Teorema 1 (Teorema lui Thales). Liniile paralele taie segmente proporționale pe liniile care le intersectează (Fig. 1).
Definiția 1 . Două triunghiuri (Fig. 2) se numesc similare dacă laturile lor corespunzătoare sunt proporționale.
Teorema 2 (primul semn de asemănare). Dacă unghiul primului triunghi este egal cu unghiul celui de-al doilea triunghi, iar laturile triunghiurilor adiacente acestor unghiuri sunt proporționale, atunci astfel de triunghiuri sunt similare (vezi Fig. 2).
Teorema 3 (al doilea semn de asemănare). Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu două unghiuri ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt similare (Fig. 3).
Teorema 4 (teorema lui Menelaus). Dacă o anumită dreaptă intersectează laturile AB și BC ale triunghiului ABC în punctele X și Y, respectiv, și continuarea laturii AC în punctul Z (Fig. 4), atunci
Teorema 5. Lasă să intre triunghi acutÎnălțimile AA1 și CC1 sunt desenate ABC (Fig. 5). Atunci triunghiurile A1 BC1 și ABC sunt similare, iar coeficientul de asemănare este egal cu cos ∠B.
Lema 1. Dacă laturile AC și DF ale triunghiurilor ABC și DEF se află pe aceeași dreaptă sau pe drepte paralele (Fig. 6), atunci
Lema 2. Dacă două triunghiuri au o latură comună AC (Fig. 7), atunci
Lema 3. Dacă triunghiurile ABC și AB1 C1 au un unghi comun A, atunci
Lema 4. Arii triunghiurilor similare sunt legate ca pătratul coeficientului de asemănare.
Demonstrațiile unor teoreme
Demonstrarea teoremei 4
. Să tragem o dreaptă paralelă cu dreapta AB prin punctul C până când aceasta intersectează linia XZ în punctul K (Fig. 9). Trebuie să dovedim asta
Luați în considerare două perechi de triunghiuri similare:
Înmulțind aceste egalități termen cu termen, obținem: 
Q.E.D.
Demonstrarea teoremei 5. Să demonstrăm asemănarea triunghiurilor A1 BC1 și ABC folosind primul criteriu de asemănare. Deoarece aceste două triunghiuri au un unghi comun B, este suficient să demonstrăm că
Dar acest lucru rezultă din faptul că dintr-un triunghi dreptunghic ABA1 și dintr-un triunghi dreptunghic CBC1. În același timp, a fost demonstrată și partea a doua a teoremei.
Rezolvarea problemelor
Problema 1. Având în vedere un trapez ABCD, se știe că BC = oși AD = b. O dreaptă este trasată paralelă cu bazele sale BC și AD, intersectând latura AB în punctul P, diagonala AC în punctul L, diagonala BD în punctul R și latura CD în punctul Q (Fig. 10). Se știe că PL = LR. Găsiți PQ.
Soluţie. Să demonstrăm mai întâi că PL = RQ. Luați în considerare două perechi de triunghiuri similare: 
Conform teoremei lui Thales avem:
Să notăm acum PL = LR = RQ = x și să considerăm din nou două perechi de triunghiuri similare: 
Mai avem:
Mijloace,
Răspuns:
Problema 2. În triunghiul ABC, unghiul A este de 45° și unghiul C este ascuțit. Din mijlocul N al laturii BC, o perpendiculară NM este coborâtă spre latura AC (Fig. 11). Aricele triunghiurilor NMC și ABC sunt în raport de 1:8, respectiv. Aflați unghiurile triunghiului ABC.
Soluţie. Fie BH înălțimea coborâtă de la vârful B la latura AC.
Deoarece NM este linia mediană a triunghiului BHC, atunci S∆BHC = 4S∆NMC.
Dar, conform condițiilor problemei, S∆ABC = 8S∆NMC.
Prin urmare, S∆ABC = 2S∆BHC, deci S∆ABH = S∆BHC. Deci AH = HC,
de unde ∠CAB = ∠ACB = 45°, ∠ABC = 90°.
Răspuns: ∠CAB = ∠ACB = 45°, ∠ABC = 90°.
Problema 3. Având în vedere un triunghi ABC, în care unghiul B este de 30°, AB = 4 și BC = 6. Bisectoarea unghiului B intersectează latura AC în punctul D (Fig. 12). Determinați aria triunghiului ABD.
Soluţie. Să aplicăm teorema pe bisectoarea unui unghi intern triunghiului ABC:
Mijloace,
Răspuns:
Articolul a fost publicat cu sprijinul companiei World of Flowers. Depozit cu ridicata și cu amănuntul de bunuri de nuntă și ritualuri, flori artificiale în Krasnodar. Accesorii pentru nunta - lumanari, bannere, pahare, panglici, invitatii si multe altele. Bunuri rituale - țesături, îmbrăcăminte, accesorii. Puteți afla mai multe despre companie, puteți vizualiza catalogul de produse, prețuri și contacte pe site-ul, care se află la adresa: flowersworld.su.
Problema 4. Prin punctul mediu M al laturii BC a paralelogramului ABCD, a cărui arie este 1, și vârful A, se trasează o dreaptă care intersectează diagonala BD în punctul O (Fig. 13). Găsiți aria patrulaterului OMCD.
Soluţie. Vom căuta aria patrulaterului OMCD ca diferență între ariile triunghiurilor BCD și BOM. Aria triunghiului BCD este egală cu jumătate din aria paralelogramului ABCD și este egală cu Găsiți aria triunghiului BOM. Avem:
∆ BOM ∼ ∆ AOD ⇒ 
Următorul:
Mijloace, 
Răspuns:
Problema 5. Un triunghi dreptunghic MNC este înscris într-un triunghi dreptunghic isoscel ABC cu un unghi drept la vârful B, astfel încât unghiul MNC este drept, punctul N se află pe AC și punctul M pe latura AB (Fig. 14). În ce raport trebuie să împartă punctul N ipotenuza AC astfel încât aria triunghiului MNC să fie egală cu aria triunghiului ABC?
Soluţie. Putem presupune că AB = 1. Să notăm AM = x, 0< x < 1, тогда BM = 1 – x,
Avem: 
Răspuns:
Problema 6. În trapezul ABCD, diagonala AC este perpendiculară pe latura CD și diagonala DB este perpendiculară pe latura AB. Prelungirile laturilor laterale AB și DC se intersectează în punctul K, formând un triunghi AKD cu un unghi de 45° la vârful K (Fig. 15). Aria trapezului ABCD este egală cu S. Aflați aria triunghiului AKD.
Soluţie. Conform teoremei 5, triunghiul BKC este similar cu triunghiul AKD cu coeficient de similitudine 
Prin urmare, ariile acestor triunghiuri sunt în raportul 1:2, ceea ce înseamnă că aria trapezului ABCD este egală cu aria triunghiului BKC. Prin urmare, aria triunghiului AKD este 2S.
Răspuns: 2S.
Problema 7. În triunghiul ABC, punctul K este luat pe latura AB astfel încât AK: KB = 1: 2, iar punctul L este luat pe latura BC astfel încât CL: LB = 2: 1. Fie Q punctul de intersecție al dreptelor AL și CK (Fig. 16). Aflați aria triunghiului ABC, știind că aria triunghiului BQC este 1.
Soluţie. Fie AK = x, BL = y. Atunci KB = 2x,
LC = 2y, deci AB = 3x și BC = 3y. Să aplicăm teorema lui Menelaus triunghiului ABL și secantei KQ:
Problema 8. Din punctul M, care se află în interiorul triunghiului ascuțit ABC, se desenează perpendiculare pe laturi (Fig. 17). Lungimile laturilor și, respectiv, perpendicularele căzute pe ele sunt egale oși k, b și m, c și n. Calculați raportul dintre aria triunghiului ABC și aria unui triunghi ale cărui vârfuri sunt bazele perpendicularelor.
Soluţie. Să introducem notația standard, adică notăm lungimile laturilor triunghiului ABC: BC = o, CA = b, AB = c; valorile unghiului: ∠BAC = α,
∠ABC = β, ∠ACB = γ. Bazele perpendicularelor coborâte din punctul M spre laturile BC, CA și AB vor fi notate cu D, E și respectiv F Apoi, conform condițiilor problemei, MD = k, ME = m, MF = n. Este evident că unghiul EMF este egal cu π – α, unghiul DMF este egal cu π – β, unghiul DME este egal cu π – γ și punctul M este situat în interiorul triunghiului DEF. Aria triunghiului DEF este:
Aria triunghiului ABC este:
Să găsim raportul dintre ariile triunghiurilor DEF și ABC:
Prin urmare, 
Răspuns: 
Problema 9. Punctele P și Q sunt situate pe latura BC a triunghiului ABC astfel încât BP: PQ: QC = 1: 2: 3.
Punctul R împarte latura AC a acestui triunghi în așa fel încât AR: RC = 1: 2 (Fig. 18). Care este raportul dintre aria patrulaterului PQST și aria triunghiului ABC, unde S și T sunt punctele de intersecție ale dreptei BR cu liniile AQ și, respectiv, AP?
Soluţie. Să notăm BP = x, AR = y; Apoi
PQ = 2x, QC = 3x, RC = 2y. Să calculăm ce parte este aria patrulaterului PQST din aria triunghiului APQ și, prin urmare, din aria triunghiului ABC. Pentru a face acest lucru, avem nevoie de relații în care punctele S și T împart liniile AQ și, respectiv, AP. Să aplicăm teorema lui Menelaus triunghiului ACQ și secantei SR:
În mod similar, aplicând teorema lui Menelaus triunghiului ACP și secantei TR, obținem:
Următorul: 
Pe de altă parte, aplicând lema ariei triunghiurilor APQ și ABC, constatăm că
Răspuns:
Problema 10. În triunghiul ABC, lungimea altitudinii BD este 6, lungimea medianei CE este 5, distanța de la punctul de intersecție al BD cu CE până la latura AC este 1 (Fig. 19). Aflați lungimea laturii AB.
Soluţie. Fie punctul O punctul de intersecție al dreptelor BD și CE. Distanța de la punctul O la latura AC (egale cu unu) este lungimea segmentului OD. Deci, OD = 1 și OB = 5. Să aplicăm teorema lui Menelaus triunghiului ABD și secantei OE:
Acum aplicând teorema lui Menelaus triunghiului ACE și secantei OD, obținem asta
de unde OE = 2CO și ținând cont de OE + CO = CE = 5
constatăm că aplicăm teorema lui Pitagora triunghiului dreptunghic CDO:
Mijloace, 
În cele din urmă, luați în considerare triunghiul dreptunghic ABD, vom folosi și teorema lui Pitagora în el:
Răspuns:
Problema 11. Pe segmentul AB sunt punctele C și D, iar punctul C este situat între punctele A și D. Punctul M este luat astfel încât dreptele AM și MD să fie perpendiculare, iar dreptele CM și MB să fie și ele perpendiculare (Fig. 20) . Găsiți aria triunghiului AMB dacă se știe că unghiul CMD este egal cu α, iar ariile triunghiurilor AMD și CMB sunt egale cu S1 și, respectiv, S2.
Soluţie. Să notăm ariile triunghiurilor AMB și, respectiv, CMD prin
x și y (x > y). Rețineți că x + y = S1 + S2. Să arătăm acum că xy = S 1 S 2 sin 2 α. într-adevăr, 
De asemenea, 
Deoarece ∠AMB = ∠AMC + ∠CMD + ∠DMB =
= 90° – α + α + 90° – α = 180° – α, iar sin ∠AMB =
= sin α. Mijloace:
Deci numerele x și y sunt rădăcini ecuație pătratică
t2 – (S1 + S2 )t + S1 S2 sin2 α = 0.
Rădăcina mai mare a acestei ecuații este:
Răspuns: 
Sarcini pentru decizie independentă
S-1.Într-un triunghi ABC, a cărui aria este S, bisectoarea CE și mediana BD sunt trasate, intersectându-se în punctul O. Aflați aria patrulaterului ADOE, știind că BC = o, AC = b.
S-2. Un pătrat este înscris într-un triunghi isoscel ABC astfel încât două dintre vârfurile sale se află pe baza BC, iar celelalte două pe laturile laterale ale triunghiului. Latura unui pătrat este legată de raza unui cerc înscris într-un triunghi, ca
8: 5. Aflați unghiurile triunghiului.
S-3. În paralelogramul ABCD cu laturile AD = 5 și AB = 4, se trasează un segment EF care leagă punctul E al laturii BC cu punctul F al laturii CD. Punctele E și F sunt alese astfel încât
BE: EC = 1: 2, CF: FE = 1: 5. Se știe că punctul M de intersecție a diagonalei AC cu segmentul FE satisface condiția MF: ME = 1: 4. Aflați diagonalele paralelogramului .
S-4. Aria trapezului ABCD este 6. Fie E punctul de intersecție al prelungirilor laturilor laterale ale acestui trapez. Se trasează o dreaptă prin punctul E și punctul de intersecție al diagonalelor trapezului, care intersectează baza mai mică BC în punctul P, baza mai mare AD în punctul Q. Punctul F se află pe segmentul EC și EF: FC = EP: EQ = 1: 3.
Găsiți aria triunghiului EPF.
S-5.Într-un triunghi ascuțit ABC (unde AB > BC) sunt trasate altitudinile AM și CN, punctul O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Se știe că unghiul ABC este β și aria patrulaterului NOMB este S. Aflați lungimea laturii AC.
S-6. În triunghiul ABC, punctul K de pe latura AB și punctul M de pe latura AC sunt situate astfel încât relațiile AK: KB = 3: 2 și AM: MC = 4: 5 sunt îndeplinite în ce raport se află punctul de intersecție al dreptelor KC și BM împărți segmentul BM?
S-7. În interiorul triunghiului dreptunghic ABC (unghiul B este un unghi drept), punctul D este luat astfel încât ariile triunghiurilor ABD și BDC să fie de trei, respectiv de patru ori mai mici decât aria triunghiului ABC. Lungimile segmentelor AD și DC sunt egale cu a și, respectiv, c. Aflați lungimea segmentului BD.
S-8. Într-un patrulater convex ABCD, un punct E este luat pe latura CD, astfel încât segmentul AE împarte patrulaterul ABCD într-un romb și un triunghi isoscel, raportul ariilor lor este Aflați valoarea unghiului BAD.
S-9. Înălțimea trapezului ABCD este 7, iar lungimile bazelor AD și BC sunt 8 și, respectiv, 6 O linie dreaptă BE este trasată prin punctul E de pe latura CD, care împarte diagonala AC în punctul O în raportul AO: OC = 3: 2. Aflați triunghiul de arie OEC.
S-10. Punctele K, L, M împart laturile unui patrulater convex ABCD în raportul AK: BK = CL: BL = CM: DM = 1: 2. Se știe că raza cercului circumscris în jurul triunghiului KLM este egală cu KL = 4, LM = 3 și KM< KL. Найдите площадь четырехугольника ABCD.
S-11. Prelungirile laturilor AD și BC ale unui patrulater convex ABCD se intersectează în punctul M, iar prelungirile laturilor AB și CD se intersectează în punctul O. Segmentul MO este perpendicular pe bisectoarea unghiului AOD. Aflați raportul dintre ariile triunghiurilor AOD și BOC dacă OA = 6, OD = 4, CD = 1.
S-12. În triunghiul ABC, unghiul la vârful A este de 30°, iar altitudinile BD și CE se intersectează în punctul O. Aflați raportul razelor cercurilor circumscrise triunghiurilor DEO și ABC.
S-13. Segmentele care leagă bazele altitudinilor unui triunghi ascuțit sunt egale cu 5, 12 și 13. Aflați raza cercului circumscris triunghiului.
S-14. Într-un triunghi ascuțit ABC, punctul M este luat la altitudinea AD, iar punctul N este luat la altitudinea BP, astfel încât unghiurile BMC și ANC sunt unghiuri drepte. Distanța dintre punctele M și N este egală cu și ∠MCN = 30°.
Aflați bisectoarea CL a triunghiului CMN.
S-15. Punctele D, E și F sunt luate pe laturile AB, BC și AC ale triunghiului ABC, respectiv. Segmentele AE și DF trec prin centrul cercului înscris în triunghiul ABC, iar liniile DF și BC sunt paralele. Aflați lungimea segmentului BE și perimetrul triunghiului ABC dacă BC = 15, BD = 6, CF = 4.
S-16. În triunghiul ABC, bisectoarea BB" intersectează mediana AA" în punctul O.
Aflați raportul dintre aria triunghiului BOA" și aria triunghiului AOB" dacă AB: AC = 1: 4.
S-17. În triunghiul ABC, punctul D se află pe AC, cu AD = 2DC. Punctul E se află pe BC. Aria triunghiului ABD este 3, aria triunghiului AED este 1. Segmentele AE și BD se intersectează în punctul O. Aflați raportul dintre ariile triunghiurilor ABO și OED.
S-18. În paralelogramul ABCD, punctele E și F se află pe laturile AB și, respectiv, BC, M este punctul de intersecție al dreptelor AF și DE, cu AE = 2BE și BF = 3CF. Găsiți raportul AM:MF.
S-19. Într-un dreptunghi ABCD pe laturi
Punctele AB și AD E și F sunt alese astfel încât AE: EB = 3: 1, AF: FD = 1: 2. Aflați EO: OD, unde O este punctul de intersecție al segmentelor DE și CF.
S-20. Punctul N este luat pe latura PQ a triunghiului PQR, iar punctul L este luat pe latura PR și
NQ = LR. Punctul de intersecție al segmentelor QL și NR împarte segmentul QL în raportul m:n, numărând din punctul Q. Aflați raportul PN:PR.
S-21. Pe laturile unui unghi ascuțit cu vârful O se iau punctele A și B Pe raza OB, punctul M este luat la o distanță de 3OA de dreapta OA, iar pe raza OA, punctul N este luat la o distanță de 3OB. din linia dreaptă OB. Raza cercului circumferitor al triunghiului AOB este 3. Aflați MN.
S-22. Într-un pentagon convex ABCDE, diagonalele BE și CE sunt bisectoarele unghiurilor de la vârfurile B și, respectiv, C, ∠A = 35°, ∠D = 145°, S∆BCE = 11. Aflați aria pentagonului ABCDE.
S-23. Pe bazele AD și BC ale trapezului ABCD se construiesc pătratele ADEF și BCGH, situate în afara trapezului. Diagonalele trapezului se intersectează în punctul O. Aflați lungimea segmentului AD dacă BC = 2, GO = 7 și GF = 18.
S-24. În triunghiul ABC știm că AB = BC și unghiul BAC este de 45°. Linia MN intersectează latura AC în punctul M și latura BC în punctul N, cu AM = 2MC și ∠NMC = 60°. Găsiți raportul dintre aria triunghiului MNC și aria patrulaterului ABNM.
S-25. În triunghiul ABC, punctul N este luat pe latura AB, iar punctul M este pe latura AC. Segmentele CN și BM se intersectează în punctul O, AN: NB = 2: 3,
BO:OM = 5:2. Găsiți CO:ON.
Sursa locului de munca: Decizia 5346.-13. OGE 2016 Matematică, I.V. Iascenko. 36 de opțiuni.
Sarcina 11.În trapezul ABCD știm că AB = CD, unghiul BDA = 54° și unghiul BDC = 33°. Găsiți unghiul ABD. Dați răspunsul în grade.
Soluţie.
Dat un trapez isoscel cu laturile AB=CD. Deoarece unghiurile de la bazele unui astfel de trapez sunt egale, avem că și . Să aflăm mărimea unghiurilor A și D. Din figură se poate observa că unghiul D (și deci unghiul A) este egal cu:
Acum luați în considerare triunghiul ABD, în care unghiurile A și BDA sunt cunoscute și, deoarece suma tuturor unghiurilor din triunghi este de 180 de grade, găsim al treilea unghi ABD:
Răspuns: 39.
Sarcina 12. Trei puncte sunt marcate pe hârtie în carouri cu o dimensiune pătrată de 1x1: A, B și C. Aflați distanța de la punctul A la linia dreaptă BC.
Soluţie.
Distanța de la punctul A la dreapta BC este normala căzută din punctul A spre latura BC (linia roșie în figură). Lungimea acestei normale este de 3 celule, adică 3 unități.
Răspuns: 3.
Sarcina 13. Care dintre următoarele afirmații sunt adevărate?
1) Aria unui triunghi este mai mică decât produsul celor două laturi ale sale.
2) Un unghi înscris într-un cerc este egal cu unghiul central corespunzător bazat pe același arc.
3) Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, puteți trage o dreaptă perpendiculară pe această dreaptă.
Soluţie.
1) Corect. Aria unui triunghi este egală cu produsul dintre înălțimea și jumătatea bazei triunghiului și toate aceste cantități sunt mai mici decât lungimile oricăror două dintre laturile sale.
Trapez la examenul de stat unificat. Nivel de bază.
Probleme de la banca de activități deschisă FIPI.
Sarcina 1.În trapezul ABCD se știe că AB=CD,∠ BDA=54° și ∠ BDC=23°. Găsiți unghiul ABD. Dați răspunsul în grade.
Soluţie.Într-un trapez dat, unghiul A DC la baza inferioară este egală cu suma unghiurilor A D V și V DC , este egal cu 54 + 23 = 77 de grade. Deoarece trapezul este isoscel, unghiurile de la baza inferioară sunt egale și unghiul BA D este, de asemenea, egală cu 77 de grade. Suma unghiurilor BA D și AB D egal cu 180 de grade (unilaterale cu linii paralele A D și BC și secanta AB). Aceasta înseamnă că unghiul ABC este 180 – 77 = 103 grade.
Apoi folosim egalitatea unghiurilor A D B și D BC (în cruce cu liniile paralele A D și BC și secante B D). Deci unghiul AB D egal cu 103 – 54 = 49 de grade.
Răspuns 49.
Sarcina 2.Bazele unui trapez isoscel sunt 10 și 24, latura este 25. Aflați înălțimea trapezului.
Soluţie.În acest trapez, baza superioară BC este 10, cea inferioară este A D =24. De la vârfurile B și C coborâm înălțimile la baza inferioară. În dreptunghiul rezultat НВСК НК=ВС=10. Triunghiurile ABN și K DC DC), înseamnă AH=K D =(24-10):2=7. Conform teoremei lui Pitagora într-un triunghi ABN, pătratul catetei BN este egal cu diferența dintre pătratul ipotenuzei AB și pătratul catetului AN. Adică VN 2 = 625 – 49 = 576. VN = 24.
Răspuns 24.
Sarcina 3.Într-un trapez isoscel, una dintre baze
este 3 iar celălalt este 7. Înălțimea trapezului este 4. Aflați tangentei unghiului ascuțit al trapezului.
Soluţie.În acest trapez, baza superioară BC este 3, cea inferioară este A D =7. De la vârfurile B și C coborâm înălțimile la baza inferioară. În dreptunghiul rezultat НВСК НК=ВС=3. Triunghiurile ABN și K DC egale (sunt dreptunghiulare, VN = SK, AB = DC), înseamnă AN=K D =(7-3):2=2. Tangenta unghiului ascuțit BAN în triunghiul dreptunghic ABN este egală cu raportul dintre latura opusă BH și latura adiacentă AN, adică 4:2 = 2.
Răspuns 2.
Sarcina 4.Bazele trapezului sunt egale cu 8 și 16, latura laterală, egală cu 6, formează un unghi de 150° cu una dintre bazele trapezului. Găsiți aria trapezului.
Soluţie.Fie în trapezul din figură baza BC = 8, AD =16, latura laterală AB=6 și unghiul ABC este de 150 de grade. Știm că aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea. Motivele sunt cunoscute. Să găsim înălțimea lui VN. Într-un triunghi dreptunghic ABH, unghiul ABH este 150 – 90 = 60 de grade. Aceasta înseamnă că unghiul VAN este de 90 – 60 = 30 de grade. Și într-un triunghi dreptunghic, catetul opus unghiului de 30 de grade este egal cu jumătate din ipotenuză. Deci VN=3.
Tot ce rămâne este să calculăm aria trapezului. Jumătate de sumă a bazelor este (8+16):2=12. Zona este 12*3=36.
Răspuns 36.
Sarcina 5.Într-un trapez dreptunghiularABCD cu motive SoareŞi OD colţ ÎNAD direct, AB=3, Soare=CD=5. Găsiți linia mediană a trapezului.
Soluţie.Linia mediană a trapezului este egală cu jumătate din suma bazelor În acest trapez, baza superioară BC este egală cu 5, cea inferioară este A D necunoscut. De la vârful C coborâm înălțimea la baza inferioară. În dreptunghiul rezultat NVSK AN=BC=5, CH=AB=3. Triunghiul H DC dreptunghiular. Conform teoremei lui Pitagora, pătratul catetei H D egală cu diferența pătratului ipotenuzei DC iar pătratul piciorului CH. Adică N D 2 = 65 –9 = 16. N D = 4. Deci baza inferioară este A D =AH+H D =5+4=9. Linia mediană a trapezului este (5+9):2=7.
Răspuns 7.
Sarcina 6.Într-un trapez dreptunghiular, bazele sunt 4 și 7, iar unul dintre unghiuri este de 135°. Găsiți partea mai mică.
Soluţie.Să folosim desenul pentru problema anterioară În acest trapez, baza superioară BC este 4, cea inferioară este A D =7. Unghiul BC D egal cu 135 de grade. De la vârful C coborâm înălțimea la baza inferioară. Apoi N D =7-4=3. În triunghiul dreptunghic rezultat H Unghi DC HC D egal cu 135-90=45 grade. Aceasta înseamnă unghiul H DC de asemenea, 45 de grade. Picioare CH= N D =3.
Răspuns 3.
Probleme pentru rezolvare independentă.
- ∠ BDA=40° și ∠ BDC=30°. Găsiți unghiul ABD. Dați răspunsul în grade.
- În trapez ABCD se ştie că AB=CD, ∠ BDA=45° și ∠ BDC=23°. Găsiți unghiul ABD. Dați răspunsul în grade.
- În trapezul ABCD se știe că AB=CD,∠ BDA=49° și ∠ BDC=31°. Găsiți unghiul ABD. Dați răspunsul în grade.
- Bazele unui trapez isoscel sunt 7 și 13, latura este 5. Aflați înălțimea trapezului.
- Bazele unui trapez isoscel sunt 11 și 21, latura este 13. Aflați înălțimea trapezului.
- Bazele trapezului sunt egale cu 10 și 20, latura laterală, egală cu 8, formează un unghi de 150° cu una dintre bazele trapezului. Găsiți aria trapezului.
- Într-un trapez isoscel, una dintre baze este 5, iar cealaltă este 9. Înălțimea trapezului este 6. Aflați tangentei unghiului ascuțit al trapezului.
- Într-un trapez dreptunghiularABCD cu motive SoareŞi OD colţ ÎNAD direct, AB=8, Soare=CD=10. Găsiți linia mediană a trapezului.
- Într-un trapez dreptunghiularABC D cu motive Soare Şi O D colţ ÎN AD direct, AB = 15 , Soare = CD = 17 . Găsiți linia mediană a trapezului.
- Într-un trapez dreptunghiular, bazele sunt 3 și 5, iar unul dintre unghiuri este de 135°. Găsiți partea mai mică.
