pentru diferența parțială va lua forma: 
De exemplu, diferențial parțial 
De
.
este definit astfel:
Diferenţial complet 
o funcție a mai multor variabile se numește partea liniară principală a incrementului total , egal, i.e.
suma tuturor diferenţialelor sale parţiale: 
Dacă funcţia
are derivate parțiale continue 
la punct apoi ea.
diferențiabilă într-un punct dat 
Când este suficient de mic pentru o funcție diferențiabilă
,
există egalităţi aproximative
cu care se pot face calcule aproximative.Exemplul 4. 
Găsiți diferența completă a unei funcții 
.
Şi trei variabile
În primul rând, găsim derivatele parțiale:
Observând că sunt continue pentru toate valorile
, gasim: 
N 
Pentru diferențiale de funcții ale mai multor variabile, toate teoremele despre proprietățile diferențialelor, dovedite pentru cazul funcțiilor unei variabile, sunt adevărate, de exemplu: dacă funcţiile variabilelor
, având derivate parțiale continue față de toate variabilele și 
N 
sunt constante arbitrare, atunci:
(6)
Lucrarea practică nr. 2
„Funcție diferențială”
Scopul lecției: Învață să rezolvi exemple și probleme pe această temă.
Întrebări de teorie (linie de bază):
1. Aplicarea derivatelor pentru studiul funcțiilor la extrem.
2. Diferenţialul unei funcţii, sensul ei geometric şi fizic.
3. Diferenţial complet funcţiile multor variabile.
4. Starea corpului în funcție de multe variabile.
5. Calcule aproximative.
6. Găsirea derivatelor parțiale și diferențialelor totale.
7. Exemple de utilizare a acestor concepte în farmacocinetică, microbiologie etc.
(auto-pregătire)
1. răspunde la întrebări pe tema lecției;
2. rezolva exemple.
Exemple
Găsiți diferențele următoarelor funcții:
| 1) | 2)  | 3)  |
4)  | 5)  | 6) |
7)  | 8) | 9)  |
10)  | 11) | 12)  |
13)  | 14)  | 15) |
16)  | 17) | 18)  |
19)  | 20)  |
Utilizarea derivatelor pentru studiul funcțiilor
Condiție pentru ca funcția y = f(x) să crească pe intervalul [a, b]
Condiție pentru ca funcția y=f(x) să scadă pe segmentul [a, b]
Condiție pentru funcția maximă y=f(x)at x=a
f"(a)=0 și f"" (a)<0
Dacă la x=a derivatele f"(a) = 0 și f"(a) = 0, atunci este necesar să se studieze f"(x) în vecinătatea punctului x = a. Funcția y=f( x) la x=a are un maxim, dacă, la trecerea prin punctul x = a, derivata f"(x) își schimbă semnul din „+” în „-”, în cazul unui minim - din „-” la „+” Dacă f"(x) nu își schimbă semnul la trecerea prin punctul x = a, atunci în acest moment funcția nu are extremă
Diferenţial de funcţie.
Diferenţialul unei variabile independente este egal cu incrementul acesteia:
Diferenţialul funcţiei y=f(x)
Diferenţialul sumei (diferenţei) a două funcţii y=u±v
Diferenţialul produsului a două funcţii y=uv
Diferenţialul câtului a două funcţii y=u/v
dy=(vdu-udv)/v 2
Creșterea funcției
Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f"(x) Δx
unde Δx: - increment argument.
Calculul aproximativ al valorii funcției:
f(x + Δx) ≈ f(x) + f"(x) Δx
Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative
Diferenţialul este utilizat pentru a calcula erori absolute şi relative în măsurători indirecte u = f(x, y, z.). Eroarea absolută a rezultatului măsurării
du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…
Eroarea relativă a rezultatului măsurării
du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u
FUNCȚIE DIFERENȚIALĂ.
Diferenţialul unei funcţii ca parte principală a incrementului unei funcţii
Şi. Strâns legat de conceptul de derivată este conceptul de diferenţial al unei funcţii. Lasă funcția f(x) este continuă pentru valorile date Xși are o derivată 
D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), de unde incrementul funcției Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, Unde a(Dx)® 0 la Dх® 0. Să determinăm ordinea infinitezimalului f¢(x)Dx Dx.:
Prin urmare, infinitezimal f¢(x)DxŞi Dx au aceeași ordine de micime, adică f¢(x)Dx = O.
Să determinăm ordinea infinitezimalului a(Dх)Dх relativ la infinitezimal Dx:
Prin urmare, infinitezimal a(Dх)Dх are un ordin mai mare de micime comparativ cu infinitezimal Dx, adică a(Dx)Dx = o.
Astfel, incrementul infinitezimal Df functia diferentiabila poate fi reprezentata sub forma a doi termeni: infinitezimal f¢(x)Dx de aceeași ordin de micime cu Dxși infinitezimal a(Dх)Dх ordin mai mare al micimii comparativ cu infinitezimal Dx. Asta înseamnă că în egalitate Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx la Dх® 0 al doilea termen tinde spre zero „mai rapid” decât primul, adică a(Dx)Dx = o.
Primul mandat f¢(x)Dx, liniară în raport cu Dx, numit functie diferentiala f(x) la punct X si denota dy sau df(a se citi „de igrek” sau „de ef”). Aşa,
dy = df = f¢(x)Dx.
Sensul analitic al diferenţialului este că diferența unei funcții este partea principală a incrementului funcției Df, liniar în raport cu incrementul argumentului Dx. Diferenţialul unei funcţii diferă de incrementul unei funcţii printr-un infinitezimal de ordin mai mare al micşorării decât Dx. într-adevăr, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx sau Df = df + a(Dx)Dx . Argument diferential dx egal cu incrementul acestuia Dx: dx=Dx.
Exemplu. Calculați valoarea diferențială a unei funcții f(x) = x 3 + 2x, Când X variază de la 1 la 1,1.
Şi Să găsim o expresie generală pentru diferența acestei funcții:
Înlocuirea valorilor dx=Dx=1,1–1= 0,1Şi x = 1în ultima formulă, obținem valoarea dorită a diferenţialului: df½ x=1; = 0,5.
DERIVATE PARȚIALE ȘI DIFERENȚIALE.
Derivate parțiale de ordinul întâi. Derivată parțială de ordinul întâi a funcției z = f(x,y ) prin argumentare Xîn punctul în cauză (x;y) numită limită
dacă există.
Derivată parțială a unei funcții z = f(x, y) prin argumentare X este indicată de unul dintre următoarele simboluri:
În mod similar, derivata parțială cu privire la la notat și definit prin formula:
Deoarece derivata parțială este derivata obișnuită a unei funcții a unui argument, nu este dificil de calculat. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați toate regulile de diferențiere avute în vedere până acum, ținând cont în fiecare caz care dintre argumente este luată ca „număr constant” și care servește ca „variabilă de diferențiere”.
Comentariu. Pentru a găsi derivata parțială, de exemplu, în raport cu argumentul x – df/dx, este suficient să găsim derivata obișnuită a funcției f(x,y), considerând-o pe aceasta din urmă o funcţie a unui singur argument X, A la– constantă; a găsi df/dy- viceversa.
Exemplu. Găsiți valorile derivatelor parțiale ale unei funcții f(x,y) = 2x 2 + y 2 la punct P(1;2).
Soluţie. Numărând f(x,y) funcția unui singur argument X iar folosind regulile de diferențiere, găsim
La punctul P(1;2) valoare derivată
Considerând f(x;y) o funcție a unui argument y, găsim
La punctul P(1;2) valoare derivată
SARCINA PENTRU MUNCA INDEPENDENTĂ A ELEVULUI:
Găsiți diferențele următoarelor funcții:
Rezolvați următoarele probleme:
1. Cât de mult va scădea aria unui pătrat cu latura x=10 cm dacă latura se micșorează cu 0,01 cm?
2. Ecuația mișcării corpului este dată: y=t 3 /2+2t 2, unde s este exprimat în metri, t este în secunde. Aflați traseul s parcurs de corp în t=1,92 s de la începutul mișcării.
LITERATURĂ
1. Lobotskaya N.L. Fundamente ale matematicii superioare - M.: „Școala superioară”, 1978.C198-226.
2. Bailey N. Matematică în biologie și medicină. Pe. din engleză M.: „Mir”, 1970.
3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. Culegere de probleme de fizică medicală și biologică - M.: „Școala Superior”, 1987. P16-20.
Conceptul unei funcții a două variabile
Magnitudinea z numit funcţia a două variabile independente xŞi y, dacă fiecare pereche de valori admisibile ale acestor cantități, conform unei anumite legi, corespunde unei valori complet definite a cantității z. Variabile independente xŞi y numit argumente funcții.
Această dependență funcțională este notă analitic
Z = f(x,y),(1)
Valorile argumentelor x și y care corespund valorilor reale ale funcției z, sunt considerate acceptabilși se numește mulțimea tuturor perechilor admisibile de valori x și y domeniul definirii funcţiile a două variabile.
Pentru o funcție a mai multor variabile, spre deosebire de o funcție a unei variabile, conceptele sale sporuri private pentru fiecare dintre argumente și concept increment complet.
Increment parțial Δ x z a funcției z=f (x,y) prin argument x este incrementul pe care îl primește această funcție dacă argumentul său x este incrementat Δx cu constantă y:
Δ x z = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)
Incrementul parțial Δ y z al unei funcții z= f (x, y) peste argumentul y este incrementul pe care îl primește această funcție dacă argumentul său y primește un increment Δy cu x neschimbat:
Δ y z= f (x, y + Δy) – f (x, y) , (3)
Increment complet Δz funcții z= f (x, y) prin argumentare xŞi y este incrementul pe care o primește o funcție dacă ambele argumente primesc incremente:
Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y) , (4)
Pentru incremente suficient de mici ΔxŞi Δy argumente ale funcției
există o egalitate aproximativă:
Δz Δ x z + Δ y z , (5)
și cu cât este mai mic, cu atât este mai precis ΔxŞi Δy.
Derivate parțiale ale unei funcții a două variabile
Derivată parțială a funcției z=f (x, y) față de argumentul x în punctul (x, y) numită limita raportului de creștere parțial Δ x z această funcție la incrementul corespunzător Δx argumentul x când se străduiește Δx la 0 și cu condiția ca această limită să existe:
, (6)
Derivata funcției este determinată în mod similar z=f(x,y) prin argumentare y:
Pe lângă notația indicată, funcțiile derivate parțiale sunt de asemenea notate cu z΄x, f΄x (x, y); , z΄ y , f΄ y (x, y).
Sensul principal al derivatei parțiale este următorul: derivata parțială a unei funcții a mai multor variabile în raport cu oricare dintre argumentele sale caracterizează rata de modificare a acestei funcție atunci când acest argument se modifică.
Când se calculează derivata parțială a unei funcții a mai multor variabile în raport cu orice argument, toate celelalte argumente ale acestei funcții sunt considerate constante.
Exemplul 1. Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor
f (x, y)= x 2 + y 3
Soluţie. Când găsim derivata parțială a acestei funcții în raport cu argumentul x, considerăm argumentul y a fi o valoare constantă:
;
Când găsim derivata parțială în raport cu argumentul y, considerăm argumentul x a fi o valoare constantă:
.
Diferențiale parțiale și complete ale funcțiilor mai multor variabile
Diferenţială parţială a unei funcţii a mai multor variabile în raport cu care-sau din argumentele sale Produsul derivatei parțiale a acestei funcții față de un argument dat și diferenţialul acestui argument se numește:
d x z= ,(7)
d y z= (8)
Aici d x zŞi d y z-diferențiale parțiale ale unei funcții z= f (x, y) prin argumentare xŞi y.În același timp
dx=Δx; dy=Δy, (9)
Diferenţial complet o funcție a mai multor variabile se numește suma diferențialelor sale parțiale:
dz= d x z + d y z, (10)
Exemplul 2. Să găsim diferențiale parțiale și complete ale funcției f (x, y)= x 2 + y 3 .
Deoarece derivatele parțiale ale acestei funcții au fost găsite în Exemplul 1, obținem
d x z= 2xdx; d y z= 3y 2 dy;
dz= 2xdx + 3y 2 dy
Diferența parțială a unei funcții a mai multor variabile în raport cu fiecare dintre argumentele sale este partea principală a incrementului parțial corespunzător al funcției.
Ca urmare, putem scrie:
Δ x z d x z, Δ y z d y z, (11)
Sensul analitic al diferenţialului total este că diferenţialul total al unei funcţii de mai multe variabile reprezintă partea principală a incrementului total al acestei funcţii..
Astfel, există o egalitate aproximativă
Δz dz, (12)
Utilizarea diferenţialului total în calcule aproximative se bazează pe utilizarea formulei (12).
Să ne imaginăm creșterea Δzîn formă
f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)
iar diferenta totala este sub forma
Atunci obținem:
f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) 
,
, (13)
3. Scopul activităților elevilor în clasă:
Studentul trebuie sa stie:
1. Definirea unei funcţii a două variabile.
2. Conceptul de increment parțial și total al unei funcții a două variabile.
3. Determinarea derivatei parțiale a unei funcții de mai multe variabile.
4. Sensul fizic al derivatei parțiale a unei funcții a mai multor variabile în raport cu oricare dintre argumentele acesteia.
5. Determinarea diferenţialului parţial al unei funcţii de mai multe variabile.
6. Determinarea diferenţialului total al unei funcţii de mai multe variabile.
7. Sensul analitic al diferenţialului total.
Studentul trebuie să fie capabil să:
1. Aflați incrementul parțial și total al unei funcții a două variabile.
2. Calculați derivate parțiale ale funcțiilor mai multor variabile.
3. Găsiți diferențiale parțiale și complete ale unei funcții a mai multor variabile.
4. Utilizați diferența totală a unei funcții a mai multor variabile în calcule aproximative.
Partea teoretică:
1. Conceptul de funcție a mai multor variabile.
2. Funcția a două variabile. Creșterea parțială și totală a unei funcții a două variabile.
3. Derivată parțială a unei funcții a mai multor variabile.
4. Diferențiale parțiale ale funcțiilor mai multor variabile.
5. Diferenţial complet al unei funcţii de mai multe variabile.
6. Aplicarea diferenţialului total al unei funcţii a mai multor variabile în calcule aproximative.
Partea practica:
1.Găsiți derivatele parțiale ale funcțiilor:
1) 
; 4) 
;
2) z= e xy+2 x; 5) z= 2tg xe y;
3) z= x 2 sin 2 y; 6) 
.
4. Definiți derivata parțială a unei funcții în raport cu un argument dat.
5. Ce se numește diferența parțială și totală a unei funcții a două variabile? Cum sunt ele legate?
6. Lista de întrebări pentru a verifica nivelul final de cunoștințe:
1. În cazul general, este incrementul total al unei funcții arbitrare a mai multor variabile egal cu suma tuturor incrementelor parțiale?
2. Care este semnificația principală a derivatei parțiale a unei funcții a mai multor variabile în raport cu oricare dintre argumentele acesteia?
3. Care este sensul analitic al diferenţialului total?
7.Cronograful sesiunii de antrenament:
1. Moment organizatoric – 5 min.
2. Analiza temei – 20 min.
3. Rezolvarea exemplelor și problemelor - 40 min.
4. Controlul cunoștințelor curente -30 min.
5. Rezumatul lecției – 5 min.
8. Lista literaturii educaționale pentru lecție:
1. Morozov Yu.V. Fundamente ale matematicii si statisticii superioare. M., „Medicina”, 2004, §§ 4.1–4.5.
2. Pavlushkov I.V. şi altele. Fundamente ale matematicii superioare şi ale statisticii matematice. M., „GEOTAR-Media”, 2006, § 3.3.
