Prelegerea nr. 7

Plan și linie în spațiu

prof. Dymkov M.P.

1. Ecuația parametrică a unei linii

Fie dat un punct M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) pe o dreaptă și un vector s = (l ,m ,n ) situat pe

această linie (sau paralelă cu ea). Vector s este de asemenea numit vector directie drept.

Aceste condiții determină în mod unic o linie dreaptă în spațiu. Să o găsim

ecuaţie. Să luăm un punct arbitrar M (x, y, z) pe o dreaptă. Este clar că vectorii

M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) și s sunt coliniare.

Prin urmare, M 0 M = t s − este o ecuație vectorială a unei drepte.

În notația de coordonate, ultima ecuație are următoarea reprezentare parametrică

x = x0 + t l ,

y = y0 + tm,

z = z0 + tn,

−∞ < t < +∞,

unde t – „alerează”

interval (−∞ ,∞ ) ,

(deoarece punctul M (x, y, z) trebuie

"alergă"

întreaga linie dreaptă).

2. Ecuația canonică a dreptei

Eliminând parametrul t din ecuațiile anterioare, avem

x − x

y−y

z−z

T−

ecuația canonică a unei linii drepte.

3. Unghiul dintre liniile drepte. Condițiile „” și „” a două rânduri

Să fie date două linii drepte

x−xi

y−yi

z−zi

i = 1,2.

Definiţie.

Unghiul dintre liniile drepte L 1 și L 2

să numim orice unghi din

două unghiuri formate din două drepte, respectiv paralele cu cea dată și care trec printr-un punct (ceea ce poate necesita o translație paralelă a uneia dintre drepte).

Din definiție rezultă că unul dintre unghiuri este egal cu unghiul ϕ dintre

vectori de direcție ai liniilor drepte

= (l 1 ,m 1 ,n 1 )

= (l 2 ,m 2 ,n 2 ) , [și al doilea unghi

atunci va fi egal cu (π − φ )]. Apoi unghiul este determinat din relație

cosφ =

l 1 2 + m 1 2 + n 1 2

l 2 2 + m 2 2 + n 2 2

Liniile sunt paralele, dacă s și s

coliniare

Dreptele sunt perpendiculare pe s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0.

4. Unghiul dintre o linie dreaptă și un plan. Condițiile „” și „” direct și

avion

Fie ca dreapta L să fie dată de ecuația sa canonică x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ,

iar planul P – prin ecuație

Ax + By + Cz + D = 0.

Definiţie. Unghiul dintre dreapta L

iar planul p este unghiul ascuțit dintre dreapta L și proiecția acesteia pe plan.

Din definiție (și figură) rezultă că unghiul dorit ϕ este complementar (până la unghi drept) la unghiul dintre vectorul normal n (A, B, C) și

vector de direcție s (l ,m ,n ) .

Al + Bm + Cn

−φ

Sin φ =

A 2 + B 2 + C 2 l 2 + m 2 + n 2

(.luat pentru a obține un unghi ascuțit).

Dacă L Р, atunci s n (s,n) = 0

Al + Bm + Cn = 0 −					condiția " ".
Dacă L Р, atunci s este coliniar cu n
				C−	condiția " ".
5. Puncte de intersecție a unei drepte și a unui plan
L: x = x0 + l, t,					y = y0 + m t , z = z0 + n t ;
P: Ax + By + Cz + D = 0.
Înlocuind expresiile pentru x, y, z în ecuația planului și transformând,
		t = − Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D .
				Al + Bm + Cn

Acum, dacă înlocuim „t” găsit în ecuațiile parametrice ale dreptei, vom găsi punctul de intersecție dorit

Prelegerea nr. 8-9

Bazele analizei matematice

prof. Dymkov M.P.

Una dintre principalele operații ale analizei matematice este operația de trecere la limită, care se regăsește în cursul în diverse forme. Vom începe cu cea mai simplă formă a operației limită, bazată pe conceptul de limită a așa-numitei secvențe de numere. Acest lucru ne va face mai ușor să introducem o altă formă foarte importantă a operației de trecere la limită - limita unei funcții. Ulterior, în construcția calculului diferențial și integral vor fi utilizate construcții de pasaje limită.



 Secvențe infinitezimale și infinit de mari

 Relația dintre secvențele infinit de mari și infinitezimale.

 Cele mai simple proprietăți ale secvențelor infinitezimale

 Limită de consistență.

 Proprietăţi ale secvenţelor convergente

 Operații aritmetice pe secvențe convergente

 Secvențe monotone

 Criteriul de convergență Cauchy

 Numărul e și ilustrația sa economică.

 Aplicarea limitelor în calculele economice

§ 1. Secvențe de numere și proprietăți simple

1. Conceptul de succesiune de numere. Operații aritmetice pe secvențe

Secvențele de numere sunt seturi infinite de numere. Exemple de secvențe sunt cunoscute de la școală:

1) succesiunea tuturor termenilor unei progresii aritmetice și geometrice infinite;

2) succesiune de perimetre regulate n-gonuri înscrise într-un cerc dat;

	3) succesiunea de numere							apropiindu-se de număr

o vom numi o secvență de numere (sau doar o secvență).

Numerele individuale x 3 , x 5 , x n vor fi numite elemente sau membri ai secvenței (1). Simbolul xn este numit membru comun sau al n-lea al unei secvențe date. Dând valoarea n = 1, 2, ... în termenul general x n obținem, respectiv, primul x 1, al doilea x 2 etc. membrii.

O secvență este considerată dată (vezi Definiție) dacă este specificată o metodă pentru obținerea oricăruia dintre elementele sale. Adesea, o secvență este dată de o formulă pentru termenul comun al șirului.

Pentru a scurta notația, secvența (1) este uneori scrisă ca

( x n ) . De exemplu,			înseamnă secvența 1,
( 1+ (− 1)n ) avem			0, 2, 0, 2, … .

Structura termenului general (formula sa) poate fi complexă. De exemplu,

							n N.
x n =					n-ciudat

Uneori secvența este specificată de așa-numitul formule recurente, adică formule care vă permit să găsiți termenii următori ai secvenței folosindu-i pe cei anteriori cunoscuți.

Exemplu (numerele Fibonacci). Fie x 1 = x 2 = 1 și formula recurentă x n = x n − 1 + x n − 2 pentru n = 3, 4, … este dată. Atunci avem șirul 1, 1,

2, 3, 5, 8, ... (numerele lui Leonardo din Pisa, supranumit Fibonacci). Geometric, o secvență de numere poate fi reprezentată pe un număr

axă sub forma unei succesiuni de puncte ale căror coordonate sunt egale cu cele corespunzătoare

membrii corespunzători ai secvenței. De exemplu, ( x n ) = 1 n .

Curs nr. 8-9 Fundamentele analizei matematice prof. Dymkov M.P. 66

Să considerăm, alături de șirul ( x n ), o altă secvență ( y n ): y 1, y 2, y, n (2).

Definiţie. Suma (diferența, produsul, coeficientul) secvenței

a ( xn ) și ( yn ) este șirul ( zn ) ai cărui membri

educat conform

z n = x n + y n

X−y

≠ 0

Produsul unei secvențe (xn) cu un număr c R este șirul (c xn).

Definiţie. Secvența (xn) se numește mărginită

de sus (de jos), dacă există un număr real M (m) astfel încât fiecare element al acestei secvențe xn satisface inegalitatea

xn ≤ M (xn ≥ m) . O secvență se numește mărginită dacă este mărginită atât deasupra cât și sub m ≤ xn ≤ M . Se numește șirul xn

este nelimitat dacă pentru un număr pozitiv A (atât cât se dorește) exista cel putin un element al succesiunii xn, satisfăcător

satisfacerea inegalității xn > A.

( x n ) = ( 1n ) – limitat, deoarece 0 ≤ x n ≤ 1.

( x n ) = ( n ) − mărginită mai jos de 1, dar nemărginită.

( x n ) = ( − n ) − mărginit de sus (–1), dar și nemărginit.

Definiţie. Se numește șirul ( x n ). infinitezimal,

dacă pentru orice număr real pozitiv ε (oricât de mic este luat) există un număr N, care depinde, în general, de ε, (N = N (ε)) astfel încât pentru tot n ≥ N inegalitatea x n este valabilă< ε .

Exemplu. ( x n ) = 1 n .

Definiţie. Se numește șirul (xn). nesfârşit de dureros

bine dacă pentru un număr real pozitiv A (oricât de mare este acesta) există un număr N (N = N(A)) astfel încât pentru toți n ≥ N

se obţine inegalitatea xn > A.

O ecuație care, pe lângă o cantitate necunoscută, conține și o altă cantitate suplimentară care poate lua diferite valori dintr-o anumită regiune se numește parametrice. Această mărime suplimentară din ecuație se numește parametru. De fapt, cu fiecare ecuație parametrică pot fi scrise multe ecuații. Ne vom uita la modulul de ecuații parametrice și vom rezolva ecuații parametrice simple.

Problema 1 Rezolvați ecuații în raport cu $x$
A) $x + a = 7$
B) $2x + 8a = 4$
C) $x + a = 2a – x$
D) $ax = 5$
E) $a – x ​​​​= x + b$
F) $ax = 3a$

Soluţie:

A) $x + a = 7 \Leftrightarrow x = 7 – a$, adică s-a găsit o soluție la această ecuație.
Pentru sensuri diferite parametri, soluțiile sunt $x = 7 – a$

B) $2x + 8a = 4 \Leftrightarrow 2x = 4 - 8a \Leftrightarrow x = 2 – 4a$

C) $x + a = 2a – x ​​​​\Leftrightarrow x + x = 2a – a \Leftrightarrow 2x = a \Leftrightarrow x = \frac(a)(2)$

D) $ax = 5$, când a este diferit de 0 putem împărți ambele părți cu a și obținem $x = 5$
Dacă $a = 0$, obținem o ecuație precum $0.x = 5$, care nu are soluție;

E) $a – x ​​​​= x + b \Leftrightarrow a – b = x + x \Leftrightarrow 2x = a – b \Leftrightarrow x = \frac(a-b)(2)$

F) Când a = 0, ecuația ax = 3a este 0.x = 0
Prin urmare, orice x este o soluție. Dacă a este diferit de 0 atunci
$ax = 3a \Leftrightarrow x = \frac(3a)(a) \Leftrightarrow x = 3$

Problema 2 Dacă a este un parametru, rezolvați ecuația:
A) $(a + 1)x = 2a + 3$
B) $2a + x = ax + 4$
C) $a^2x – x = a$
D) $a^2x + x = a$

Soluţie:

A) Dacă $a + 1$ este diferit de 0, adică.. $a \neq -1$,
atunci $x = \frac(2a+3)(a+1)$;
dacă $a + 1 = 0$, adică. $a = - 1$
ecuația devine $0\cdot x = (2)\cdot(-1) + 3 \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 1$, care nu are soluție;

B) $2a + x = ax + 4 \Leftrightarrow$
$x – ax = 4 - 2a \Leftrightarrow$
$(1 – a)\cdot x = 2(2 – a)$
Dacă $(1 – a) \neq 0$, atunci un $\neq 1$; solutia va fi
$x = \frac(2(2 - a))((1 - a))$;
Dacă $a = 1$ ecuația devine $0\cdot x = 2(2 - 1) \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 2$, care nu are soluție

C) $a^2x – x = a \Leftrightarrow$
$x(a^2 -1) = a\Săgeată stânga-dreapta$
$(a - 1)(a + 1)x = a$
Dacă $a - 1 \neq 0$ și $a + 1 \neq 0$ atunci acesta este $a \neq 1, -1$,
soluția este $x = \frac(a)((a - 1)(a + 1))$
Dacă $a = 1$ sau $a = -1$, ecuația devine este $0\cdot x = \pm 1$, care nu are soluție

D) $a^2x + x = a\Săgeată stânga-dreapta$
$(a^2 + 1)x = a$
În acest caz, $a^2 + 1 \neq 0$ pentru orice $a$, deoarece este suma unui număr pozitiv (1) și a unui număr negativ
$(a^2 \geq 0)$ deci $x = \frac(a)(a^2 + 1)$

Problema 3 Dacă a și b sunt parametri, rezolvați ecuațiile:
A) $ax + b = 0$
B) $ax + 2b = x$
C) $(b - 1)y = 1 – a$
D) $(b^2 + 1)y = a + 2$

Soluţie:

A) $ax + b = 0 \Leftrightarrow ax = -b$
Dacă $a \neq 0$, atunci soluția este $x = -\frac(b)(a)$.
Dacă $a = 0, b\neq 0$, ecuația ia forma $0\cdot x = -b$ și nu are soluție.
Dacă $a = 0$ și $b = 0$, ecuația devine $0\cdot x = 0$ și orice $x$ este o soluție;

B) $ax + 2b = x \Leftrightarrow ax – x = -2b \Leftrightarrow (a - 1)x = -2b$
Dacă $a - 1 \neq 0$, i.e. $a \neq 1$, soluția este $x = -\frac(2b)(a-1)$
Dacă $a - 1 = 0$, adică $a = 1$, și $b \neq 0$, ecuația ia forma $0\cdot x = - 2b$ și nu are soluție

C) Dacă $b - 1 \neq 0$, adică $b \neq 1$,
solutia este $y = \frac(1-a)(b-1)$
Dacă $b - 1 = 0$, adică $b = 1$, dar $1 – a \neq 0$,
adică $a \neq 1$, ecuația ia forma $0\cdot y = 1 – a$ și nu are soluție.
Dacă $b = 1$ și $a = 1$, ecuația ia forma $0\cdot y = 0$ și orice $y$ este o soluție

D) $b^2 + 1 \neq 0$ pentru orice $b$ (de ce?), deci
$y = \frac(a+2)(b^2)$ este o soluție a ecuației.

Problema $4$ Pentru ce valori ale lui $x$ următoarele expresii au semnificații egale:
A) $5x + a$ și $3ax + 4$
B) $2x - 2$ și $4x + 5a$

Soluţie:

Pentru a obține aceleași valori trebuie să găsim soluții la ecuații
$5x + a = 3ax + 4$ și $2x – 2 = 4x + 5a$

A) $5x + a = 3ax + 4 \Leftrightarrow$
$5x - 3ax = 4 – o \Leftrightarrow$
$(5 - 3a)x = 4 – a$
Dacă $5 - 3a \neq 0$, adică $a \neq \frac(5)(3)$, soluțiile sunt $x = \frac(4-a)(5-3a)$
Dacă $5 - 3a = 0$, adică $a = \frac(5)(3)$, ecuația devine $0\cdot x = 4 – \frac(5)(3) \Leftrightarrow$
$0\cdot x = \frac(7)(3)$, care nu are soluție

B) $2x - 2 = 4x + 5a \Leftrightarrow$
$-2 - 5a = 4x - 2x \Leftrightarrow$
$2x = - 2 - 5a \Leftrightarrow$
$x = -\frac(2+5a)(2)$

Problema 5
A) $|ax + 2| = 4$
B) $|2x + 1| = 3a$
C) $|ax + 2a| = 3$

Soluţie:

A) $|ax + 2| = 4 \Leftrightarrow ax + 2 = 4$ sau $ax + 2 = -4 \Leftrightarrow$
$ax = 2$ sau $ax = - 6$
Dacă $a \neq 0$, ecuațiile iau forma $x = \frac(2)(a)$ sau $x = -\frac(6)(a)$
Dacă $a = 0$, ecuația nu are soluție

B) Dacă $a Dacă $a > 0$, aceasta este echivalentă cu $2x + 1 = 3a$
sau $2x + 1 = -3a \Leftrightarrow 2x = 3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac(3a-1)(2)$ sau
$2x = -3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac(3a-1)(2) = -\frac(3a-1)(2)$

C) $|ax + 2a| = 3 \Leftrightarrow ax + 2a = 3$ sau $ax + 2a = - 3$,
și găsim $ax = 3 - 2a$ sau $ax = -3 - 2a$
Dacă a = 0, atunci nu există soluții dacă $a \neq 0$
soluțiile sunt: ​​$x = \frac(3-2a)(a)$ și $x = -\frac(3+2a)(a)$

Problema 6 Rezolvați ecuația $2 – x = 2b – 2ax$, unde a și b sunt parametri reali. Aflați pentru ce valori ale ecuației are un număr natural ca soluție dacă $b = 7$

Soluţie:

Să prezentăm această ecuație sub următoarea formă: $(2a - 1)x = 2(b - 1)$
Sunt posibile următoarele opțiuni:
Dacă $2a - 1 \neq 0$, adică $a \neq \frac(1)(2)$, ecuația are o soluție unică
$x = \frac(2(b-1))(2a-1)$
Dacă $a = \frac(1)(2)$ și $b = 1$, ecuația devine $0\cdot x = 0$ și orice $x$ este o soluție
Dacă $a = \frac(1)(2)$ și $b \neq 1$, obținem $0\cdot x = 2(b - 1)$, unde $2(b - 1) \neq 0$
În acest caz, ecuația nu are soluție.
Dacă $b = 7$ și $a \neq \frac(1)(2)$ este singura soluție
$x = \frac(2(7-1))(2a-1) = \frac(12)(2a-1)$
Dacă a este un număr întreg, atunci $2a - 1$ este, de asemenea, un număr întreg și soluția este
$x = \frac(12)(2a-1)$ este un număr natural când
$2a - 1$ este un divizor pozitiv pentru numărul $12$.
Pentru ca a să fie un număr întreg, divizorul lui $12$ trebuie să fie impar. Dar numai $1$ și $3$ sunt numere impare pozitive care sunt divizibile cu 12
Prin urmare, $2a - 1 = 3 \Leftrightarrow a = 2$ sau $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow$
$a = 1 a = 2$ sau $2a - 1 = 1 \Săgeată stânga a = 1$

Problema 7 Rezolvați ecuația $|ax - 2 – a| = 4$, unde a este un parametru. Aflați pentru ce valori ale rădăcinilor ecuației sunt numere întregi negative.

Soluţie:

Din definiția modulului obținem
$|ax - 2 – x| = 4 \Leftrightarrow ax - 2 – x = 4$ sau $ax - 2 – x = - 4$
Din prima egalitate obținem $x(a - 1) - 2 = 4 \Leftrightarrow$
$(a - 1)x = 4 + 2 \Leftrightarrow (a - 1)x = 6$
Din a doua egalitate obținem $(a - 1)x = -2$
Dacă $a - 1 = 0$, adică. $a = 1$, ultima ecuație nu are soluție.
Dacă $a \neq 1$ aflăm că $x = \frac(6)(a-1)$ sau $x = -\frac(2)(a-1)$
Pentru ca aceste rădăcini să fie numere întregi negative, trebuie să fie adevărate următoarele:
Pentru primul, egalitatea $a - 1$ trebuie să fie un divizor negativ de 6, iar pentru al doilea, trebuie să fie un divizor pozitiv de 2
Atunci $a - 1 = -1; -2; -3; - 6$ sau $a - 1 = 1; 2$
Se obține $a - 1 = -1 \Leftrightarrow a = 0; a - 1 = -2 \Leftrightarrow$
$a = -1; a - 1 = -3 \Leftrightarrow a = -2; a - 1 = -6 \Leftrightarrow a = -5$
sau $a - 1 = 1 \Leftrightarrow a = 2; a - 1 = 2 \Leftrightarrow a = 3$
Atunci $a = -5; -2; -1; 0; 2; 3$ sunt soluții la problemă.

Problema 8 Rezolvați ecuația:
A) $3ax – a = 1 – x$, unde a este un parametru;
B) $2ax + b = 2 + x$, unde a și b sunt parametri

Soluţie:

A) $3ax + x = 1 + a \Leftrightarrow (3a + 1)x = 1 + a$.
Dacă $3a + 1 \neq 0$, adică $a \neq -11 /3 /3$ , există o soluție
$x = \frac(1+a)(3a+1)$
Dacă $a = -\frac(1)(3)$ ecuația ia forma $0\cdot x = \frac(1.1)(3)$, care nu are soluție.

B) $2ax – x = 2 – b \Leftrightarrow (2a - 1)x = 2 – b$
Dacă $2a - 1 \neq 0$, adică $a \neq \frac(1)(2), x = \frac(2-b)(2a-1)$ este soluția.
Dacă $a = \frac(1)(2)$ ecuația devine $0.x = 2 – b$
Atunci, dacă $b = 2$, orice x este o soluție, dacă $b \neq 2$, ecuația nu are soluție.

Problema 9 Având în vedere ecuația $6(kx - 6) + 24 = 5kx$ , unde k este un număr întreg. Găsiți pentru ce valori ale lui k ecuația:
A) are rădăcina $-\frac(4)(3)$
B) nu are soluție;
C) are o rădăcină ca număr natural.

Soluţie:

Să rescriem ecuația sub forma $6kx - 36 + 24 = 5kx \Leftrightarrow kx = 12$

A) Dacă $x = -\frac(4)(3)$, pentru k obținem ecuația $-\frac(4)(3k) = 12 \Leftrightarrow k = - 9$

B) Ecuația $kx = 12$ nu are soluție când $k = 0$

C) Când $k \neq 0$ este rădăcina lui $x = \frac(12)(k)$ și este un număr natural, dacă k este un întreg pozitiv divizibil cu 12, i.e. $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12$

Problema 10 Rezolvați ecuația:
A) $2ax + 1 = x + a$, unde a este un parametru;
B) $2ax + 1 = x + b$, unde a și b sunt parametri.

Soluţie:

A) $2ax + 1 = x + a \Leftrightarrow 2ax – x = a - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = a - 1$
Dacă $2a - 1 \neq 0$, adică $a \neq \frac(1)(2)$, singura soluție a ecuației este
$x = \frac(a-1)(2a-1)$
Dacă $2a - 1 = 0$, adică $a = \frac(1)(2)$, ecuația ia forma
$0.x = \frac(1)(2)- 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(2)$, care nu are soluție

B) $2ax + 1 = x + b \Leftrightarrow$
$2ax – x = b - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = b - 1$
Dacă $2a - 1 \neq 0$, adică $a \neq \frac(1)(2)$, soluția este
$x = \frac(b-1)(2a-1)$
Dacă $a = \frac(1)(2)$, ecuațiile sunt echivalente cu $0.x = b - 1$
Dacă b = 1 orice x este o soluție, dacă $b \neq 1$ atunci nu există soluție.

Problema 11 Având în vedere ecuația $3(ax - 4) + 4 = 2ax$, unde parametrul este un număr întreg. Aflați pentru ce valori ale ecuației are drept rădăcini:
A) $\stânga(-\frac(2)(3)\dreapta)$
B) întreg
C) număr natural

Soluţie:

A) Dacă $x = -\frac(2)(3)$ este o soluție a ecuației, atunci trebuie să fie adevărată
$3\left + 4 = 2a\left(-\frac(2)(3)\right) \Leftrightarrow$
$-2a - 12 + 4 = -\frac(4a)(3) \Leftrightarrow$
$\frac(4a)(3) - 2a = 8 \Leftrightarrow \frac(4a-6a)(3) = 8 \Leftrightarrow$
$-\frac(2a)(3) = 8 \Leftrightarrow a = -12$

B) $3(ax - 4) + 4 = 2ax \Leftrightarrow 3ax - 2ax = 12 - 4 \Leftrightarrow ax = 8$
Dacă $a \neq 0$ soluție este $x = \frac(8)(a)$, este un număr întreg dacă a este dividendul de $8$.
De aceea; $±2; ±4; ±8$
Dacă $a=0$, ecuația nu are soluție

C) Pentru a obține un număr natural (întreg pozitiv) pentru această soluție $x=\frac(8)(a)$ numărul trebuie să fie egal cu: $a=1, 2, 4, 8$

Problema 12 Este dată ecuația $2 – x = 2b – 2ax$, unde $a$ și $b$ sunt parametri. Aflați pentru ce valori ale ecuației are soluții sub forma unui număr natural dacă $b = 7$

Soluţie:

Inlocuim $b = 7$ in ecuatie si obtinem $2 – x = 2,7 - 2ax \Leftrightarrow$
$2ax – x = 14 – 2 \Leftrightarrow (2a - 1)x = 12$
Dacă $2a -1 \neq 0$, i.e. $a \neq \frac(1)(2)$, ecuația ia forma
$x = \frac(12)(2a-1)$ și acesta va fi un număr natural dacă numitorul $2a - 1$ este un dividend pozitiv de $12$ și, în plus, pentru ca acesta să fie un număr întreg, este necesar ca $2a - 1$ să fie un număr impar.
Deci $2a - 1$ ar putea fi $1$ sau $3$
De la $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow 2a = 2 \Leftrightarrow a = 1$ și $2a - 1 = 3$
$\Leftrightarrow 2a = 4 \Leftrightarrow a = 2$

Problema 13 Având în vedere o funcție $f(x) = (3a - 1)x - 2a + 1$, unde a este un parametru. Găsiți pentru ce valori ale unui graficul funcției:
A) traversează axa x;
B) traversează axa x

Soluţie:

Pentru ca graficul unei funcții să traverseze axa x, este necesar ca
$(3a - 1)\cdot x -2a + 1 = 0$ a avut soluții și nu a avut o soluție pentru neintersecția axei x.
Din ecuație obținem $(3a - 1)x = 2a - 1$
Dacă $3a - 1 \neq 0$, adică $a \neq \frac(1)(3)$, ecuația are soluții
$x = \frac(2a-1)(3a-1)$, deci graficul funcției intersectează axa x.
Dacă $a = \frac(1)(3)$, obținem $0.x = \frac(2)(3) - 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(3)$, ceea ce nu au solutii.
Prin urmare, dacă $a = \frac(1)(3)$, graficul funcțiilor nu intersectează axa x.

Problema 14 Rezolvați ecuația parametrică:
A) $|x -2| =a$
B) $|ax -1| = 3 USD
C) $|ax - 1| = a - 2$

Soluţie:

A) Dacă $a 0$ obținem:
$|x - 2| = a \Leftrightarrow x - 2 = a$ sau $x - 2 = -a$
De la $x - 2 = a \Rightarrow x = a + 2$, iar de la
$x - 2 = -a \Rightarrow x = 2 – a$
Dacă $a = 0$ atunci $x - 2 = 0$ sau $x = 2$

B) $|ax - 1| = 3 \Leftrightarrow ax - 1 = 3$ sau $ax - 1 = -3$
de unde $ax = 4$ sau $ax = - 2$
Dacă $a \neq 0$ soluții: $x = \frac(4)(a)$ sau $x = -\frac(2)(a)$
Dacă $a = 0$, nu există nicio soluție aici

C) Dacă $a - 2 Dacă $a - 2 > 0$, i.e. $a > 2$ primim
$|ax - 1| = a - 2 \Leftrightarrow ax - 1 = a - 2$ sau $ax - 1 = 2 – a$
Deci obținem $ax = a - 1$ sau $ax = 3 – a$
Deoarece $a > 2, a\neq 0$, prin urmare
$x = \frac(a-1)(a)$ sau $x = \frac(3-a)(a)$.
Dacă $a = 2$, ecuațiile sunt echivalente
$2x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac(1)(2)$

Problema 15 Aflați pentru ce valori ale parametrului m (a) cele două ecuații sunt echivalente:
A) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ și $(-x - 1) ^2 - 1 = x^2$
B) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ și $\frac(x-m)(3) = 1 - 2m$
C) $|3 – x| + x^2 -5x + 3 = 0$ și $ax + 2a = 1 + x$ dacă $x > 3$

Soluţie:

A) Să rezolvăm a doua ecuație. Să o scriem sub forma:
$(-x - 1)^2 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$[(-1)(x + 1) ]^2 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$x^2 ​​+ 2x + 1 - 1 = x^2 \Săgeată la stânga$
$2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$
Pentru primul îl primim
$\frac(x+m)(2) = 1 – m \Leftrightarrow x + m = 2 - 2m \Leftrightarrow x = 2 - 3m$
Aceste două ecuații sunt echivalente dacă au aceleași rădăcini, adică.
$2 - 3m = 0 \Leftrightarrow$ $m = \frac(2)(3)$

B) Pentru prima ecuație soluția este $x = 2 - 3m$ iar pentru a doua obținem
$x – m = 3 - 6m \Leftrightarrow$ $x = 3 – 5m$
Au aceleași rădăcini când
$2 - 3m = 3 - 5m \Leftrightarrow 5m - 3m = 3 - 2 \Leftrightarrow 2m = 1 \Leftrightarrow m = \frac(1)(2)$

C) Deoarece $x > 3, 3 – x $|3 – x| = -(3 – x) = x - 3$
Prima ecuație va arăta astfel: $x - 3 + x^2 – 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow$
$x^2 ​​​​- 4x – 0 \Leftrightarrow x(x - 4) = 0 \Leftrightarrow$
$x = 0$ sau $x = 4$
Cu condiția ca $x > 3$, deci doar $x = 4$ este o soluție. Pentru a doua ecuație obținem
$ax – x = 1 - 2a \Leftrightarrow (a - 1)x = 1 - 2a$
Dacă $a - 1 = 0$, nu există nicio soluție (De ce?), dacă $a - 1 \neq 0$, adică. $a \neq 1$, soluția este
$x = \frac(1-2a)(a-1)$ Aceste două ecuații vor fi egale dacă $4 = \frac(1-2a)(a-1) \Leftrightarrow$ $4(a - 1) = 1 - 2a \Leftrightarrow 4a + 2a = 1 + 4 \Leftrightarrow 6a = 5 \Leftrightarrow a = \frac(5)(6)$

Echivalarea fiecărei fracții cu un anumit parametru în ecuațiile canonice ale unei linii drepte t:

Obținem ecuații care exprimă coordonatele curente ale fiecărui punct de pe linia prin parametru t.

Astfel, ecuațiile parametrice ale dreptei au forma:

Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date.

Fie date două puncte M 1 (x 1 ,y 1 ,z 1)și M2 (x 2 ,y 2 ,z 2). Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date se obțin în același mod ca o ecuație similară pe un plan. Prin urmare, prezentăm imediat forma acestei ecuații.

O linie dreaptă la intersecția a două plane. Ecuația generală a unei drepte în spațiu.

Dacă luăm în considerare două plane neparalele, atunci intersecția lor va fi o dreaptă.

Dacă vectori normali Şi necoliniare.

Mai jos, când luăm în considerare exemple, vom arăta o modalitate de a transforma astfel de ecuații de linii în ecuații canonice.

5.4 Unghiul dintre două linii drepte. Condiția de paralelism și perpendicularitate a două drepte.

Un unghi între două drepte în spațiu va fi numit oricare dintre unghiurile formate din două linii drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Fie două drepte definite prin ecuațiile lor canonice.

Să luăm unghiul dintre vectorii de direcție ca unghi dintre două linii drepte.

ŞI

Condiția de perpendicularitate a două drepte se reduce la condiția de perpendicularitate a vectorilor lor de direcție și , adică la egalitatea produsului scalar la zero: sau sub formă de coordonate: .

Condiția de paralelism a două drepte se reduce la condiția de paralelism a vectorilor lor de direcție și

5.5 Poziție reciprocă drept și plan.

Să fie date ecuațiile unei linii drepte:

și avioane. Unghiul dintre o linie dreaptă și un plan va fi numit oricare dintre cele două unghiuri adiacente formate dintr-o linie dreaptă și proiecția acesteia pe plan (Figura 5.5).

Fig 5.5

Dacă linia este perpendiculară pe plan, vectorul direcție al dreptei și vectorul normal pe plan sunt coliniare. Astfel, condiția de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan se reduce la condiția de coliniaritate a vectorilor.

Dacă o dreaptă și un plan sunt paralele, vectorii lor de mai sus sunt reciproc perpendiculari. Prin urmare, condiția de paralelism a unei drepte și a unui plan se reduce la condiția de perpendicularitate a vectorilor; aceste. lor produs punctual egal cu zero sau sub formă de coordonate: .

Mai jos sunt exemple de rezolvare a problemelor legate de subiectul capitolului 5.

Exemplul 1:

Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin punctul A (1,2,4) perpendicular pe dreapta dată de ecuația:

Soluţie:

Să folosim ecuația planului care trece prin el punct dat perpendicular pe un vector dat.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Ca punct luăm punctul A (1,2,4), prin care trece planul conform condiției.

Cunoscând ecuațiile canonice ale dreptei, cunoaștem vectorul paralel cu dreapta.

Datorită faptului că, prin condiție, linia dreaptă este perpendiculară pe planul dorit, vectorul direcție poate fi luat ca vector normal al planului.

Astfel, obținem ecuația planului sub forma:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

Exemplul 2:

Găsiți în avion 4х-7у+5z-20=0 un astfel de punct P pentru care OR face unghiuri egale cu axele de coordonate.

Soluţie:

Să facem un desen schematic. (Fig. 5.6)

la

Figura 5.6

Punctul gol P are coordonate. Deoarece vectorul face unghiuri egale cu axele de coordonate, cosinusurile de direcție ale acestui vector sunt egale între ele

Să găsim proiecțiile vectorului:

atunci cosinusurile de direcție ale acestui vector pot fi găsite cu ușurință.

Din egalitatea cosinusurilor direcției rezultă egalitatea:

x p =y p =z p

întrucât punctul P se află pe plan, atunci înlocuirea coordonatelor acestui punct în ecuația planului îl transformă într-o identitate.

4x р -7х р +5х р -20=0

2x p =20

x p =10

Respectiv: y r=10; z r=10.

Astfel, punctul dorit P are coordonatele P(10;10;10)

Exemplul 3:

Date două puncte A (2,-1,-2) și B (8,-7,5). Aflați ecuația planului care trece prin punctul B, perpendicular pe segmentul AB.

Soluţie:

Pentru a rezolva problema, folosim ecuația unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Folosim punctul B (8,-7,5) ca punct și vectorul perpendicular pe plan ca vector. Să găsim proiecțiile vectorului:

atunci obținem ecuația planului sub forma:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6х-48-6у-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

Exemplul 4:

Aflați ecuația unui plan paralel cu axa OY și care trece prin punctele K(1,-5,1) și M(3,2,-2).

Soluţie:

Deoarece planul este paralel cu axa OY, vom folosi ecuația incompletă a planului.

Ax+Cz+D=0

Datorită faptului că punctele K și M se află pe plan, obținem două condiții.

Să exprimăm coeficienții A și C din aceste condiții în termenii D.

Să substituim coeficienții găsiți în ecuația incompletă a planului:

deoarece , atunci reducem D:

Exemplul 5:

Aflați ecuația unui plan care trece prin trei puncte M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)

Soluţie:

Să folosim ecuația unui plan care trece prin 3 puncte date.

înlocuirea coordonatelor punctele M,K,R ca primul, al doilea și al treilea obținem:

Să extindem determinantul pe prima linie.

Exemplul 6:

Aflați ecuația planului care trece prin punctele M 1 (8, -3,1); M 2 (4,7,2) și perpendicular pe plan 3х+5у-7z-21=0

Soluţie:

Să facem un desen schematic (Figura 5.7)

Figura 5.7

Să notăm planul dat P 2 și planul dorit P 2. . Din Ec. avion dat P 1 determinăm proiecția vectorului perpendicular pe planul P 1.

Vectorul prin transfer paralel poate fi mutat în planul P2, deoarece, conform condițiilor problemei, planul P2 este perpendicular pe planul P1, ceea ce înseamnă că vectorul este paralel cu planul P2.

Să găsim proiecțiile vectorului situat în planul P2:

acum avem doi vectori și se află în planul P 2. evident un vector , egal cu produsul vectorial al vectorilor și va fi perpendicular pe planul P 2, deoarece este perpendicular și, prin urmare, vectorul său normal pe planul P 2.

Vectorii și sunt definiți prin proiecțiile lor, prin urmare:

Apoi, folosim ecuația unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe vector. Ca punct, puteți lua oricare dintre punctele M 1 sau M 2, de exemplu M 1 (8,-3,1); Luăm ca vector normal planul P2.

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

Exemplul 7:

O linie dreaptă este definită de intersecția a două plane. Găsiți ecuațiile canonice ale dreptei.

Soluţie:

Avem ecuația sub forma:

Trebuie să găsim punctul ( x 0,y 0,z 0), prin care trec linia dreaptă și vectorul direcție.

Să alegem una dintre coordonate în mod arbitrar. De exemplu, z=1, atunci obținem un sistem de două ecuații cu două necunoscute:

Astfel, am găsit un punct situat pe dreapta dorită (2,0,1).

Ca vector de direcție al dreptei dorite, luăm produsul vectorial al vectorilor și , care sunt vectori normali deoarece , și deci paralel cu linia dorită.

Astfel, vectorul direcție al dreptei are proiecții. Folosind ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat paralel cu un vector dat:

Deci ecuația canonică necesară are forma:

Exemplul 8:

Aflați coordonatele punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan 2x+3y+3z-8=0

Soluţie:

Să scriem ecuația dată a dreptei în formă parametrică.

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

fiecărui punct de pe linie îi corespunde o singură valoare a parametrului t. Pentru a găsi parametrul t corespunzând punctului de intersecție al dreptei și al planului, înlocuim expresia în ecuația planului x, y, z prin intermediul parametrului t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

apoi coordonatele punctului dorit

punctul de intersecție dorit are coordonatele (1;1;1).

Exemplul 9:

Aflați ecuația unui plan care trece prin drepte paralele.

Să facem un desen schematic (Figura 5.9)

Fig 5.9

Din ecuațiile date ale dreptelor determinăm proiecțiile vectorilor de direcție ai acestor drepte. Să găsim proiecțiile vectorului situat în planul P și să luăm punctele din ecuațiile canonice ale dreptelor M 1 (1,-1,2) și M 2 (0,1,-2).

unghiul dintre planuri

Se consideră două plane α 1 și α 2, definite, respectiv, de ecuațiile:

Sub unghiîntre două plane vom înţelege unul dintre unghiurile diedrice formate de aceste plane. Este evident că unghiul dintre vectorii normali și planele α 1 și α 2 este egal cu unul dintre unghiurile diedrice adiacente indicate sau . De aceea . Deoarece Şi , Asta

.

Exemplu. Determinați unghiul dintre plane x+2y-3z+4=0 și 2 x+3y+z+8=0.

Condiție pentru paralelismul a două plane.

Două plane α 1 și α 2 sunt paralele dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt paraleli și, prin urmare .

Deci, două plane sunt paralele între ele dacă și numai dacă coeficienții coordonatelor corespunzătoare sunt proporționale:

sau

Condiția de perpendicularitate a planurilor.

Este clar că două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt perpendiculari și, prin urmare, sau .

Astfel, .

Exemple.

DREPT ÎN SPAȚIU.

ECUAȚIE VECTORALĂ PENTRU O LINIE.

ECUATII DIRECTE PARAMETRICE

Poziția unei linii în spațiu este complet determinată prin specificarea oricăruia dintre punctele sale fixe M 1 și un vector paralel cu această dreaptă.

Se numeste un vector paralel cu o dreapta ghiduri vector al acestei linii.

Deci, lăsați linia dreaptă l trece printr-un punct M 1 (x 1 , y 1 , z 1), situată pe o dreaptă paralelă cu vectorul .

Luați în considerare un punct arbitrar M(x,y,z) pe o linie dreaptă. Din figură este clar că .

Vectori și sunt coliniare, deci există un astfel de număr t, ce , unde este multiplicatorul t poate accepta orice valoare numerică in functie de pozitia punctului M pe o linie dreaptă. Factor t numit parametru. După ce au desemnat vectorii de rază ai punctelor M 1 și M respectiv, prin și , obținem . Această ecuație se numește vector ecuația unei linii drepte. Arată că pentru fiecare valoare a parametrului t corespunde vectorului raza unui punct M, întins pe o linie dreaptă.

Să scriem această ecuație sub formă de coordonate. Rețineți că, si de aici

Ecuațiile rezultate se numesc parametrice ecuațiile unei linii drepte.

La modificarea unui parametru t se schimbă coordonatele x, yŞi zși punct M se mișcă în linie dreaptă.

ECUAȚII CANONICE ALE DIRECTULUI

Lasă M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – un punct situat pe o linie dreaptă l, Și este vectorul său de direcție. Să luăm din nou un punct arbitrar pe linie M(x,y,z)și luați în considerare vectorul .

Este clar că vectorii sunt, de asemenea, coliniari, deci coordonatele lor corespunzătoare trebuie să fie proporționale, prin urmare,

– canonic ecuațiile unei linii drepte.

Nota 1. Rețineți că ecuațiile canonice ale dreptei pot fi obținute din cele parametrice prin eliminarea parametrului t. Într-adevăr, din ecuațiile parametrice obținem sau .

Exemplu. Scrieți ecuația dreptei în formă parametrică.

Să notăm , de aici x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Nota 2. Fie linia dreaptă perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, de exemplu axa Bou. Atunci vectorul direcție al dreptei este perpendicular Bou, prin urmare, m=0. În consecință, ecuațiile parametrice ale dreptei vor lua forma

Excluzând parametrul din ecuații t, obținem ecuațiile dreptei în forma

Totuși, și în acest caz, suntem de acord să scriem formal ecuațiile canonice ale dreptei în forma . Astfel, dacă numitorul uneia dintre fracții este zero, aceasta înseamnă că linia dreaptă este perpendiculară pe axa de coordonate corespunzătoare.

Similar cu ecuațiile canonice corespunde unei drepte perpendiculare pe axele BouŞi Oi sau paralel cu axa Oz.

Exemple.

ECUAȚII GENERALE ALE LINEILOR DREPTĂ CA LINII DE INTERSECȚIE A DOUA PLANURI

Prin fiecare linie dreaptă din spațiu există nenumărate avioane. Oricare două dintre ele, intersectându-se, îl definesc în spațiu. În consecință, ecuațiile oricăror două astfel de planuri, considerate împreună, reprezintă ecuațiile acestei drepte.

În general, oricare două plane neparalele definite de ecuațiile generale

determinați linia dreaptă a intersecției lor. Aceste ecuații se numesc ecuații generale direct.

Exemple.

Construiți o dreaptă dată de ecuații

Pentru a construi o linie dreaptă, este suficient să găsiți oricare dintre punctele sale. Cel mai simplu mod este să selectați punctele de intersecție ale unei linii drepte cu planuri de coordonate. De exemplu, punctul de intersecție cu planul xOy obţinem din ecuaţiile dreptei, presupunând z= 0:

După ce am rezolvat acest sistem, găsim ideea M 1 (1;2;0).

În mod similar, presupunând y= 0, obținem punctul de intersecție al dreptei cu planul xOz:

Din ecuațiile generale ale unei linii drepte se poate trece la ecuațiile ei canonice sau parametrice. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct M 1 pe o dreaptă și vectorul direcție al unei drepte.

Coordonatele punctului M 1 obținem din acest sistem de ecuații, dând uneia dintre coordonate o valoare arbitrară. Pentru a găsi vectorul direcție, rețineți că acest vector trebuie să fie perpendicular pe ambii vectori normali Şi . Prin urmare, dincolo de vectorul direcție al dreptei l o poti lua produs vectorial vectori normali:

.

Exemplu. Dați ecuații generale ale dreptei la forma canonică.

Să găsim un punct situat pe o linie. Pentru a face acest lucru, alegem în mod arbitrar una dintre coordonate, de exemplu, y= 0 și rezolvați sistemul de ecuații:

Vectorii normali ai planurilor care definesc dreapta au coordonate Prin urmare, vectorul direcție va fi drept

. Prin urmare, l: .

unghiul dintre drepte

Unghiîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

Evident, unghiul φ dintre drepte poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , folosind formula pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

Unul dintre subarticolele subiectului „Ecuația unei linii pe un plan” este problema elaborării ecuațiilor parametrice ale unei linii pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Articolul de mai jos discută principiul compunerii unor astfel de ecuații având în vedere anumite date cunoscute. Vom arăta cum să trecem de la ecuații parametrice la ecuații de alt tip; Să ne uităm la rezolvarea problemelor tipice.

O anumită linie poate fi definită prin specificarea unui punct care aparține acestei linii și a unui vector de direcție al dreptei.

Să presupunem că ni se dă un sistem de coordonate dreptunghiular O x y. Și, de asemenea, este dată o dreaptă a, indicând punctul M 1 care se află pe ea (x 1, y 1) și vectorul de direcție al dreptei date. a → = (a x , a y) . Să dăm o descriere a dreptei date a folosind ecuații.

Folosim un punct arbitrar M (x, y) și obținem un vector M 1 M → ; să-i calculăm coordonatele din coordonatele punctelor de început și de sfârșit: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) . Să descriem ce am obținut: o dreaptă este definită de o mulțime de puncte M (x, y), trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și are un vector de direcție a → = (a x , a y) . Această mulțime definește o linie dreaptă numai atunci când vectorii M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) și a → = (a x, a y) sunt coliniari.

Există o condiție necesară și suficientă pentru coliniaritatea vectorilor, care în acest caz pentru vectorii M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) și a → = (a x, a y) poate fi scrisă ca o ecuație:

M 1 M → = λ · a → , unde λ este un număr real.

Definiția 1

Ecuația M 1 M → = λ · a → se numește ecuația vector-parametrică a dreptei.

În formă de coordonate arată astfel:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Ecuațiile sistemului rezultat x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ se numesc ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Esența numelui este următoarea: coordonatele tuturor punctelor de pe o dreaptă pot fi determinate prin ecuații parametrice pe un plan de forma x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ prin enumerarea tuturor realului valorile parametrului λ

Conform celor de mai sus, ecuațiile parametrice ale unei drepte pe planul x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ definesc o dreaptă, care este definită într-un sistem de coordonate dreptunghiular, trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și are un vector ghid a → = (a x , a y) . În consecință, dacă sunt date coordonatele unui anumit punct de pe o dreaptă și coordonatele vectorului său de direcție, atunci este posibil să se noteze imediat ecuațiile parametrice ale unei linii date.

Exemplul 1

Este necesar să se compună ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular dacă sunt date punctul M 1 (2, 3) care îi aparține și vectorul său de direcție. a → = (3 , 1) .

Soluţie

Pe baza datelor inițiale, obținem: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1. Ecuațiile parametrice vor arăta astfel:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Să ilustrăm clar:

Răspuns: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

De remarcat: dacă vectorul a → = (a x , a y) servește ca vector de direcție al dreptei a, iar punctele M 1 (x 1, y 1) și M 2 (x 2, y 2) aparțin acestei linii, atunci poate fi determinată prin specificarea ecuațiilor parametrice de forma: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , precum și această opțiune: x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ .

De exemplu, ni se dă un vector de direcție al unei linii drepte a → = (2, - 1), precum și punctele M 1 (1, - 2) și M 2 (3, - 3) aparținând acestei linii. Apoi linia dreaptă este determinată de ecuațiile parametrice: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ sau x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ.

De asemenea, ar trebui să acordați atenție următorului fapt: dacă a → = (a x , a y) este vectorul de direcție al liniei a, atunci oricare dintre vectori va fi vectorul său de direcție μ · a → = (μ · a x , μ · a y) , unde μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Astfel, dreapta a pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular poate fi determinată prin ecuații parametrice: x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ pentru orice valoare a lui μ, alta decât zero.

Să presupunem că linia dreaptă a este dată de ecuațiile parametrice x = 3 + 2 · λ y = - 2 - 5 · λ. Apoi a → = (2 , - 5) - vectorul de direcție al acestei drepte. Și, de asemenea, oricare dintre vectorii μ · a → = (μ · 2, μ · - 5) = 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 va deveni un vector de ghidare pentru o dreaptă dată. Pentru claritate, luați în considerare un vector specific - 2 · a → = (- 4, 10), acesta corespunde valorii μ = - 2. În acest caz, linia dreaptă dată poate fi determinată și prin ecuațiile parametrice x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ.

Trecerea de la ecuațiile parametrice ale unei linii pe un plan la alte ecuații ale unei linii date și înapoi

În rezolvarea unor probleme, utilizarea ecuațiilor parametrice nu este cea mai optimă opțiune, atunci este nevoie de a traduce ecuațiile parametrice ale unei linii drepte în ecuații ale unei linii drepte de alt tip. Să ne uităm la cum să facem asta.

Ecuațiile parametrice ale unei drepte de forma x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ vor corespunde ecuației canonice a unei drepte pe planul x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Să rezolvăm fiecare dintre ecuațiile parametrice în raport cu parametrul λ, să echivalăm laturile din dreapta ale egalităților rezultate și să obținem ecuația canonică a dreptei date:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

În acest caz, nu ar trebui să fie confuz dacă un x sau un y sunt egal cu zero.

Exemplul 2

Este necesar să se facă o trecere de la ecuațiile parametrice ale dreptei x = 3 y = - 2 - 4 · λ la ecuația canonică.

Soluţie

Să scriem ecuațiile parametrice date în următoarea formă: x = 3 + 0 · λ y = - 2 - 4 · λ

Să exprimăm parametrul λ în fiecare dintre ecuații: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Să echivalăm laturile din dreapta ale sistemului de ecuații și să obținem ecuația canonică necesară a unei drepte pe plan:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Răspuns: x - 3 0 = y + 2 - 4

În cazul în care este necesar să scrieți o ecuație a unei linii de forma A x + B y + C = 0 și sunt date ecuații parametrice ale unei linii pe un plan, este necesar să faceți mai întâi trecerea la canonic. ecuație și apoi la ecuația generală a dreptei. Să scriem întreaga secvență de acțiuni:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Exemplul 3

Trebuie notat ecuație generală linie dreaptă dacă sunt date ecuațiile parametrice care o definesc: x = - 1 + 2 · λ y = - 3 · λ

Soluţie

Mai întâi, să facem tranziția la ecuația canonică:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Proporția rezultată este identică cu egalitatea - 3 · (x + 1) = 2 · y. Să deschidem parantezele și să obținem ecuația generală a dreptei: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0.

Răspuns: 3 x + 2 y + 3 = 0

Urmând logica acțiunilor de mai sus, pentru a obține ecuația unei drepte cu coeficient unghiular, ecuația unei drepte în segmente sau ecuația normală a unei drepte, este necesar să se obțină ecuația generală a dreptei, apoi efectuați o tranziție ulterioară de la acesta.

Acum luați în considerare acțiunea inversă: scrierea ecuațiilor parametrice ale unei linii cu o formă dată diferită a ecuațiilor acestei linii.

Cea mai simplă trecere: de la ecuația canonică la cele parametrice. Să fie dată o ecuație canonică de forma: x - x 1 a x = y - y 1 a y. Să considerăm că fiecare dintre relațiile acestei egalități este egală cu parametrul λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Să rezolvăm ecuațiile rezultate pentru variabilele x și y:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Exemplul 4

Este necesar să se noteze ecuațiile parametrice ale dreptei dacă se cunoaște ecuația canonică a dreptei pe plan: x - 2 5 = y - 2 2

Soluţie

Să echivalăm părțile ecuației cunoscute cu parametrul λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ. Din egalitatea rezultată obținem ecuațiile parametrice ale dreptei: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Răspuns: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Când este necesar să se facă o tranziție la ecuații parametrice dintr-o ecuație generală dată a unei linii, o ecuație a unei linii cu un coeficient unghiular sau o ecuație a unei linii în segmente, este necesar să se aducă ecuația originală la canonic. unul, apoi faceți tranziția la ecuațiile parametrice.

Exemplul 5

Este necesar să scrieți ecuațiile parametrice ale unei linii cu o ecuație generală cunoscută a acestei linii: 4 x - 3 y - 3 = 0.

Soluţie

Să transformăm ecuația generală dată într-o ecuație de formă canonică:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Să echivalăm ambele părți ale egalității cu parametrul λ și să obținem ecuațiile parametrice necesare ale dreptei:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Răspuns: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Exemple și probleme cu ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan

Să luăm în considerare cele mai comune tipuri de probleme folosind ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular.

1. În problemele de primul tip, sunt date coordonatele punctelor, indiferent dacă acestea aparțin sau nu unei linii descrise prin ecuații parametrice.

Rezolvarea unor astfel de probleme se bazează pe următorul fapt: numerele (x, y), determinate din ecuațiile parametrice x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ pentru o valoare reală λ, sunt coordonatele. a unui punct aparţinând dreptei care sunt descrise aceste ecuaţii parametrice.

Exemplul 6

Este necesar să se determine coordonatele unui punct care se află pe o dreaptă specificată de ecuațiile parametrice x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ pentru λ = 3.

Soluţie

Să substituim valoarea cunoscută λ = 3 în ecuațiile parametrice date și să calculăm coordonatele necesare: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Răspuns: 1 1 2 , 5

Este posibilă și următoarea sarcină: să fie dat un anumit punct M 0 (x 0 , y 0) pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular și trebuie să determinați dacă acest punct aparține dreptei descrise de ecuațiile parametrice x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ .

Pentru a rezolva o astfel de problemă, este necesar să înlocuim coordonatele unui punct dat în ecuațiile parametrice cunoscute ale unei drepte. Dacă se determină că este posibilă o valoare a parametrului λ = λ 0 pentru care ambele ecuații parametrice sunt adevărate, atunci punctul dat aparține dreptei date.

Exemplul 7

Sunt date punctele M 0 (4, - 2) și N 0 (- 2, 1). Este necesar să se determine dacă ele aparțin dreptei definite de ecuațiile parametrice x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

Soluţie

Să substituim coordonatele punctului M 0 (4, - 2) în ecuațiile parametrice date:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Concluzionăm că punctul M 0 aparține dreptei date, deoarece corespunde valorii λ = 2.

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Evident, nu există un astfel de parametru λ căruia îi va corespunde punctul N 0. Cu alte cuvinte, linia dreaptă dată nu trece prin punctul N 0 (- 2, 1).

Răspuns: punctul M 0 aparține unei linii date; punctul N 0 nu aparține dreptei date.

1. În problemele de al doilea tip, este necesar să se compună ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Cel mai simplu exemplu al unei astfel de probleme (cu coordonate cunoscute puncte ale dreptei și vectorul direcție) a fost discutat mai sus. Acum să ne uităm la exemple în care trebuie mai întâi să găsim coordonatele vectorului ghid și apoi să scriem ecuațiile parametrice.

Exemplul 8

Dat punctul M 1 1 2 , 2 3 . Este necesar să se creeze ecuații parametrice ale unei drepte care trece prin acest punct și paralele cu dreapta x 2 = y - 3 - 1.

Soluţie

Conform condițiilor problemei, linia dreaptă, a cărei ecuație trebuie să o avansăm, este paralelă cu dreapta x 2 = y - 3 - 1. Apoi, ca vector de direcție al unei drepte care trece printr-un punct dat, se poate folosi vectorul de direcție al unei drepte x 2 = y - 3 - 1, pe care o scriem sub forma: a → = (2, - 1) . Acum sunt cunoscute toate datele necesare pentru a compune ecuațiile parametrice necesare:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 1 2 + 2 · λ y = 2 3 + (- 1) · λ ⇔ x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ

Răspuns: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ .

Exemplul 9

Este dat punctul M 1 (0, - 7). Este necesar să se noteze ecuațiile parametrice ale unei drepte care trece prin acest punct perpendicular pe dreapta 3 x – 2 y – 5 = 0.

Soluţie

Ca vector de direcție al dreptei, a cărei ecuație trebuie compilată, se poate lua vectorul normal al dreptei 3 x – 2 y – 5 = 0. Coordonatele sale sunt (3, - 2). Să notăm ecuațiile parametrice necesare ale dreptei:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 0 + 3 · λ y = - 7 + (- 2) · λ ⇔ x = 3 · λ y = - 7 - 2 · λ

Răspuns: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. În problemele de al treilea tip, este necesar să se facă o tranziție de la ecuațiile parametrice ale unei linii date la alte tipuri de ecuații care o determină. Am discutat mai sus despre soluția la exemple similare;

Exemplul 10

Dată o dreaptă pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular, definită de ecuațiile parametrice x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ. Este necesar să găsiți coordonatele oricărui vector normal al acestei linii.

Soluţie

Pentru a determina coordonatele necesare ale vectorului normal, vom face tranziția de la ecuațiile parametrice la ecuația generală:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Coeficienții variabilelor x și y ne oferă coordonatele necesare ale vectorului normal. Astfel, vectorul normal al dreptei x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ are coordonatele 1, 3 4.

Răspuns: 1 , 3 4 .

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter