Vibrații armonice
Grafice de funcții f(x) = păcat( x) Și g(x) = cos( x) pe planul cartezian.
Oscilație armonică- oscilații în care o mărime fizică (sau orice alta) se modifică în timp conform unei legi sinusoidale sau cosinusului. Ecuația cinematică a oscilațiilor armonice are forma
,Unde X- deplasarea (abaterea) punctului oscilant de la pozitia de echilibru la momentul t; O- amplitudinea oscilaţiilor, aceasta este valoarea care determină abaterea maximă a punctului de oscilaţie de la poziţia de echilibru; ω - frecvența ciclică, o valoare care indică numărul de oscilații complete care au loc în 2π secunde - faza completă a oscilațiilor, - faza inițială a oscilațiilor.
Oscilatie armonica generalizata in forma diferentiala
(Orice soluție netrivială a acestei ecuații diferențiale este o oscilație armonică cu o frecvență ciclică)
Tipuri de vibrații
Evoluția în timp a deplasării, vitezei și accelerației în mișcarea armonică
- Vibrații libere sunt comise sub influență forțe interne după ce sistemul a fost scos din poziţia sa de echilibru. Pentru ca oscilațiile libere să fie armonice, este necesar ca sistemul oscilator să fie liniar (descris ecuații liniare mișcare), și nu a existat nicio disipare a energiei (cea din urmă ar provoca atenuare).
- Vibrații forțate sunt efectuate sub influența unei forțe periodice externe. Pentru ca acestea să fie armonice, este suficient ca sistemul oscilator să fie liniar (descris prin ecuații liniare ale mișcării), iar forța externă însăși se schimbă în timp ca oscilație armonică (adică dependența de timp a acestei forțe să fie sinusoidală) .
Aplicație
Vibrațiile armonice se disting de toate celelalte tipuri de vibrații din următoarele motive:
Vezi de asemenea
Note
Literatură
- Fizică. Manual elementar de fizică / Ed. G. S. Lansberg. - Ed. a 3-a. - M., 1962. - T. 3.
- Khaikin S. E. Bazele fizice ale mecanicii. - M., 1963.
- A. M. Afonin. Bazele fizice ale mecanicii. - Ed. MSTU im. Bauman, 2006.
- Gorelik G. S. Oscilații și unde. Introducere în acustică, radiofizică și optică. - M.: Fizmatlit, 1959. - 572 p.
Fundația Wikimedia.
2010.
Vedeți ce sunt „oscilațiile armonice” în alte dicționare:
Enciclopedie modernă- VIBRAȚII ARMONICE, modificări periodice ale unei mărimi fizice care apar conform legii sinusului. Grafic, oscilațiile armonice sunt reprezentate printr-o curbă sinusoidală. Oscilațiile armonice sunt cel mai simplu tip de mișcări periodice, caracterizate prin... Dicţionar Enciclopedic Ilustrat
Oscilații în care o mărime fizică se modifică în timp conform legii sinusului sau cosinusului. Grafic, GK-urile sunt reprezentate printr-o undă sinusoidală curbă sau undă cosinus (vezi figura); ele pot fi scrise sub forma: x = Asin (ωt + φ) sau x... Marea Enciclopedie Sovietică
VIBRAȚII ARMONICE, mișcare periodică, cum ar fi mișcarea unui PENDUL, vibrații atomice sau vibrații în circuit electric. Un corp efectuează oscilații armonice neamortizate atunci când oscilează de-a lungul unei linii, mișcându-se la fel... ... Dicționar enciclopedic științific și tehnic
Oscilații, cu care fizice (sau orice altă) mărime se modifică în timp conform unei legi sinusoidale: x=Asin(wt+j), unde x este valoarea mărimii fluctuante la un moment dat. moment de timp t (pentru G.K. mecanică, de exemplu, deplasare sau viteză, pentru ... ... Enciclopedie fizică
vibratii armonice - Vibrații mecanice, în care coordonata generalizată și (sau) viteza generalizată se modifică proporțional cu sinusul cu un argument dependent liniar de timp. [Culegere de termeni recomandați. Problema 106. Vibrații mecanice. Academia de Științe… Ghidul tehnic al traducătorului
Oscilații, cu care fizice (sau orice altă) mărime se modifică în timp conform unei legi sinusoidale, unde x este valoarea mărimii oscilante la momentul t (pentru sisteme hidraulice mecanice, de exemplu, deplasarea și viteza, pentru tensiunea electrică și puterea curentului) ... Enciclopedie fizică
VIBRAȚII ARMONICE- (vezi), în care fizic. o mărime se modifică în timp conform legii sinusului sau cosinusului (de exemplu, modificări (vezi) și viteza în timpul oscilației (vezi) sau modificări (vezi) și puterea curentului în timpul electric G. k.) ... Marea Enciclopedie Politehnică
Caracterizat printr-o modificare a valorii oscilante x (de exemplu, abaterea pendulului de la poziția de echilibru, tensiunea în circuit AC etc.) în timpul t conform legii: x = Asin (?t + ?), unde A este amplitudinea oscilațiilor armonice, ? colt...... Dicţionar enciclopedic mare
Enciclopedie modernă- 19. Oscilații armonice Oscilații în care valorile mărimii oscilante se modifică în timp conform legii Sursa... Dicționar-carte de referință de termeni ai documentației normative și tehnice
Periodic fluctuații, în care modificări în timp fizice. cantitățile apar conform legii sinusului sau cosinusului (vezi figura): s = Аsin(wt+ф0), unde s este abaterea mărimii fluctuante de la media ei. valoare (de echilibru), A=amplitudine constantă, w=const circulară... Big Enciclopedic Polytechnic Dictionary
Cărți
- Oscilațiile armonice ale universului, Berry B.L. Cartea descrie oscilațiile stabile ale Universului de la perioadele de particule elementare până la momentul existenței sale de 14 miliarde de ani. Ritmurile naturii sunt similare cu sunetele instrumentelor cu coarde cu octave de... Categoria: Literatură științifică și tehnică Editor:
Cel mai simplu tip de oscilații sunt vibratii armonice- oscilaţii în care deplasarea punctului oscilant din poziţia de echilibru se modifică în timp după legea sinusului sau cosinusului.
Astfel, cu o rotire uniformă a mingii în cerc, proiecția acesteia (umbra în raze paralele de lumină) realizează o mișcare oscilatorie armonică pe un ecran vertical (Fig. 13.2).
Deplasarea de la poziția de echilibru în timpul vibrațiilor armonice este descrisă de o ecuație (se numește legea cinematică a mișcării armonice) de forma:
\(x = A \cos \Bigr(\frac(2 \pi)(T)t + \varphi_0 \Bigl)\) sau \(x = A \sin \Bigr(\frac(2 \pi)(T) t + \varphi"_0 \Bigl)\)
Unde X- deplasare - o mărime care caracterizează poziţia unui punct oscilant la un moment dat t relativ la poziția de echilibru și măsurată prin distanța de la poziția de echilibru la poziția punctului la un moment dat în timp; O- amplitudinea oscilaţiilor - deplasarea maximă a corpului din poziţia de echilibru; T- perioada de oscilație - timpul necesar pentru a finaliza o oscilație completă; aceste. cea mai scurtă perioadă de timp după care se repetă valorile mărimilor fizice care caracterizează oscilația; \(\varphi_0\) - faza inițială; \(\varphi = \frac(2 \pi)(T)t + \varphi"_0\) - faza de oscilație în timp t. Faza de oscilație este un argument al unei funcții periodice, care, pentru o amplitudine de oscilație dată, determină în orice moment starea sistemului oscilator (deplasare, viteză, accelerație) a corpului.
Dacă în momentul inițial al timpului t0 = 0 punctul oscilant este deplasat maxim de la poziția de echilibru, apoi \(\varphi_0 = 0\), iar deplasarea punctului din poziția de echilibru se modifică conform legii
\(x = A \cos \frac(2 \pi)(T)t.\)
Dacă punctul de oscilație la t 0 = 0 este într-o poziție stabilă de echilibru, atunci deplasarea punctului față de poziția de echilibru se modifică conform legii
\(x = A \sin \frac(2 \pi)(T)t.\)
Dimensiune V, inversul perioadei și egal cu numărul de oscilații complete finalizate în 1 s se numește frecvența de oscilație:
\(\nu = \frac(1)(T) \)(în SI unitatea de frecvență este hertz, 1Hz = 1s -1).
Dacă în timpul timpului t corpul face N ezitare totală, atunci
\(T = \frac(t)(N) ; \nu = \frac(N)(t).\)
Cantitatea \(\omega = 2 \pi \nu = \frac(2 \pi)(T)\) care arată câte oscilații face corpul în 2 \(\pi\) Cu, numit frecvență ciclică (circulară).
Legea cinematică a mișcării armonice poate fi scrisă astfel:
\(x = A \cos(2\pi \nu t + \varphi_0), x = A \cos(\omega t + \varphi_0).\)
Grafic, dependența deplasării unui punct oscilant în timp este reprezentată de o undă cosinus (sau undă sinusoidală).
Figura 13.3a prezintă un grafic al dependenței de timp a deplasării punctului oscilant față de poziția de echilibru pentru cazul \(\varphi_0=0\), adică. \(~x=A\cos \omega t.\)
Să aflăm cum se modifică viteza unui punct oscilant în timp. Pentru a face acest lucru, găsim derivata în timp a acestei expresii:
\(\upsilon_x = x" A \sin \omega t = \omega A \cos \Bigr(\omega t + \frac(\pi)(2) \Bigl) ,\)
unde \(~\omega A = |\upsilon_x|_m\) este amplitudinea proiecției vitezei pe axă X.
Această formulă arată că, în timpul oscilațiilor armonice, proiecția vitezei corpului pe axa x se modifică, de asemenea, conform unei legi armonice cu aceeași frecvență, cu o amplitudine diferită și este înaintea deplasării în fază cu \(\frac(\ pi)(2)\) (Fig. 13.3 , b).
Pentru a afla dependența de accelerație ax(t) Să găsim derivata în timp a proiecției vitezei:
\(~ a_x = \upsilon_x" = -\omega^2 A \cos \omega t = \omega^2 \cos(\omega t + \pi),\)
unde \(~\omega^2 A = |a_x|_m\) este amplitudinea proiecției accelerației pe axă X.
Pentru vibrațiile armonice, proiecția accelerare avansează defazajul cu k (Fig. 13.3, c).
În mod similar, puteți reprezenta grafic dependențele \(~x(t), \upsilon_x (t)\) și \(~a_x(t),\) dacă \(~x = A \sin \omega t\) la \( \varphi_0 =0.\)
Avand in vedere ca \(A \cos \omega t = x\), se poate scrie formula acceleratiei
\(~a_x = - \omega^2 x,\)
aceste. cu oscilații armonice, proiecția accelerației este direct proporțională cu deplasarea și este opusă în semn, i.e. accelerația este îndreptată în direcția opusă deplasării.
Deci, proiecția accelerației este derivata a doua a deplasării și x =x" ", atunci relația rezultată poate fi scrisă ca:
\(~a_x + \omega^2 x = 0\) sau \(~x"" + \omega^2 x = 0.\)
Se numește ultima egalitate ecuația vibrațiilor armonice.
Un sistem fizic în care pot exista oscilații armonice se numește oscilator armonic, iar ecuaţia vibraţiilor armonice este ecuația oscilatorului armonic.
Literatură
Aksenovich L. A. Fizica în liceu: Teorie. Sarcini. Teste: manual. alocație pentru instituțiile care oferă învățământ general. mediu, educație / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - P. 368-370.
Ecuația vibrației armonice
Ecuația oscilației armonice stabilește dependența coordonatelor corpului de timp
Graficul cosinus în momentul inițial are o valoare maximă, iar graficul sinus are valoare zero în momentul inițial. Dacă începem să studiem oscilația din poziția de echilibru, atunci oscilația va repeta o sinusoidă. Dacă începem să luăm în considerare oscilația din poziția de abatere maximă, atunci oscilația va fi descrisă printr-un cosinus. Sau o astfel de oscilație poate fi descrisă prin formula sinusului cu o fază inițială.
Modificarea vitezei și a accelerației în timpul oscilației armonice
Nu numai coordonatele corpului se modifică în timp conform legii sinusului sau cosinusului. Dar și cantități precum forța, viteza și accelerația se schimbă în mod similar. Forța și accelerația sunt maxime când corpul oscilant se află în pozițiile extreme în care deplasarea este maximă și sunt zero când corpul trece prin poziția de echilibru. Viteza, dimpotrivă, în poziții extreme este zero, iar atunci când corpul trece prin poziția de echilibru, atinge valoarea maximă.
Dacă oscilația este descrisă de legea cosinusului
Dacă oscilația este descrisă conform legii sinusului
Valori maxime de viteză și accelerație
După ce am analizat ecuațiile dependenței v(t) și a(t), putem ghici că viteza și accelerația iau valori maxime în cazul în care factorul trigonometric este egal cu 1 sau -1. Determinat prin formula
Oscilații se numesc mişcări sau procese care se caracterizează printr-o anumită repetabilitate în timp. Procesele oscilatorii sunt larg răspândite în natură și tehnologie, de exemplu, balansarea pendulului unui ceas, alternând curent electric etc. Când pendulul oscilează, coordonatele centrului său de masă se modifică în cazul curentului alternativ, tensiunea și curentul din circuit fluctuează. Natura fizică a vibrațiilor poate fi diferită, prin urmare, există vibrații mecanice, electromagnetice etc. Cu toate acestea, diferite procese oscilatorii sunt descrise prin aceleași caracteristici și aceleași ecuații. De aici oportunitatea abordare comună la studiul vibraţiilor de natură fizică diferită.
Se numesc oscilații gratuit, dacă apar numai sub influența forțelor interne care acționează între elementele sistemului, după ce sistemul este scos din echilibru de forțele externe și lăsat în sine. Vibrații libere întotdeauna oscilații amortizate , pentru că în sisteme reale pierderile de energie sunt inevitabile. În cazul idealizat al unui sistem fără pierderi de energie, oscilațiile libere (continuând atâta timp cât se dorește) se numesc proprii.
Cel mai simplu tip de oscilații libere neamortizate sunt vibratii armonice - oscilaţii în care mărimea oscilantă se modifică în timp conform legii sinusului (cosinus). Vibrațiile întâlnite în natură și tehnologie au adesea un caracter aproape de armonic.
Oscilațiile armonice sunt descrise de o ecuație numită ecuația de oscilație armonică:
Unde O- amplitudinea oscilaţiilor, valoarea maximă a mărimii oscilante X; - frecvenţa circulară (ciclică) a oscilaţiilor naturale; - faza iniţială a oscilaţiei în momentul de timp t= 0; - faza de oscilatie in momentul de timp t. Faza de oscilație determină valoarea mărimii oscilante la un moment dat. Deoarece cosinusul variază de la +1 la -1, atunci X poate lua valori de la + O la - O.
Timp T timp în care sistemul completează o oscilație completă se numește perioada de oscilatie. Pe parcursul timpului T faza de oscilație este crescută cu 2 π , adică
Unde . (14,2)
Reciproca perioadei de oscilație
adică, numărul de oscilații complete efectuate pe unitatea de timp se numește frecvență de oscilație. Comparând (14.2) și (14.3) obținem
Unitatea de frecvență este hertzi (Hz): 1 Hz este frecvența la care are loc o oscilație completă în 1 s.
Se numesc sisteme în care pot apărea vibrații libere oscilatoare . Ce proprietăți trebuie să aibă un sistem pentru ca în el să apară vibrații libere? Sistem mecanic trebuie să aibă poziție stabilă de echilibru, la ieșire care apare forța de restabilire îndreptată spre poziția de echilibru. Se știe că această poziție corespunde unui minim energie potenţială sisteme. Să luăm în considerare câteva sisteme oscilatorii care satisfac proprietățile enumerate.
Ne-am uitat la mai multe fizic complet diverse sistemeși ne-am asigurat că ecuațiile de mișcare sunt reduse la aceeași formă
Diferențele dintre sistemele fizice apar numai în diferite definiții ale mărimii iar în sensuri fizice diferite ale variabilei x: aceasta poate fi o coordonată, unghi, sarcină, curent etc. Rețineți că în acest caz, după cum reiese din însăși structura ecuației (1.18), mărimea are întotdeauna dimensiunea timpului invers.
Ecuația (1.18) descrie așa-numitul vibratii armonice.
Ecuația vibrațiilor armonice (1.18) este o ecuație diferențială liniară de ordinul doi (deoarece conține derivata a doua a variabilei x). Liniaritatea ecuației înseamnă că
dacă vreo funcție x(t) este o soluție a acestei ecuații, apoi funcția Cx(t) va fi si solutia lui ( C– constantă arbitrară);
dacă funcţii x 1(t)Şi x 2(t) sunt soluții ale acestei ecuații, apoi suma lor x 1 (t) + x 2 (t) va fi, de asemenea, o soluție la aceeași ecuație.
S-a demonstrat și o teoremă matematică, conform căreia o ecuație de ordinul doi are două soluții independente. Toate celelalte soluții, conform proprietăților liniarității, pot fi obținute ca lor combinații liniare. Este ușor de verificat prin diferențiere directă că funcțiile independente și satisfac ecuația (1.18). Aceasta înseamnă că soluția generală a acestei ecuații are forma:
Unde C 1,C 2- constante arbitrare. Această soluție poate fi prezentată sub altă formă. Să introducem valoarea
|
|
și determinați unghiul prin relațiile:
|
|
Atunci soluția generală (1.19) se scrie ca
Conform formulelor de trigonometrie, expresia dintre paranteze este egală cu
În sfârșit ajungem la soluția generală a ecuației vibrațiilor armonice sub forma:
Valoare nenegativă O numit amplitudinea vibrației, - faza inițială a oscilației. Întregul argument cosinus - combinația - este numit faza de oscilatie.
Expresiile (1.19) și (1.23) sunt complet echivalente, așa că putem folosi oricare dintre ele, pe baza considerațiilor de simplitate. Ambele soluții sunt funcții periodice ale timpului. Într-adevăr, sinusul și cosinusul sunt periodice cu o perioadă . Prin urmare, diferitele stări ale unui sistem care efectuează oscilații armonice se repetă după o perioadă de timp t*, în timpul căreia faza de oscilație primește un increment care este un multiplu al :
Rezultă că
Cel mai puțin din aceste vremuri
numit perioada de oscilatie (Fig. 1.8) și - lui circular (ciclic) frecvenţă.
Orez. 1.8.
De asemenea, folosesc frecvenţă fluctuatii
|
|
În consecință, frecvența circulară este egală cu numărul de oscilații per secunde
Deci, dacă sistemul la timp t caracterizat prin valoarea variabilei x(t), atunci variabila va avea aceeași valoare după o perioadă de timp (Fig. 1.9), adică
Același sens se va repeta în mod natural în timp 2T, ZT etc.
Orez. 1.9. Perioada de oscilație
Soluția generală include două constante arbitrare ( C1, C2 sau O, o), ale căror valori trebuie determinate de doi conditiile initiale. De obicei (deși nu neapărat) rolul lor este jucat de valorile inițiale ale variabilei x(0)și derivatul său.
Să dăm un exemplu. Fie soluția (1.19) a ecuației oscilațiilor armonice descrie mișcarea unui pendul cu arc. Valorile constantelor arbitrare depind de modul în care am scos pendulul din echilibru. De exemplu, am tras arcul la distanță și a eliberat mingea fără viteza inițială. În acest caz
Înlocuind t = 0în (1.19), găsim valoarea constantei C 2
Soluția arată astfel:
Găsim viteza sarcinii prin diferențiere în funcție de timp
Înlocuind aici t = 0, găsiți constanta C 1:
in sfarsit
Comparând cu (1.23), aflăm că este amplitudinea oscilaţiilor, iar faza sa iniţială este zero: .
Să dezechilibrăm acum pendulul într-un alt mod. Să lovim încărcătura astfel încât aceasta să dobândească o viteză inițială, dar practic să nu se miște în timpul impactului. Avem apoi alte condiții inițiale:
soluția noastră arată ca
Viteza sarcinii se va modifica conform legii:
Să înlocuim aici:
