Teoremă asupra determinantului produsului a două matrici. Produsul a două matrice: formulă, soluții, proprietăți

05.07.2020

Comentariu. Operația de înmulțire a matricei este necomutativă, adică. Într-adevăr, dacă produsul AB există, atunci BA poate să nu existe deloc din cauza nepotrivirii dimensiunilor (vezi exemplul anterior). Dacă atât AB cât și BA există, atunci ele pot avea dimensiuni diferite (dacă).

Pentru matrice pătrată de același ordin, produsele AB și BA există și au aceeași dimensiune, dar elementele lor corespunzătoare nu sunt în general egale.

Cu toate acestea, în unele cazuri produsele AB și BA coincid.

Se consideră produsul dintre o matrice pătrată A și o matrice de identitate E de același ordin:

Obținem același rezultat pentru produsul EA. Deci, pentru orice matrice pătrată A AE = EA = A.

Matrice inversă.

Definiție 3.7. O matrice pătrată A se numește singulară dacă și nesingulară dacă.

Definiție 3.8. O matrice pătrată B se numește inversa unei matrice pătrate A de același ordin dacă AB = BA = E. În acest caz, se notează B.

Să luăm în considerare condiția existenței unei matrice inverse uneia date și metoda de calcul a acesteia.

Teorema 3.2. Pentru existență matrice inversă Este necesar și suficient ca matricea originală să fie nesingulară.

Dovada.

1) Necesitatea: de atunci (Teorema 3.1), prin urmare

2) Suficiență: setați matricea în următoarea formă:

Atunci orice element al produsului (sau) care nu se află pe diagonala principală este egal cu suma produselor elementelor unui rând (sau coloanei) matricei A prin complementele algebrice ale elementelor altei coloane și, prin urmare, este egal cu 0 (ca determinant cu două coloane egale). Elementele de pe diagonala principală sunt egale.

*=. Teorema a fost demonstrată.

Comentariu. Să formulăm încă o dată metoda de calcul a matricei inverse: elementele acesteia sunt complementele algebrice ale elementelor matricei transpuse A, împărțite la determinantul ei.

Determinantul unei matrice este un număr care caracterizează matricea pătrată A și este strâns legat de soluția sistemelor ecuații liniare. Determinantul matricei A se notează cu sau. Orice matrice pătrată A de ordinul n este asociată, conform unei anumite legi, unui număr calculat, numit determinant, sau determinant, de ordinul n al acestei matrice. Să luăm în considerare determinanții ordinului doi și al treilea.

Să fie dată matricea

atunci determinantul său de ordinul doi este calculat prin formula

Exemplu. Calculați determinantul matricei A:

Răspuns: -10.

Determinantul de ordinul trei este calculat folosind formula

Exemplu. Calculați determinantul matricei B

Răspuns: 83.

Determinantul de ordinul al n-lea se calculează pe baza proprietăților determinantului și a următoarei teoreme Laplace: determinantul este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) a matricei și a complementelor lor algebrice:

Complement algebric element egal , unde este minorul elementului, obținut prin tăierea i-lea rând și j-a coloană din determinant.

Minor Ordinea unui element al matricei A este determinantul unei matrice de ordinul (n-1) obținut din matricea A prin ștergerea rândului i și coloanei j.

Exemplu. Găsiți complemente algebrice ale tuturor elementelor matricei A:

Răspuns: .

Exemplu. Calculați determinantul matricei unei matrici triunghiulare:

Răspuns: -15.

Proprietățile determinanților:

1. Dacă orice rând (coloană) al matricei este format doar din zerouri, atunci determinantul său este 0.

2. Dacă toate elementele oricărui rând (coloană) al matricei sunt înmulțite cu numărul , atunci determinantul acestuia va fi înmulțit cu acest număr.

3. La transpunerea unei matrice, determinantul acesteia nu se va schimba.

4. La rearanjarea a două rânduri (coloane) ale unei matrice, determinantul acesteia își schimbă semnul în cel opus.

5. Dacă o matrice pătrată conține două rânduri (coloane) identice, atunci determinantul ei este 0.

6. Dacă elementele a două rânduri (coloane) ale unei matrice sunt proporționale, atunci determinantul acesteia este 0.

7. Suma produsului elementelor oricărui rând (coloană) al unei matrice prin complementele algebrice ale elementelor altui rând (coloană) din această matrice este egală cu 0.

8. Determinantul matricei nu se va modifica dacă elementele unui alt rând (coloană), înmulțite anterior cu același număr, sunt adăugate elementelor oricărui rând (coloană) a matricei.

9. Suma produselor numerelor arbitrare prin complementele algebrice ale elementelor oricărui rând (coloană) este egală cu determinantul matricei obținute din aceasta prin înlocuirea elementelor acestui rând (coloană) cu numere.

10. Determinantul produsului a două matrici pătrate este egal cu produsul determinanților lor.

Matrice inversă.

Definiţie. O matrice se numește inversul unei matrice pătrate A dacă, înmulțită cu această matrice cu cea dată, atât la dreapta cât și la stânga, se obține matricea de identitate:

Din definiție rezultă că numai o matrice pătrată are inversă; în acest caz, matricea inversă este, de asemenea, pătrat de același ordin. Dacă determinantul unei matrice este diferit de zero, atunci o astfel de matrice pătrată se numește nesingulară.

Condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrice inverse: O matrice inversă există (și este unică) dacă și numai dacă matricea originală este nesingulară.

Primul algoritm pentru calcularea matricei inverse:

1. Aflați determinantul matricei originale. Dacă determinantul nu este egal cu zero, atunci matricea originală este nesingulară și există matricea inversă.

2. Aflați matricea transpusă în A.

3. Aflați complementele algebrice ale elementelor matricei transpuse și compuneți matricea adjunctă din acestea.

4. Calculați matricea inversă folosind formula: .

5. Verificăm corectitudinea calculului matricei inverse pe baza definiției acesteia .

Exemplu.

Răspuns: .

Al doilea algoritm pentru calcularea matricei inverse:

Matricea inversă poate fi calculată pe baza următoarelor transformări elementare pe rândurile matricei:

Schimbați două linii;

Înmulțirea unui rând de matrice cu orice număr altul decât zero;

Adăugând la un rând al unei matrice un alt rând înmulțit cu orice număr altul decât zero.

Pentru a calcula matricea inversă pentru matricea A este necesară alcătuirea matricei, apoi, prin transformări elementare, reducerea matricei A la forma matricei identității E, apoi în locul matricei identității obținem matricea.

Exemplu. Calculați matricea inversă pentru matricea A:

Compunem matricea B de forma:

Element = 1 și prima linie care conține acest element se va numi ghiduri. Să efectuăm transformări elementare, în urma cărora prima coloană este convertită într-o coloană unitară cu una în primul rând. Pentru a face acest lucru, adăugați prima linie la a doua și a treia linie, înmulțită cu 1 și, respectiv, -2. În urma acestor transformări obținem:

În sfârșit, obținem

Unde .

Rangul matricei. Se numește rangul unei matrice A ordinul cel mai înalt minori diferite de zero ale acestei matrice. Rangul unei matrice A este notat cu rang(A) sau r(A).

Din definiție rezultă: a) rangul matricei nu o depășește pe cea mai mică dintre dimensiunile sale, adică. r(A) este mai mic sau egal cu minimul lui m sau n; b) r(A)=0 dacă și numai dacă toate elementele matricei A sunt egale cu zero; c) pentru o matrice pătrată de ordinul al n-lea r(A)=n dacă și numai dacă matricea A este nesingulară.

Exemplu: calculați rangurile matricelor:

Răspuns: r(A)=1. Răspuns: r(A)=2.

Să numim următoarele transformări matrice elementare:

1) Renunțarea la rândul zero (coloana).

2) Înmulțirea tuturor elementelor unui rând (coloană) a unei matrice cu un număr care nu este egal cu zero.

3) Modificarea ordinii rândurilor (coloanelor) a matricei.

4) Adăugarea fiecărui element dintr-un rând (coloană) a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană), înmulțit cu orice număr.

5) Transpunerea matricei.

Rangul matricei nu se modifică în timpul transformărilor elementare ale matricei.

Exemple: Calculați matricea unde

; ;

Răspuns: .

Exemplu: Calculați matricea , Unde

; ; ; E este matricea identității.

Răspuns: .

Exemplu: Calculați determinantul unei matrice

Răspuns: 160.

Exemplu: Determinați dacă matricea A are o inversă și, dacă da, calculați-o:

Răspuns: .

Exemplu: Găsiți rangul unei matrice

Răspuns: 2.

2.4.2. Sisteme de ecuații liniare.

Un sistem de m ecuații liniare cu n variabile are forma:

unde , sunt numere arbitrare, numite, respectiv, coeficienți de variabile și termeni liberi ai ecuațiilor. Soluția unui sistem de ecuații este o mulțime de n numere (), la înlocuirea cărora fiecare ecuație a sistemului se transformă într-o egalitate adevărată.

Un sistem de ecuații se numește consistent dacă are cel puțin o soluție și inconsecvent dacă nu are soluții. Un sistem de ecuații simultan se numește definit dacă are o soluție unică și nedefinit dacă are mai multe soluții.

Teorema lui Cramer: Fie determinantul matricei A, compus din coeficienți pentru variabilele „x”, și fie determinantul matricei obținute din matricea A prin înlocuirea coloanei j a acestei matrice cu o coloană de termeni liberi. Atunci, dacă , atunci sistemul are o soluție unică, determinată de formulele: (j=1, 2, …, n). Aceste ecuații sunt numite formule lui Cramer.

Exemplu. Rezolvați sisteme de ecuații folosind formulele lui Cramer:

Răspunsuri: (4, 2, 1). (1, 2, 3) (1, -2, 0)

metoda Gauss– metoda eliminării secvenţiale a variabilelor este aceea că, cu ajutorul transformărilor elementare, un sistem de ecuaţii se reduce la un sistem echivalent de formă treaptă (sau triunghiulară), din care se găsesc secvenţial toate celelalte variabile, începând cu ultima variabile după număr.

Exemplu: Rezolvați sisteme de ecuații folosind metoda Gaussiană.

Răspunsuri: (1, 1, 1). (1, -1, 2, 0). (1, 1, 1).

Pentru sistemele simultane de ecuații liniare, următoarele afirmații sunt adevărate:

· dacă rangul matricei sistemului comun este egal cu numărul de variabile, i.e. r = n, atunci sistemul de ecuații are o soluție unică;

· dacă rangul matricei sistemului comun este mai mic decât numărul de variabile, i.e. r

2.4.3. Tehnologie pentru efectuarea de operații pe matrice în EXCEL.

Să luăm în considerare câteva aspecte ale lucrului cu procesorul de foi de calcul Excel, care fac posibilă simplificarea calculelor necesare pentru rezolvarea problemelor de optimizare. Un procesor de tabel este un produs software conceput pentru a automatiza procesarea datelor tabulare.

Lucrul cu formule. Programele pentru foi de calcul folosesc formule pentru a efectua multe calcule diferite. Folosind Excel, puteți crea rapid o formulă. Formula constă din trei părți principale:

semn egal;

Operatori.

Utilizarea funcțiilor în formule. Pentru a ușura introducerea formulelor, puteți utiliza funcțiile Excel. Funcțiile sunt formule integrate în Excel. Pentru a activa o anumită formulă, faceți clic pe butoane Introduce, Funcții.În fereastra care apare Expertul de funcții Partea stângă conține o listă de tipuri de funcții. După selectarea unui tip, o listă cu funcțiile în sine va fi plasată în partea dreaptă. Selectarea funcțiilor se efectuează făcând clic pe butonul mouse-ului pe numele corespunzător.

Când efectuați operații pe matrice, rezolvați sisteme de ecuații liniare și rezolvați probleme de optimizare, puteți utiliza următoarele funcții Excel:

MUMULT - înmulțire matrice;

TRANSPOSE - transpunere matriceală;

MOPRED - calculul determinantului matriceal;

MOBR - calculul matricei inverse.

Butonul se află pe bara de instrumente. Funcțiile pentru efectuarea operațiilor cu matrice sunt în categorie Matematic.

Înmulțirea matricei folosind funcția MUMNIFE . Funcția MULTIPLE returnează produsul matricelor (matricele sunt stocate în tablourile 1 și 2). Rezultatul este o matrice cu același număr de rânduri ca și matricea 1 și același număr de coloane ca și matricea 2.

Exemplu. Găsiți produsul a două matrice A și B în Excel (vezi Figura 2.9):

; .

Introduceți matricele A în celulele A2:C3 și B în celulele E2:F4.

Selectați intervalul de celule pentru rezultatul înmulțirii – H2:I2.

Introduceți formula de înmulțire a matricei =MULTIPLE(A2:C3, E2:F4).

Apăsați CTRL+SHIFT+ENTER.

Calcule inverse matrice folosind funcția MOBR.

Funcția MOBR returnează matricea inversă a unei matrice stocate într-o matrice. Sintaxă: MOBR (matrice). În fig. 2.10 arată soluția exemplului în Excel.

Exemplu. Găsiți matricea inversă celei date:

Figura 2.9. Date de intrare pentru înmulțirea matricei.

.
Cursul 6
4.6 Determinant al produsului a două matrici pătrate.

Produsul a două matrici pătrate n-a ordinea este întotdeauna definită. În acest caz, următoarea teoremă este importantă.

Teorema. Determinantul produsului matriceal este egal cu produsul determinanților matricelor factorilor:

Dovada. Lasă

Şi
,

Să creăm un determinant auxiliar

După un corolar al teoremei lui Laplace avem:

Aşa,
, vom arăta asta
. Pentru a face acest lucru, transformăm determinantul după cum urmează. Primii primii n
, adaugă la
-a coloană. Apoi primul n coloane multiplicate cu
, adaugă la
-a coloană etc. În ultimul pas spre
se va adăuga prima coloană n coloane multiplicate cu
. Ca rezultat, obținem determinantul

Extinderea determinantului rezultat folosind teorema lui Laplace în termenii ultimului n coloane, găsim:

Deci, egalitățile și au fost dovedite, din care rezultă că .
4.7.Matrice inversă

Definiția 1 . Să fie dată o matrice pătrată O n-a comanda. Matrice pătrată
de aceeași ordine sunt numite verso la matrice O, dacă , unde E-matricea identitară n-a ordine.

Declaraţie. Dacă există o matrice inversă a matricei O, atunci o astfel de matrice este unică.

Dovada. Să presupunem că matricea nu este singura matrice inversă a matricei O. Să luăm o altă matrice inversă B. Atunci condițiile sunt îndeplinite

Să ne uităm la lucru
. Pentru el există egalități

din care rezultă că
. Astfel, se dovedește unicitatea matricei inverse.

La demonstrarea teoremei privind existența unei matrici inverse, vom avea nevoie de conceptul de „matrice adjunctă”.

Definiția 2 . Să fie dată matricea

ale căror elemente sunt complemente algebrice elemente matrici O, numit anexat matrice la matrice O.

Să fim atenți la faptul că pentru a construi matricea adiacentă CU elemente de matrice O trebuie să le înlocuiți cu adunări algebrice și apoi să transpuneți matricea rezultată.

Definiția 3. Matrice pătrată O numit nedegenerate , Dacă
.

Teorema. Pentru ca matricea O a avut o matrice inversă, este necesar și suficient ca matricea O a fost nedegenerat. În acest caz, matricea este determinată de formula

, (1)

unde sunt complemente algebrice ale elementelor matriceale O.

Dovada. Lasă matricea O are o matrice inversă. Atunci sunt îndeplinite condițiile din care rezultă. Din ultima egalitate obținem că determinanții și
. Acești determinanți sunt legați prin relație
. Matrici Oși nedegenerate, deoarece determinanții lor sunt nenuli.

Lasă acum matricea O nedegenerate. Să demonstrăm că matricea O are o matrice inversă și se determină prin formula (1). Pentru a face acest lucru, luați în considerare munca

matrici O CU.

Conform regulii de multiplicare a matricei, elementul fabrică
matrici OŞi CU are forma: . Deoarece suma produselor elementelor i rândurile la complementele algebrice ale elementelor corespunzătoare j- al-lea rând este egal cu zero la
iar determinantul la
. Prin urmare,

Unde E– matricea identitară n-a ordine. Egalitatea este dovedită în mod similar
. Astfel,
, ceea ce înseamnă că
și matrice
este inversul matricei O. Prin urmare, matricea nesingulară O are o matrice inversă, care este determinată de formula (1).

Corolarul 1 . Determinanți matrici Oși sunt înrudite prin .

Corolarul 2 . Proprietatea principală a matricei adiacente CU la matrice O este exprimat

egalităților
.

Corolarul 3 . Determinant al unei matrici nesingulare Oși matricea asociată acestuia

CU legat de egalitate
.

Corolarul 3 rezultă din egalitate
și proprietățile determinanților, conform cărora atunci când este înmulțit cu p- puterea acestui număr. În acest caz

de unde rezultă că .

Exemplu. Aflați inversul matricei unei matrice O:

Soluţie. Determinant de matrice

diferit de zero. Prin urmare matricea O are opusul. Pentru a-l găsi, mai întâi calculăm complementele algebrice:

,
,
,

,
.

Acum, folosind formula (1), scriem matricea inversă

.
4.8. Transformări elementare peste matrici. Algoritmul Gauss.

Definiţie 1. Sub transformări elementare deasupra matricei de dimensiuni

înțelegeți următorii pași.

Înmulțirea oricărui rând (coloană) a unei matrice cu orice număr diferit de zero.
Adăugând la oricare i al-lea rând al matricei oricăreia dintre ele j- al-lea șir înmulțit cu un număr arbitrar.
Adăugând la oricare i a-a coloană a matricei oricăreia dintre ele j- a-a coloană înmulțită cu un număr arbitrar.
Rearanjarea rândurilor (coloanelor) unei matrice.

Definiția 2. Matrici OŞi ÎN vom suna echivalent , dacă una dintre ele poate fi transformată în alta folosind transformări elementare. Vom scrie

Echivalența matricei are următoarele proprietăți:

Definiția 3 . A călcat numită matrice O având următoarele proprietăți:

1) dacă i-a linie este zero, adică constă numai din zerouri, atunci
-a linie este, de asemenea, zero;

2) dacă primele elemente nenule i Rândurile al treilea și al treilea sunt situate în coloane cu numere kŞi l, Asta
.

Exemplu. Matrici

Şi

sunt în trepte, iar matricea

nu este treptat.

Să arătăm cum, folosind transformări elementare, putem reduce matricea O la o vedere în trepte.

Algoritmul gaussian . Luați în considerare matricea O dimensiune . Fără a pierde generalitatea, putem presupune că
. (Dacă se află în matrice O Dacă există cel puțin un element diferit de zero, atunci prin rearanjarea rândurilor și apoi a coloanelor, ne putem asigura că acest element se încadrează la intersecția primului rând și a primei coloane.) Adăugați la al doilea rând al matricei. O mai întâi înmulțit cu
, la a treia linie – prima, înmulțită cu
etc.

Drept urmare, obținem asta

Elemente din cele mai recente
liniile sunt determinate de formulele:

,
,
.

Luați în considerare matricea

Dacă toate elementele matricei atunci sunt egale cu zero

iar matricea echivalentă este în trepte. Dacă dintre elementele matricei cel puțin unul este diferit de zero, atunci fără pierderea generalității putem presupune că
(acest lucru se poate realiza prin rearanjarea rândurilor și coloanelor matricei). Transformând în acest caz matricea precum și matricea O, primim

respectiv,

Aici
,
,
.

și , , … ,
. În matrice O T linii și pentru a-l aduce la A r , non-zero, și toți minorii sunt de ordin mai mare r sunt egale cu zero. Rangul matricei va fi notat prin simbol
.

Rangul unei matrice este calculat folosind metoda minori limitrofe .

Exemplu. Folosind metoda limitării minorilor, calculați rangul matricei

Soluţie.

Metoda de mai sus nu este întotdeauna convenabilă, deoarece... asociat cu calculul marii

numărul de determinanți.

Declaraţie. Rangul unei matrice nu se modifică în timpul transformărilor elementare ale rândurilor și coloanelor sale.

Declarația menționată indică a doua modalitate de a calcula rangul unei matrice. Se numește prin metoda transformărilor elementare . Pentru a găsi rangul unei matrice, trebuie să utilizați metoda Gaussiană pentru a o reduce la forma treptat, apoi selectați minorul maxim diferit de zero. Să explicăm acest lucru cu un exemplu.

Exemplu. Folosind transformări elementare, calculați rangul matricei

Soluţie. Să realizăm un lanț de transformări elementare în conformitate cu metoda Gaussiană. Ca rezultat, obținem un lanț de matrici echivalente:

Teorema. Fie A și B două matrici pătrate de ordinul n. Atunci determinantul produsului lor este egal cu produsul determinanților, adică.

| AB | = | A| | B|.

< Пусть A = (aij) (n x n), B = (bij) (n x n). Рассмотрим определитель (d) (2n) порядка 2n

(d) (2n) = | A | | B | (-1)(^1+...+n+1+...+n) = | A | | B|.

Dacă arătăm că determinantul (d) (2n) este egal cu determinantul matricei C=AB, atunci teorema va fi demonstrată.

În (d) (2n) efectuăm următoarele transformări: la linia 1 adunăm (n+1) linia înmulțită cu a11; (n+2) șir înmulțit cu a12 etc. (2n) șir înmulțit cu (a) (1n) . În determinantul rezultat, primele n elemente ale primului rând vor fi zerouri, iar celelalte n elemente vor fi astfel:

a11* b11 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (1n) = c11 ;

a11* b12 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (2n) = c12 ;

a11* (d) (1n) + a12 * (d) (2n) + ... + (a) (1n) * (d) (nn) = (c) (1n) .

În mod similar, obținem zerouri în 2, ..., n rânduri ale determinantului (d) (2n), iar ultimele n elemente din fiecare dintre aceste rânduri vor deveni elementele corespunzătoare ale matricei C. Ca urmare, determinantul ( d) (2n) se transformă într-un determinant egal:

(d) (2n) = | C | (-1))(^1+...+n+...+2n) = |AB|. >

Consecinţă. Determinantul produsului unui număr finit de matrici pătrate este egal cu produsul determinanților lor.

< Доказательство проводится индукцией: | A1 ... (A) (j+1) | = | A1... Aj | | (A) (j+1) | = ... = | A 1 | ... | A i +1 | . Эта цепочка равенств верна по теореме.>

MATRICE INVERSA.

Fie A = (aij) (n x n) o matrice pătrată peste câmpul P.

Definiție 1. Matricea A se va numi singular dacă determinantul ei este egal cu 0. În caz contrar, Matricea A va fi numită nesingulară.

Definiţia 2. Fie A О Pn. Vom numi matricea B Î Pn inversă cu A dacă AB = BA=E.

Teorema (criteriul invertibilității matricei Matricea A este inversabilă dacă și numai dacă este nesingulară).

< Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда АА(^-1) = Е и, применяя теорему об умножении определителей, получаем | A | | A(^-1) | = | E | или | A | | A(^-1) | = 1. Следовательно, | A | ¹ 0.

Lasă, înapoi, | A | ¹ 0. Este necesar să arătăm că există o matrice B astfel încât AB = BA = E. Ca B luăm următoarea matrice:

unde A ij este complementul algebric al elementului a ij. Apoi

De remarcat că rezultatul va fi o matrice de identitate (este suficient să folosim Corolarele 1 și 2 din teorema lui Laplace), adică. AB = E. În mod similar, se arată că BA = E. >

Exemplu. Pentru matricea A, găsiți matricea inversă sau demonstrați că nu există.

det A = -3 Þ matricea inversă există. Acum calculăm adunările algebrice.

A 11 = -3 A 21 = 0 A 31 = 6

A 12 = 0 A 22 = 0 A 32 = -3

A 13 = 1 A 23 = -1 A 33 = -1

Deci, matricea inversă arată astfel: B = =

Algoritm pentru găsirea inversului unei matrice

1. Calculați det A.

2. Dacă este 0, atunci matricea inversă nu există. Dacă det A nu este egal

0, considerăm adunări algebrice.

3. Punem adunări algebrice în locurile potrivite.

4. Împărțiți toate elementele matricei rezultate la det A.

SISTEME DE ECUATII LINEARE.

Definiție 1. Ecuația de forma a1x1+ ....+an xn=b, unde a, ... ,an sunt numere; x1, ... ,xn sunt necunoscute, numite ecuație liniară cu n necunoscut.

s ecuatii cu n necunoscute se numește sistem s ecuații liniare cu n necunoscut, adică

(1)
Matricea A, compusă din coeficienți pentru necunoscutele sistemului (1), se numește matricea sistemului (1). .

Dacă adăugăm o coloană de termeni liberi la matricea A, obținem o matrice extinsă a sistemului (1).

X = - coloana de necunoscute. - coloana de membri liberi.

Sub formă de matrice, sistemul arată astfel: AX=B (2).

O soluție a sistemului (1) este o mulțime ordonată n numere (α1,…, αn) astfel încât dacă facem o substituție în (1) x1 = α1, x2 = α2,…, xn = αn, atunci obținem identități numerice.

Definiția 2. Sistemul (1) se numește consistent dacă are soluții, iar inconsecvent în caz contrar.

Definiție 3. Două sisteme se numesc echivalente dacă seturile lor de soluții coincid.

Există o modalitate universală de a rezolva sistemul (1) - metoda Gauss (metoda de eliminare secvențială a necunoscutelor)

Să luăm în considerare mai detaliat cazul când s = n. Există metoda lui Cramer pentru rezolvarea unor astfel de sisteme.

Fie d = det,

dj este determinantul lui d, în care coloana j este înlocuită cu o coloană de termeni liberi.

REGULA LUI CRAMER

Teoremă (regula lui Cramer). Dacă determinantul sistemului d ¹ 0, atunci sistemul are o soluție unică, obținută prin formulele:

x1 = d1 / d …xn = dn / d

<Идея доказательства заключается в том, чтобы переписать систему (1) в форме матричного уравнения. Положим

și luați în considerare ecuația AX = B (2) cu o matrice coloană necunoscută X. Deoarece A, X, B sunt matrici de dimensiune n x n, n x 1, n x 1În consecință, produsul matricelor dreptunghiulare AX este definit și are aceleași dimensiuni ca și matricea B. Astfel, ecuația (2) are sens.

Legătura dintre sistemul (1) și ecuația (2) este că ceea ce este o soluție pentru un sistem dat dacă și numai dacă

coloana este soluția ecuației (2).

Într-adevăr, această afirmație înseamnă egalitate

Ultima egalitate, ca egalitate de matrice, este echivalentă cu sistemul de egalități

ceea ce înseamnă că este o soluție pentru sistemul (1).

Deci, sistemul de rezolvare (1) se reduce la rezolvarea ecuației matriceale (2). Deoarece determinantul d al matricei A este diferit de zero, acesta are o matrice inversă A -1. Atunci AX = B Þ A(^-1)(AX) = A(^-1)B Þ (A(^-1)A)X = A(^-1)B Þ EX = A(^-1) B Þ X = A(^-1)B (3). În consecință, dacă ecuația (2) are o soluție, atunci aceasta este dată de formula (3). Pe de altă parte, A(A(^-1)B) = (A A(^-1))B = EB = B.

Prin urmare, X = A(^-1)B este singura soluție a ecuației (2).

Pentru ca,

unde A ij este complementul algebric al elementului a ij în determinantul d, atunci

de unde (4).

În egalitatea (4) între paranteze este scrisă expansiunea în elemente a coloanei j-a a determinantului dj, care se obține din determinantul d după înlocuirea în acesta.

a j-a coloană este coloana termenilor liberi. De aceea, xj = dj/ d.>

Consecinţă. Dacă un sistem omogen de n ecuații liniare din n de necunoscute are o soluție diferită de zero, atunci determinantul acestui sistem este egal cu zero.

Definiţie. Produsul a două matrice OŞi ÎN numită matrice CU, al cărui element situat la intersecție i a linia și j a coloana, egală cu suma produselor elementelor i al-lea rând al matricei O la elementele corespunzătoare (în ordine). j coloana a matricei ÎN.

Din această definiție rezultă formula elementului matriceal C:

Produs Matrix O la matrice ÎN notat cu AB.

Exemplul 1. Aflați produsul a două matrici OŞi B, Dacă

Soluţie. Este convenabil să găsiți produsul a două matrici OŞi ÎN scrieți ca în fig. 2:

În diagramă, săgețile gri indică ce rânduri ale matricei sunt elemente O la elementele cărei coloană a matricei ÎN trebuie să se înmulțească pentru a obține elemente de matrice CU, iar liniile sunt culorile elementului de matrice C elementele matricei corespunzătoare sunt conectate OŞi B, ale căror produse se adaugă pentru a obține un element de matrice C.

Ca rezultat, obținem elementele produsului matriceal:

Acum avem totul pentru a scrie produsul a două matrici:

Produsul a două matrice AB are sens numai dacă numărul de coloane de matrice O coincide cu numărul de rânduri ale matricei ÎN.

Această caracteristică importantă va fi mai ușor de reținut dacă utilizați mai des următoarele mementouri:

Mai este unul caracteristică importantă produse ale matricelor în funcție de numărul de rânduri și coloane:

În produsul matricelor AB numărul de rânduri este egal cu numărul de rânduri ale matricei O, iar numărul de coloane este egal cu numărul de coloane de matrice ÎN .

Exemplul 2. Aflați numărul de rânduri și coloane ale unei matrice C, care este produsul a două matrici OŞi B urmatoarele dimensiuni:

a) 2 X 10 și 10 X 5;

b) 10 X 2 şi 2 X 5;

Exemplul 3. Aflați produsul matricelor OŞi B, Dacă:

O B- 2. Prin urmare, dimensiunea matricei C = AB- 2 X 2.

Calcularea elementelor matriceale C = AB.

Produsul găsit al matricelor: .

Puteți verifica soluția la aceasta și la alte probleme similare la calculator matrice de produse online .

Exemplul 5. Aflați produsul matricelor OŞi B, Dacă:

Soluţie. Numărul de rânduri din matrice O- 2, numărul de coloane din matrice B C = AB- 2 X 1.

Calcularea elementelor matriceale C = AB.

Produsul matricelor se va scrie ca o matrice coloană: .

Puteți verifica soluția la aceasta și la alte probleme similare la calculator matrice de produse online .

Exemplul 6. Aflați produsul matricelor OŞi B, Dacă:

Soluţie. Numărul de rânduri din matrice O- 3, numărul de coloane din matrice B- 3. Prin urmare, dimensiunea matricei C = AB- 3 X 3.

Calcularea elementelor matriceale C = AB.

Produsul găsit al matricelor: .

Puteți verifica soluția la aceasta și la alte probleme similare la calculator matrice de produse online .

Exemplul 7. Aflați produsul matricelor OŞi B, Dacă:

Soluţie. Numărul de rânduri din matrice O- 1, numărul de coloane din matrice B- 1. Prin urmare, dimensiunea matricei C = AB- 1 X 1.

Calcularea elementului de matrice C = AB.

Produsul matricelor este o matrice a unui element: .

Puteți verifica soluția la aceasta și la alte probleme similare la calculator matrice de produse online .

Implementarea software a produsului a două matrice în C++ este discutată în articolul corespunzător din blocul „Calculatoare și programare”.

Exponentiarea matricei

Exponentiația matricei este definită ca înmulțirea unei matrice cu aceeași matrice. Deoarece un produs de matrice există numai atunci când numărul de coloane din prima matrice coincide cu numărul de rânduri din a doua matrice, numai matricele pătrate pot fi ridicate la o putere. n a-a putere a unei matrice prin înmulțirea matricei cu ea însăși n dată:

Exemplul 8. Dată o matrice. Găsi O² și O³ .

Găsiți singur produsul matrice și apoi uitați-vă la soluție

Exemplul 9. Dată o matrice

Aflați produsul dintre matricea dată și matricea transpusă, produsul dintre matricea transpusă și matricea dată.

Proprietățile produsului a două matrici

Proprietatea 1. Produsul oricărei matrice A și matricea de identitate E de ordinul corespunzător, atât în dreapta cât și în stânga, coincide cu matricea A, adică. AE = EA = A.

Cu alte cuvinte, rolul matricei unităților în înmulțirea matricelor este același cu rolul unităților în înmulțirea numerelor.

Exemplul 10. Verificați că proprietatea 1 este adevărată prin găsirea produselor matricei

la matricea de identitate din dreapta și din stânga.

Soluţie. Din moment ce matricea O conține trei coloane, atunci trebuie să găsiți produsul AE, Unde

-
matrice de identitate de ordinul trei. Să găsim elementele lucrării CU = AE :

Se dovedește că AE = O .

Acum să găsim produsul EA, Unde E este o matrice de identitate de ordinul doi, deoarece matricea A conține două rânduri. Să găsim elementele lucrării CU = EA :