Reducere la un indicator de rădăcină. Înmulțirea rădăcinilor: reguli de bază

M-am uitat din nou la semn... Și, să mergem!

Să începem cu ceva simplu:

Doar un minut. asta, ceea ce înseamnă că îl putem scrie astfel:

Am înţeles? Iată următorul pentru tine:

Nu sunt extrase exact rădăcinile numerelor rezultate? Nicio problemă - iată câteva exemple:

Ce se întâmplă dacă nu există doi, ci mai mulți multiplicatori? Aceeași! Formula de înmulțire a rădăcinilor funcționează cu orice număr de factori:

Acum complet pe cont propriu:

Raspunsuri: Bine făcut! De acord, totul este foarte ușor, principalul lucru este să cunoști tabla înmulțirii!

Diviziunea rădăcinilor

Am rezolvat înmulțirea rădăcinilor, acum să trecem la proprietatea împărțirii.

Permiteți-mi să vă reamintesc că formula din vedere generală arata cam asa:

Ceea ce înseamnă că rădăcina coeficientului este egală cu câtul rădăcinilor.

Ei bine, să ne uităm la câteva exemple:

Asta e tot știința. Iată un exemplu:

Totul nu este la fel de lin ca în primul exemplu, dar, după cum puteți vedea, nu este nimic complicat.

Ce se întâmplă dacă dai peste această expresie:

Trebuie doar să aplicați formula în direcția opusă:

Și iată un exemplu:

Puteți întâlni și această expresie:

Totul este la fel, doar că aici trebuie să vă amintiți cum să traduceți fracțiile (dacă nu vă amintiți, uitați-vă la subiect și reveniți!). Vă amintiți? Acum haideți să decidem!

Sunt sigur că ai făcut față cu totul, acum hai să încercăm să ridicăm rădăcinile la grade.

Exponentiație

Ce se întâmplă dacă rădăcina pătrată este pătrată? Este simplu, amintiți-vă semnificația rădăcinii pătrate a unui număr - acesta este un număr a cărui rădăcină pătrată este egală cu.

Deci, dacă pătratăm un număr a cărui rădăcină pătrată este egală, ce obținem?

Ei bine, desigur!

Să ne uităm la exemple:

E simplu, nu? Ce se întâmplă dacă rădăcina este într-un grad diferit? E bine!

Urmați aceeași logică și amintiți-vă proprietățile și acțiunile posibile cu grade.

Citiți teoria despre subiectul „” și totul va deveni extrem de clar pentru dvs.

De exemplu, iată o expresie:

În acest exemplu, gradul este par, dar dacă este impar? Din nou, aplicați proprietățile puterilor și factorizați totul:

Totul pare clar cu asta, dar cum se extrage rădăcina unui număr la o putere? Iată, de exemplu, aceasta:

Destul de simplu, nu? Ce se întâmplă dacă gradul este mai mult de două? Urmăm aceeași logică folosind proprietățile gradelor:

Ei bine, totul este clar? Apoi rezolvați singur exemplele:

Și iată răspunsurile:

Intrând sub semnul rădăcinii

Ce nu am învățat să facem cu rădăcinile! Tot ce rămâne este să exersezi introducerea numărului sub semnul rădăcină!

Este chiar ușor!

Să presupunem că avem un număr notat

Ce putem face cu el? Ei bine, bineînțeles, ascunde-i pe cei trei sub rădăcină, amintindu-ți că cei trei sunt rădăcina pătrată a!

De ce avem nevoie de asta? Da, doar pentru a ne extinde capacitățile atunci când rezolvăm exemple:

Cum vă place această proprietate a rădăcinilor? Îți face viața mult mai ușoară? Pentru mine, exact așa este! Numai Trebuie să ne amintim că nu putem introduce decât numere pozitive sub semnul rădăcinii pătrate.

Rezolva singur acest exemplu -
Te-ai descurcat? Să vedem ce ar trebui să obțineți:

Bine făcut! Ai reușit să introduci numărul sub semnul rădăcină! Să trecem la ceva la fel de important - să ne uităm la cum să comparăm numerele care conțin o rădăcină pătrată!

Comparația rădăcinilor

De ce trebuie să învățăm să comparăm numerele care conțin o rădăcină pătrată?

Foarte simplu. Adesea, în expresii mari și lungi întâlnite la examen, primim un răspuns irațional (rețineți ce este acesta? Am vorbit deja despre asta astăzi!)

Trebuie să plasăm răspunsurile primite pe linia de coordonate, de exemplu, pentru a determina care interval este potrivit pentru rezolvarea ecuației. Și aici apare problema: nu există calculator în examen și, fără el, cum vă puteți imagina ce număr este mai mare și care este mai mic? Asta este!

De exemplu, determinați care este mai mare: sau?

Nu poți spune imediat. Ei bine, să folosim proprietatea dezasamblată de a introduce un număr sub semnul rădăcină?

Apoi mergeți mai departe:

Ei bine, evident, cu cât numărul de sub semnul rădăcinii este mai mare, cu atât rădăcina în sine este mai mare!

Aceste. dacă, atunci, .

De aici concluzionăm ferm că. Și nimeni nu ne va convinge de contrariul!

Extragerea rădăcinilor din număr mare

Înainte de aceasta, am introdus un multiplicator sub semnul rădăcinii, dar cum să-l eliminăm? Trebuie doar să-l factorizezi în factori și să extragi ceea ce extragi!

A fost posibil să luăm o cale diferită și să ne extindem în alți factori:

Nu-i rău, nu? Oricare dintre aceste abordări este corectă, decideți cum doriți.

Factorizarea este foarte utilă atunci când rezolvați astfel de probleme non-standard ca aceasta:

Să nu ne fie frică, ci să acționăm! Să descompunăm fiecare factor sub rădăcină în factori separați:

Acum încercați singur (fără calculator! Nu va fi la examen):

Acesta este sfârșitul? Să nu ne oprim la jumătate!

Asta e tot, nu e chiar atât de înfricoșător, nu?

A funcționat? Bravo, asa e!

Acum încearcă acest exemplu:

Dar exemplul este o nucă greu de spart, așa că nu vă puteți da seama imediat cum să o abordați. Dar, desigur, ne putem descurca.

Ei bine, să începem factorizarea? Să observăm imediat că puteți împărți un număr la (amintiți-vă semnele de divizibilitate):

Acum, încercați singur (din nou, fără calculator!):

Ei bine, a funcționat? Bravo, asa e!

Să rezumam

1. Rădăcina pătrată (rădăcină pătrată aritmetică) a unui număr nenegativ este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu.
   .
2. Dacă pur și simplu luăm rădăcina pătrată a ceva, obținem întotdeauna un rezultat nenegativ.
3. Proprietățile unei rădăcini aritmetice:
4. Când comparăm rădăcinile pătrate, este necesar să ne amintim că, cu cât numărul de sub semnul rădăcinii este mai mare, cu atât rădăcina însăși este mai mare.

Cum este rădăcina pătrată? Este totul clar?

Am încercat să vă explicăm fără nicio bătaie de cap tot ce trebuie să știți la examen despre rădăcina pătrată.

Acum e rândul tău. Scrie-ne dacă acest subiect este dificil pentru tine sau nu.

Ați învățat ceva nou sau totul era deja clar?

Scrieți în comentarii și mult succes la examene!

Materialul din acest articol ar trebui considerat ca parte a transformării subiectului a expresiilor iraționale. Aici vom folosi exemple pentru a analiza toate subtilitățile și nuanțele (dintre care sunt multe) care apar atunci când se efectuează transformări bazate pe proprietățile rădăcinilor.

Navigare în pagină.

Să ne amintim proprietățile rădăcinilor

Deoarece suntem pe cale să ne ocupăm de transformarea expresiilor folosind proprietățile rădăcinilor, nu va strica să le amintiți pe cele principale sau chiar mai bine, să le scrieți pe hârtie și să le puneți în fața dvs.

În primul rând, sunt studiate rădăcinile pătrate și următoarele proprietăți ale acestora (a, b, a 1, a 2, ..., a k sunt numere reale):

Și mai târziu ideea de rădăcină este extinsă, este introdusă definiția unei rădăcini de gradul al n-lea și sunt luate în considerare următoarele proprietăți (a, b, a 1, a 2, ..., a k sunt numere reale, m, n, n 1, n 2, ... , n k - numere naturale):

Conversia expresiilor cu numere sub semne radicale

Ca de obicei, ei învață mai întâi să lucreze cu expresii numerice și abia după aceea trec la expresii cu variabile. Vom proceda la fel și mai întâi ne vom ocupa de transformarea expresiilor iraționale care conțin numai expresii numerice sub semnele rădăcinilor, iar apoi în paragraful următor vom introduce variabile sub semnele rădăcinilor.

Cum poate fi folosit pentru a transforma expresii? Este foarte simplu: de exemplu, putem înlocui o expresie irațională cu o expresie sau invers. Adică, dacă expresia care este convertită conține o expresie care se potrivește în aparență cu expresia din partea stângă (dreapta) a oricăreia dintre proprietățile enumerate ale rădăcinilor, atunci poate fi înlocuită cu expresia corespunzătoare din partea dreaptă (stânga). Aceasta este transformarea expresiilor folosind proprietățile rădăcinilor.

Să mai dăm câteva exemple.

Să simplificăm expresia . Numerele 3, 5 și 7 sunt pozitive, așa că putem aplica în siguranță proprietățile rădăcinilor. Aici puteți acționa în moduri diferite. De exemplu, o rădăcină bazată pe o proprietate poate fi reprezentată ca , iar o rădăcină folosind o proprietate cu k=3 - as , cu această abordare soluția va arăta astfel:

S-ar putea face diferit prin înlocuirea cu , și apoi cu , caz în care soluția ar arăta astfel:

Sunt posibile și alte soluții, de exemplu:

Să ne uităm la soluția unui alt exemplu. Să transformăm expresia. Privind lista de proprietăți ale rădăcinilor, selectăm din aceasta proprietățile de care avem nevoie pentru a rezolva exemplul, este clar că două dintre ele sunt utile aici și , care sunt valabile pentru orice a . Avem:

Alternativ, se pot transforma mai întâi expresiile radicale folosind

iar apoi aplicați proprietățile rădăcinilor

Până în acest moment, am convertit expresii care conțin doar rădăcini pătrate. Este timpul să lucrăm cu rădăcini care au indicatori diferiți.

Exemplu.

Convertiți expresia irațională .

Soluţie.

După proprietate primul factor al unui produs dat poate fi înlocuit cu numărul −2:

Să mergem mai departe. În virtutea proprietății, al doilea factor poate fi reprezentat ca , și nu ar strica să înlocuim 81 cu o putere cvadruplă de trei, deoarece în factorii rămași numărul 3 apare sub semnele rădăcinilor:

Este recomandabil să înlocuiți rădăcina unei fracții cu un raport de rădăcini de forma , care poate fi transformat în continuare: . Avem

După efectuarea operațiilor cu doi, expresia rezultată va lua forma , și tot ce rămâne este să transformăm produsul rădăcinilor.

Pentru a transforma produsele rădăcinilor, acestea sunt de obicei reduse la un singur indicator, pentru care este recomandabil să luați indicatorii tuturor rădăcinilor. În cazul nostru, LCM(12, 6, 12) = 12 și doar rădăcina va trebui redusă la acest indicator, deoarece celelalte două rădăcini au deja un astfel de indicator. Egalitatea, care se aplică de la dreapta la stânga, ne permite să facem față acestei sarcini. Aşa . Ținând cont de acest rezultat, avem

Acum produsul rădăcinilor poate fi înlocuit cu rădăcina produsului și transformările rămase, deja evidente, pot fi efectuate:

Să scriem o versiune scurtă a soluției:

Răspuns:

.

Subliniem separat că pentru a aplica proprietățile rădăcinilor este necesar să se țină cont de restricțiile impuse numerelor sub semnele rădăcinilor (a≥0 etc.). Ignorarea acestora poate duce la rezultate incorecte. De exemplu, știm că proprietatea este valabilă pentru a nenegativ. Pe baza acestuia, ne putem deplasa cu ușurință, de exemplu, de la la, deoarece 8 este un număr pozitiv. Dar dacă luăm o rădăcină semnificativă a unui număr negativ, de exemplu, și, pe baza proprietății indicate mai sus, o înlocuim cu , atunci înlocuim de fapt −2 cu 2. Într-adevăr, ah. Adică, pentru negativ a egalitatea poate fi incorectă, la fel cum alte proprietăți ale rădăcinilor pot fi incorecte fără a ține cont de condițiile specificate pentru ele.

Dar ceea ce s-a spus în paragraful anterior nu înseamnă deloc că expresiile cu numere negative sub semnele rădăcinilor nu pot fi transformate folosind proprietățile rădăcinilor. Trebuie doar să fie „pregătiți” mai întâi prin aplicarea regulilor de operare cu numere sau folosind definiția unei rădăcini impare a unui număr negativ, care corespunde egalității , unde −a este un număr negativ (în timp ce a este pozitiv). De exemplu, nu poate fi înlocuit imediat cu , deoarece −2 și −3 sunt numere negative, dar ne permite să ne mutăm de la rădăcină la , și apoi să aplicăm în continuare proprietatea rădăcinii unui produs: . Dar într-unul dintre exemplele anterioare, nu a fost necesar să trecem de la rădăcină la rădăcină a puterii a optsprezecea , și așa .

Deci, pentru a transforma expresii folosind proprietățile rădăcinilor, aveți nevoie

• alege proprietate potrivită din lista,
• asigurați-vă că numerele de sub rădăcină îndeplinesc condițiile pentru proprietatea selectată (în caz contrar, trebuie să efectuați transformări preliminare),
• și să efectueze transformarea intenționată.

Conversia expresiilor cu variabile sub semne radicale

Pentru a transforma expresii iraționale care conțin nu numai numere, ci și variabile sub semnul rădăcinii, proprietățile rădăcinilor enumerate în primul paragraf al acestui articol trebuie aplicate cu atenție. Acest lucru se datorează în mare parte condițiilor pe care trebuie să le îndeplinească numerele implicate în formule. De exemplu, pe baza formulei, expresia poate fi înlocuită cu o expresie numai pentru acele valori ale lui x care îndeplinesc condițiile x≥0 și x+1≥0, deoarece formula specificată este specificată pentru a≥0 și b ≥0.

Care sunt pericolele ignorării acestor condiții? Răspunsul la această întrebare demonstrează clar exemplul următor. Să presupunem că trebuie să calculăm valoarea unei expresii la x=−2. Dacă înlocuim imediat numărul −2 în loc de variabila x, vom obține valoarea de care avem nevoie . Acum să ne imaginăm că, pe baza unor considerații, am convertit expresia dată în forma și abia după aceea am decis să calculăm valoarea. Inlocuim numarul −2 cu x si ajungem la expresia , ceea ce nu are sens.

Să vedem ce se întâmplă cu intervalul de valori admisibile (APV) ale variabilei x atunci când treceți de la o expresie la alta. Nu întâmplător am menționat ODZ, deoarece acesta este un instrument serios de monitorizare a admisibilității transformărilor efectuate, iar o modificare a ODZ după transformarea unei expresii ar trebui, cel puțin, să trezească semnale roșii. Găsirea ODZ pentru aceste expresii nu este dificilă. Pentru că expresia ODZ este determinată din inegalitatea x·(x+1)≥0, soluția ei dă mulțimea numerică (−∞, −1]∪∪∪

Nu se impun restricții suplimentare numerelor din dreapta sau din stânga: dacă există factori rădăcină, atunci există și produsul.

Exemple. Să ne uităm la patru exemple cu numere simultan:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

După cum puteți vedea, sensul principal al acestei reguli este de a simplifica expresiile iraționale. Și dacă în primul exemplu am fi extras singuri rădăcinile lui 25 și 4 fără alte reguli noi, atunci lucrurile devin grele: $\sqrt(32)$ și $\sqrt(2)$ nu sunt considerate de la sine, dar produsul lor se dovedește a fi un pătrat perfect, deci rădăcina lui este egală cu un număr rațional.

Aș dori mai ales să evidențiez ultima linie. Acolo, ambele expresii radicale sunt fracții. Datorită produsului, mulți factori sunt anulați, iar întreaga expresie se transformă într-un număr adecvat.

Desigur, lucrurile nu vor fi întotdeauna atât de frumoase. Uneori va exista o mizerie completă sub rădăcini - nu este clar ce să faci cu ea și cum să o transformi după înmulțire. Puțin mai târziu, când începi să studiezi ecuațiile și inegalitățile iraționale, vor exista tot felul de variabile și funcții. Și de foarte multe ori, scriitorii de probleme contează pe faptul că vei descoperi niște termeni sau factori de anulare, după care problema se va simplifica de mai multe ori.

În plus, nu este deloc necesar să înmulțim exact două rădăcini. Puteți înmulți trei, patru sau chiar zece deodată! Acest lucru nu va schimba regula. Aruncă o privire:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

Și din nou o mică notă despre al doilea exemplu. După cum puteți vedea, în al treilea factor de sub rădăcină există o fracție zecimală - în procesul de calcule o înlocuim cu una obișnuită, după care totul este ușor de redus. Deci: vă recomand cu căldură să scăpați de fracțiile zecimale din orice expresii iraționale (adică care conțin cel puțin un simbol radical). Acest lucru vă va economisi mult timp și nervi în viitor.

Dar aceasta a fost o digresiune lirică. Acum să luăm în considerare un caz mai general - când exponentul rădăcină conține un număr arbitrar $n$, și nu doar cei doi „clasici”.

Cazul unui indicator arbitrar

Deci, cu rădăcini pătrateși-a dat seama. Ce să faci cu cele cubice? Sau chiar cu rădăcini de grad arbitrar $n$? Da, totul este la fel. Regula rămâne aceeași:

Pentru a înmulți două rădăcini de grad $n$, este suficient să înmulțiți expresiile lor radicale și apoi să scrieți rezultatul sub un radical.

In general, nimic complicat. Cu excepția faptului că cantitatea de calcule poate fi mai mare. Să ne uităm la câteva exemple:

Exemple. Calculați produsele:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac((((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right)))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

Și din nou, atenție la a doua expresie. Înmulțim rădăcinile cubice, scăpăm zecimalși, ca rezultat, obținem la numitor produsul numerelor 625 și 25. Acesta este un număr destul de mare - personal, nu pot calcula imediat cu ce este egal.

Deci am izolat pur și simplu cubul exact în numărător și numitor, apoi am folosit unul dintre proprietățile cheie(sau, dacă preferați, definiția) rădăcinii $n$-a:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\dreapta|. \\ \end(align)\]

Astfel de „mecanizări” vă pot economisi mult timp la examen sau munca de testare, asa ca tine minte:

Nu te grăbi să înmulți numerele folosind expresii radicale. În primul rând, verificați: ce se întâmplă dacă gradul exact al oricărei expresii este „criptat” acolo?

În ciuda faptului că această remarcă este evidentă, trebuie să recunosc că cei mai mulți studenți nepregătiți nu văd gradele exacte la limită. În schimb, ei înmulțesc totul, apoi se întreabă: de ce au primit numere atât de brutale?

Totuși, toate acestea sunt vorbe de bebeluși în comparație cu ceea ce vom studia acum.

Înmulțirea rădăcinilor cu exponenți diferiți

Bine, acum putem înmulți rădăcinile cu aceiași indicatori. Ce se întâmplă dacă indicatorii sunt diferiți? Să spunem, cum să înmulțim un $\sqrt(2)$ obișnuit cu niște prostii ca $\sqrt(23)$? Este chiar posibil să faci asta?

Da desigur că poți. Totul se face după această formulă:

Regula pentru înmulțirea rădăcinilor. Pentru a înmulți $\sqrt[n](a)$ cu $\sqrt[p](b)$, este suficient să efectuați următoarea transformare:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Cu toate acestea, această formulă funcționează numai dacă expresiile radicale sunt nenegative. Aceasta este o notă foarte importantă la care vom reveni puțin mai târziu.

Deocamdată, să ne uităm la câteva exemple:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81) \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

După cum puteți vedea, nimic complicat. Acum să ne dăm seama de unde a venit cerința de non-negativitate și ce se va întâmpla dacă o încălcăm.

Înmulțirea rădăcinilor este ușoară

De ce expresiile radicale trebuie să fie nenegative?

Desigur, puteți fi ca profesorii de școală și puteți cita manualul cu un aspect inteligent:

Cerința de non-negativitate este asociată cu diferite definiții ale rădăcinilor de grade pare și impare (în consecință, domeniile lor de definiție sunt și ele diferite).

Ei bine, a devenit mai clar? Personal, când am citit această prostie în clasa a VIII-a, am înțeles ceva de genul următor: „Cerința de non-negativitate este asociată cu *#&^@(*#@^#)~%” - pe scurt, n-am nu inteleg nimic la ora aia :)

Așa că acum voi explica totul într-un mod normal.

Mai întâi, să aflăm de unde provine formula de înmulțire de mai sus. Pentru a face acest lucru, permiteți-mi să vă reamintesc de o proprietate importantă a rădăcinii:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Cu alte cuvinte, putem ridica în siguranță expresia radicală la orice putere naturală $k$ - în acest caz, exponentul rădăcinii va trebui înmulțit cu aceeași putere. Prin urmare, putem reduce cu ușurință orice rădăcină la un exponent comun și apoi le putem înmulți. De aici provine formula de înmulțire:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Dar există o problemă care limitează drastic utilizarea tuturor acestor formule. Luați în considerare acest număr:

Conform formulei tocmai oferite, putem adăuga orice grad. Să încercăm să adăugăm $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Am eliminat minusul tocmai pentru că pătratul arde minusul (ca orice alt grad par). Acum să efectuăm transformarea inversă: „reducem” cele două în exponent și putere. La urma urmei, orice egalitate poate fi citită atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](o); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt((((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Dar apoi se dovedește a fi un fel de prostie:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Acest lucru nu se poate întâmpla, deoarece $\sqrt(-5) \lt 0$ și $\sqrt(5) \gt 0$. Aceasta înseamnă că pentru puteri par și numere negative formula noastră nu mai funcționează. După care avem două opțiuni:

1. Să dai de zid și să afirmi că matematica este o știință stupidă, unde „există niște reguli, dar acestea sunt imprecise”;
2. Introduceți restricții suplimentare în baza cărora formula va deveni 100% funcțională.

În prima opțiune, va trebui să surprindem în mod constant cazurile „nefuncționale” - este dificil, necesită timp și, în general, ugh. Prin urmare, matematicienii au preferat a doua opțiune :)

Dar nu-ți face griji! În practică, această limitare nu afectează în niciun fel calculele, deoarece toate problemele descrise se referă doar la rădăcini de grad impar, iar minusurile pot fi luate de la acestea.

Prin urmare, să formulăm încă o regulă, care se aplică în general tuturor acțiunilor cu rădăcini:

Înainte de a multiplica rădăcinile, asigurați-vă că expresiile radicale nu sunt negative.

Exemplu. În numărul $\sqrt(-5)$ puteți elimina minusul de sub semnul rădăcină - atunci totul va fi normal:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt((((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Simți diferența? Dacă lăsați minusul sub rădăcină, atunci când construiți expresie radicalăîn pătrat va dispărea și tot iadul se va dezlănțui. Și dacă scoți mai întâi minusul, atunci poți pătra/elimina până când devii albastru - numărul va rămâne negativ :)

Astfel, cel mai corect și mai fiabil mod de a înmulți rădăcinile este următorul:

1. Îndepărtați toate negativele de la radicali. Minusurile există doar în rădăcini de multiplicitate impară - ele pot fi plasate în fața rădăcinii și, dacă este necesar, reduse (de exemplu, dacă există două dintre aceste minusuri).
2. Efectuați înmulțirea conform regulilor discutate mai sus în lecția de astăzi. Dacă indicatorii rădăcinilor sunt aceiași, pur și simplu înmulțim expresiile radicale. Și dacă sunt diferite, folosim formula rea ​​\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3.Bucurați-vă de rezultat și de note bune.:)

Bine? Să exersăm?

Exemplul 1: Simplificați expresia:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Aceasta este cea mai simplă opțiune: rădăcinile sunt aceleași și ciudate, singura problemă este că al doilea factor este negativ. Scoatem acest minus din imagine, după care totul este ușor de calculat.

Exemplul 2: Simplificați expresia:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( alinia)\]

Mulți de aici ar fi confuzi de ceea ce s-a întâmplat la sfârșit număr irațional. Da, se întâmplă: nu am putut scăpa complet de rădăcină, dar cel puțin am simplificat semnificativ expresia.

Exemplul 3: Simplificați expresia:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((() a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Aș dori să vă atrag atenția asupra acestei sarcini. Există două puncte aici:

1. Rădăcina nu este un anumit număr sau putere, ci variabila $a$. La prima vedere, acest lucru este puțin neobișnuit, dar în realitate, la rezolvare probleme matematice Cel mai adesea va trebui să vă ocupați de variabile.
2. În final, am reușit să „reducem” indicatorul radical și gradul de exprimare radicală. Acest lucru se întâmplă destul de des. Și asta înseamnă că a fost posibil să simplificați semnificativ calculele dacă nu ați folosit formula de bază.

De exemplu, puteți face acest lucru:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(align)\]

De fapt, toate transformările au fost efectuate numai cu al doilea radical. Și dacă nu descrieți în detaliu toți pașii intermediari, atunci în cele din urmă cantitatea de calcule va fi redusă semnificativ.

De fapt, am întâlnit deja o sarcină similară mai sus când am rezolvat exemplul $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Acum se poate scrie mult mai simplu:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left((((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

Ei bine, am rezolvat înmulțirea rădăcinilor. Acum să luăm în considerare operația inversă: ce să faceți când există un produs sub rădăcină?

Rădăcinăn-gradul și proprietățile sale de bază

grad număr real O cu indicator natural n există o lucrare n factori, fiecare fiind egal O:

a1 = a; a2 =a·a; O n =

De exemplu,

25 = 2 2 2 2 2 = 32,

de 5 ori

(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.

de 4 ori

Număr real O numit baza gradului, iar numărul natural n este exponent.

Proprietățile de bază ale puterilor cu exponenți naturali decurg direct din definiție: puterea unui număr pozitiv cu oricare n e N pozitiv; Puterea unui număr negativ cu exponent par este pozitivă, cu exponent impar este negativă.

De exemplu,

(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.

Acțiunile cu grade se realizează după cum urmează: reguli.

1. Pentru a multiplica puteri cu aceleași baze, este suficient să adăugați exponenții și să lăsați baza aceeași, adică

De exemplu, p5∙ p3 = p5+3 =p8

2. Pentru a împărți puteri cu aceleași baze, este suficient să scazi exponentul divizorului din indicele dividendului și să lași baza aceeași, adică

https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif" width="95" height="44 src=">

2. Pentru a ridica un grad la o putere, este suficient să înmulțiți exponenții, lăsând baza aceeași, adică

(ap)m = at·p. De exemplu, (23)2 = 26.

4. Pentru a ridica un produs la o putere, este suficient să ridici fiecare factor la această putere și să înmulțim rezultatele, adică

(O b)p= ap∙bn.

De exemplu, (2у3)2= 4y6.

5. Pentru a ridica o fracție la o putere, este suficient să ridicați separat numărătorul și numitorul la această putere și să împărțiți primul rezultat la al doilea, adică

https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif" width="87" height="53 src=">

Rețineți că uneori este util să citiți aceste formule de la dreapta la stânga. În acest caz ele devin reguli. De exemplu, în cazul 4, apvp= (av)p obținem următoarea regulă: la Pentru a înmulți puteri cu aceiași exponenți, este suficient să înmulțiți bazele, lăsând exponentul la fel.

Utilizarea acestei reguli este eficientă, de exemplu, atunci când se calculează următorul produs

(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif" width="25" height="23">+1)5=(( -1)( +1))5=( = 1.

Să dăm acum definiția unei rădăcini.

Rădăcină gradul al n-lea dintr-un număr real O numit număr real X, a cărei putere a n-a este egală cu O.

Evident, în conformitate cu proprietățile de bază ale puterilor cu exponenți naturali, din orice număr pozitiv există două valori opuse ale rădăcinii unei puteri pare, de exemplu, numerele 4 și -4 sunt rădăcini pătrate ale lui 16, deoarece ( -4)2 = 42 = 16, iar numerele 3 și -3 sunt a patra rădăcină a lui 81, deoarece (-3)4 = 34 = 81.

Mai mult, nu există rădăcină uniformă a unui număr negativ, deoarece puterea pară a oricărui număr real este nenegativă. În ceea ce privește rădăcina impară, pentru orice număr real există o singură rădăcină impară a acelui număr. De exemplu, 3 este a treia rădăcină a lui 27, deoarece 33 = 27, iar -2 este a cincea rădăcină a lui -32, deoarece (-2)5 = 32.

Datorită existenței a două rădăcini de gradul par ale unui număr pozitiv, introducem conceptul de rădăcină aritmetică pentru a elimina această ambiguitate a rădăcinii.

Valoare nenegativă a n-a rădăcină se numește puteri ale unui număr nenegativ rădăcină aritmetică.

De exemplu, https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif" width="13" height="16 src="> 0.

Trebuie amintit că atunci când se rezolvă ecuații iraționale, rădăcinile lor sunt întotdeauna considerate aritmetice.

Să notăm proprietatea principală a rădăcinii a n-a.

Mărimea rădăcinii nu se va schimba dacă indicatorii rădăcinii și gradul de expresie radicală sunt înmulțite sau împărțite cu același număr natural, adică

Exemplul 7. Reduceți la un numitor comun și