Articolul este dedicat analizei sarcinilor 15 din profilul Examen unificat de stat la matematică pentru anul 2017. În această sarcină, școlarilor li se cere să rezolve inegalitățile, cel mai adesea logaritmice. Deși pot exista și indicative. Acest articol oferă o analiză a exemplelor de inegalități logaritmice, inclusiv a celor care conțin o variabilă în baza logaritmului. Toate exemplele sunt luate din banca deschisă de sarcini de examen de stat unificat la matematică (profil), astfel încât astfel de inegalități sunt foarte probabil să apară în examen ca sarcina 15. Ideal pentru cei care doresc să învețe cum să rezolve sarcina 15 din a doua. parte a profilului Unified State Exam într-o perioadă scurtă de timp la matematică pentru a obține mai multe note la examen.

Analiza sarcinilor 15 din profilul Unified State Examination la matematică

Exemplul 1. Rezolvați inegalitatea:

În sarcinile 15 ale Examenului de stat unificat la matematică (profil), sunt adesea întâlnite inegalități logaritmice. Rezolvarea inegalităților logaritmice începe cu definirea regiunii valori acceptabile. În acest caz, nu există o variabilă în baza ambilor logaritmi, există doar numărul 11, ceea ce simplifică foarte mult problema. Deci singura limitare pe care o avem aici este că ambele expresii sub semnul logaritmului sunt pozitive:

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

Prima inegalitate din sistem este inegalitatea pătratică. Pentru a o rezolva, ne-am dori foarte mult să factorizăm partea stângă. Cred că știți că orice trinom pătratic al formei factorizează după cum urmează:

unde și sunt rădăcinile ecuației. În acest caz, coeficientul este 1 (acesta este coeficientul numeric în fața lui ). Coeficientul este, de asemenea, egal cu 1, iar coeficientul este termenul inactiv, este egal cu -20. Rădăcinile unui trinom sunt cel mai ușor de determinat folosind teorema lui Vieta. Ecuația pe care am dat-o înseamnă că suma rădăcinilor va fi egală cu coeficientul cu semnul opus, adică -1, iar produsul acestor rădăcini va fi egal cu coeficientul, adică -20. Este ușor de ghicit că rădăcinile vor fi -5 și 4.

Acum partea stângă a inegalității poate fi factorizată: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X la punctele -5 și 4. Aceasta înseamnă că soluția necesară a inegalității este intervalul . Pentru cei care nu inteleg ce scrie aici, puteti urmari detaliile in video, incepand din acest moment. Acolo veți găsi, de asemenea, o explicație detaliată a modului în care se rezolvă a doua inegalitate a sistemului. Se rezolvă. Mai mult, răspunsul este exact același ca pentru prima inegalitate a sistemului. Adică, mulțimea scrisă mai sus este regiunea valorilor permise ale inegalității.

Deci, luând în considerare factorizarea, inegalitatea originală ia forma:

Folosind formula, adăugăm 11 la puterea expresiei sub semnul primului logaritm și transferăm al doilea logaritm la partea stângă inegalitatea, schimbându-și semnul în sens invers:

După reducere obținem:

Ultima inegalitate, datorată creșterii funcției, este echivalentă cu inegalitatea , a cărui soluție este intervalul . Tot ce rămâne este să o intersectăm cu regiunea valorilor acceptabile ale inegalității, iar acesta va fi răspunsul la întreaga sarcină.

Deci, răspunsul necesar la sarcină arată astfel:

Ne-am ocupat de această sarcină, acum să trecem la exemplul următor sarcinile 15 ale Examenului de stat unificat la matematică (profil).

Exemplul 2. Rezolvați inegalitatea:

Începem soluția prin determinarea intervalului de valori acceptabile ale acestei inegalități. La baza fiecărui logaritm trebuie să existe un număr pozitiv care nu este egal cu 1. Toate expresiile sub semnul logaritmului trebuie să fie pozitive. Numitorul fracției nu trebuie să conțină zero. Ultima condiție este echivalentă cu faptul că , deoarece numai altfel ambii logaritmi din numitor dispar. Toate aceste condiții determină intervalul de valori admisibile ale acestei inegalități, date de următorul sistem de inegalități:

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

În intervalul de valori acceptabile, putem folosi formule de conversie logaritmică pentru a simplifica partea stângă a inegalității. Folosind formula scăpăm de numitor:

Acum avem doar logaritmi cu o bază. Acest lucru este deja mai convenabil. În continuare, folosim formula și, de asemenea, formula pentru a aduce expresia demn de glorie la următoarea formă:

În calcule, am folosit ceea ce este în intervalul de valori acceptabile. Folosind substituția ajungem la expresia:

Să folosim încă un înlocuitor: . Ca urmare, ajungem la următorul rezultat:

Deci, revenim treptat la variabilele originale. Mai întâi la variabilă:

Examen de stat unificat la nivel de profil matematică

Lucrarea constă din 19 sarcini.
Partea 1:
8 sarcini cu răspuns scurt de nivel de dificultate de bază.
Partea 2:
4 întrebări cu răspuns scurt
7 sarcini cu răspunsuri detaliate nivel înalt complexitate.

Timp de rulare - 3 ore 55 minute.

Exemple de sarcini de examinare unificată de stat

Rezolvarea sarcinilor de examen de stat unificat la matematică.

Pentru a o rezolva singur:

1 kilowatt-oră de energie electrică costă 1 rublă 80 de copeici.
Contorul de energie electrică a indicat 12.625 kilowați-oră la 1 noiembrie și 12.802 kilowați-oră la 1 decembrie.
Cât ar trebui să plătesc pentru electricitate pentru noiembrie?
Dați răspunsul în ruble.

La casa de schimb valutar, 1 grivne costă 3 ruble 70 de copeici.
Turiștii au schimbat ruble cu grivne și au cumpărat 3 kg de roșii la prețul de 4 grivne pe 1 kg.
Câte ruble i-a costat această achiziție? Rotunjiți răspunsul la un număr întreg.

Masha a trimis mesaje SMS cu felicitări de Anul Nou celor 16 prieteni.
Costul unui mesaj SMS este de 1 rublă 30 de copeici. Înainte de a trimite mesajul, Masha avea 30 de ruble în cont.
Câte ruble va mai avea Masha după ce a trimis toate mesajele?

Școala are corturi de camping pentru trei persoane.
Care este cel mai mic număr de corturi pe care trebuie să-l luați într-o excursie de camping care implică 20 de persoane?

Trenul Novosibirsk-Krasnoyarsk pleacă la ora 15:20 și sosește la 4:20 a doua zi (ora Moscovei).
Câte ore parcurge trenul?

știi ce?

Dintre toate figurile cu același perimetru, cercul va avea cea mai mare suprafață. În schimb, dintre toate formele cu aceeași zonă, cercul va avea cel mai mic perimetru.

Leonardo da Vinci a derivat o regulă conform căreia pătratul diametrului unui trunchi de copac este egal cu suma pătratelor diametrelor ramurilor luate la o înălțime fixă ​​comună. Studiile ulterioare au confirmat-o cu o singură diferență - gradul din formulă nu este neapărat egal cu 2, dar se află în intervalul de la 1,8 la 2,3. În mod tradițional, se credea că acest model se explică prin faptul că un copac cu o astfel de structură are un mecanism optim de aprovizionare cu ramuri cu nutrienți. Cu toate acestea, în 2010, fizicianul american Christophe Alloy a găsit o explicație mecanică mai simplă a fenomenului: dacă luăm în considerare un copac ca un fractal, atunci legea lui Leonardo minimizează probabilitatea ca ramurile să se rupă sub influența vântului.

Studiile de laborator au arătat că albinele sunt capabile să aleagă calea optimă. După localizarea florilor așezate în diferite locuri, albina face un zbor și se întoarce înapoi în așa fel încât drumul final să se dovedească a fi cel mai scurt. Astfel, aceste insecte fac față în mod eficient clasicei „probleme a vânzătorului ambulant” din informatică, pe care computerele moderne, în funcție de numărul de puncte, o pot petrece mai mult de o zi rezolvându-se.

O prietenă i-a cerut lui Einstein să o sune, dar a avertizat că numărul ei de telefon este foarte greu de reținut: - 24-361. Vă amintiți? Repeta! Surprins, Einstein a răspuns: „Desigur că îmi amintesc!” Două duzini și 19 pătrați.

Stephen Hawking este unul dintre cei mai importanți fizicieni teoreticieni și popularizator al științei. În povestea sa despre el însuși, Hawking a menționat că a devenit profesor de matematică fără a primi nicio educație de matematică din liceu. Când Hawking a început să predea matematică la Oxford, a citit manualul cu două săptămâni înaintea propriilor săi studenți.

Numărul maxim care poate fi scris cu cifre romane fără a încălca regulile lui Shvartsman (reguli de scriere a cifrelor romane) este 3999 (MMMCMXCIX) - nu puteți scrie mai mult de trei cifre la rând.

Există multe pilde despre cum o persoană îl invită pe altul să-i plătească pentru un serviciu în felul următor: pe primul pătrat al tablei de șah va pune un bob de orez, pe al doilea - două și așa mai departe: pe fiecare pătrat următor de două ori mai mult decât la precedentul. Drept urmare, cel care plătește astfel va da cu siguranță faliment. Acest lucru nu este surprinzător: se estimează că greutatea totală a orezului va fi de peste 460 de miliarde de tone.

În multe surse există o afirmație că Einstein a picat matematica la școală sau, în plus, a studiat în general foarte slab la toate disciplinele. De fapt, totul nu a fost așa: Albert a început să dea dovadă de talent la matematică de la o vârstă fragedă și știa asta cu mult dincolo de programa școlară.

Examen de stat unificat 2020 la matematică sarcina 15 cu soluție

Demo Opțiunea de examen de stat unificat 2020 la matematică

Examen de stat unificat la matematică 2020 în format pdf Nivel de bază | Nivel de profil

Teme de pregătire pentru examenul unificat de stat la matematică: nivel de bază și de specialitate cu răspunsuri și soluții.

Matematică: de bază | profil 1-12 | | | | | |

| | Acasă

Examenul de stat unificat 2020 la sarcina 15 de matematică

Examen de stat unificat 2020 la sarcina 15 la nivel de profil de matematică cu soluție

Examenul de stat unificat la matematică sarcina 15

Stare:
Rezolvați inegalitatea:

log 2 ((7 -x 2 - 3) (7 -x 2 +16 -1)) + log 2 ((7 -x 2 -3)/(7 -x 2 +16 - 1)) > log 2 ( 7 7-x 2 - 2) 2

Soluţie:
Să ne ocupăm de ODZ:
1. Expresia de sub primul semn al logaritmului trebuie să fie mai mare decât zero:

(7 (-(x 2))-3) (7 (-(x 2) + 16) -1) > 0
Prin urmare, X 2 este întotdeauna mai mic sau egal cu zero< = 1, следовательно,
7 (-x 2)< = -2 < 0

7 (-x 2) - 3
Aceasta înseamnă că pentru ca prima condiție a ODZ să fie îndeplinită, este necesar ca< 0
7 (-(x 2)+16) - 1< 1 = 7 0
7 (-(x 2)+16)< 0
-(x 2)+16
x 2 > 16

2. Expresia de sub semnul al doilea al logaritmului trebuie să fie mai mare decât zero. Dar acolo rezultatul va fi același ca în primul paragraf, deoarece aceleași expresii sunt între paranteze.

3. Expresia de sub semnul al treilea al logaritmului trebuie să fie mai mare decât zero.
(7 (7-x 2) -2) 2 > 0
Această inegalitate este întotdeauna adevărată, cu excepția cazului în care
7 (7-x 2) -2 = 0
7 (7-x 2) = 7 (log_7(2))
7-x 2 = log_7(2)
x 2 = 7 - log_7(2)
x = (+-)sqrt(7-log_7(x))

Să estimăm cu ce este aproximativ egală sqrt(7-log_7(x)).
1/3 = log_8(2)< log_7(2) < log_4(2) = 1/2
2 = sqrt(4)< sqrt(7-1/2) < sqrt(7-log_7(2)) < sqrt(7-1/3) < sqrt(9) = 3

Adică, condiția x nu este egală cu (+-)sqrt(7-log_7(x)) este deja redundantă, deoarece în paragraful (1) am exclus deja intervalul care include aceste puncte din ODZ.

Deci, încă o dată ODZ:
x aparține lui (- infinit; -4) U (4, + infinit)

4. Acum, folosind proprietățile logaritmului, inegalitatea originală poate fi transformată astfel:
log_2((7 (-x 2) - 3) 2) > log_2((7 (7 - x 2) - 2) 2)

Log_2(x) este o funcție crescătoare, așa că scăpăm de logaritm fără a schimba semnul:
(7 (-x 2) -3) 2 > (7 (7-x 2) -2) 2

Să estimăm de sus și de jos expresiile (7 (-x 2) -3) 2Şi (7 (7-x 2) -2) 2, ținând cont de ODZ:

X 2< -16
0 < 7 (-x 2) < 1
-3 < 7 (-x 2) -3 < -2
4 < (7 (-x 2) -3) 2 < 9

X 2< -16
0 < 7 (7-x 2) < 1
-2 < 7 (-x 2) -2 < -1
1 < (7 (-x 2) -3) 2 < 4

Aceasta înseamnă că inegalitatea este valabilă pentru orice x aparținând ODZ.