I = ∑r eu 2 dF i =∫r 2 dF (1.1)
În principiu, atât definiția, cât și formula care o descrie nu sunt complicate și a le aminti este mult mai ușor decât a înțelege esența. Dar totuși, să încercăm să ne dăm seama care este momentul de inerție și de unde vine.
Conceptul de moment de inerție a ajuns la puterea materialelor și a mecanicii structurale dintr-o altă ramură a fizicii care studiază cinematica mișcării, în special mișcarea de rotație. Dar oricum să începem de departe.
Nu știu sigur dacă un măr a căzut pe capul lui Isaac Newton, dacă a căzut în apropiere sau nu a căzut deloc teoria probabilității permite toate aceste opțiuni (în plus, există prea mult în acest măr; legenda biblică despre arborele cunoașterii), dar sunt sigur că Newton era o persoană observatoare, capabilă să tragă concluzii din observațiile sale. Astfel, observația și imaginația i-au permis lui Newton să formuleze legea fundamentală a dinamicii (a doua lege a lui Newton), conform căreia masa unui corp m, înmulțit cu accelerație o, este egală cu forța care acționează Q(de fapt, denumirea F este mai obișnuită pentru forță, dar întrucât mai departe ne vom ocupa de aria, care este adesea denumită și F, folosesc denumirea Q pentru forța externă, considerată în mecanică teoretică ca o sarcină concentrată, de fapt, nu se schimbă):
Q = ma (1.2)
Pentru mine, măreția lui Newton constă în simplitatea și claritatea lui. această definiție. Și, de asemenea, dacă luăm în considerare că cu mișcarea uniform accelerată, accelerația O egal cu raportul de creștere a vitezei ΔV la o perioadă de timp Δt, timp în care viteza s-a schimbat:
a = Δv/Δt = (v - v о)/t (1.3.1)
la V o = 0 a = v/t (1.3.2)
apoi puteți determina parametrii de bază ai mișcării, cum ar fi distanța, viteza, timpul și chiar impulsul r, care caracterizează cantitatea de mișcare:
p = mv (1.4)
De exemplu, un măr care cade de la diferite înălțimi doar sub influența gravitației va cădea la pământ timpuri diferite, au viteze diferite în momentul aterizării și, în consecință, impulsuri diferite. Cu alte cuvinte, un măr care cade de la o înălțime mai mare va dura mai mult să zboare și va crăpa mai tare pe fruntea observatorului ghinionist. Și Newton a redus toate acestea la o formulă simplă și de înțeles.
Newton a formulat și legea inerției (prima lege a lui Newton): dacă accelerația a = 0, atunci într-un cadru de referință inerțial este imposibil să se determine dacă corpul observat, asupra căruia nu este acționat de forțele externe, este în repaus sau se mișcă în linie dreaptă cu o viteză constantă. Această proprietate a corpurilor materiale de a-și menține viteza, chiar și zero, se numește inerție. Măsura inerției este masa inerțială a corpului. Uneori masa inerțială este numită inertă, dar acest lucru nu schimbă esența materiei. Se crede că masa inerțială este egală cu masa gravitațională și, prin urmare, adesea nu se specifică ce masă se înțelege, ci pur și simplu se menționează masa corpului.
Nu mai puțin importantă și semnificativă este a treia lege a lui Newton, conform căreia forța de acțiune este egală cu forța de reacție dacă forțele sunt direcționate într-o linie dreaptă, dar în direcții opuse. În ciuda aparentei sale simplități, această concluzie a lui Newton este genială, iar importanța acestei legi este greu de supraestimat. Una dintre aplicațiile acestei legi este discutată mai jos.
Totuși, aceste prevederi sunt valabile numai pentru corpurile care se deplasează translațional, adică. de-a lungul unei cărări drepte și în același timp totul puncte materiale astfel de corpuri se deplasează cu aceeași viteză sau cu aceeași accelerație. În timpul mișcării curbilinie și în special în timpul mișcării de rotație, de exemplu, când un corp se rotește în jurul axei sale de simetrie, punctele materiale ale unui astfel de corp se mișcă în spațiu cu aceeași viteză unghiulară w, dar în același timp viteza liniară v puncte diferite vor avea valori diferite și această viteză liniară este direct proporțională cu distanța r de la axa de rotație până în acest punct:
v=wr (1.5)
în acest caz, viteza unghiulară este egală cu raportul de creștere a unghiului de rotație Δφ la o perioadă de timp Δt, pentru care unghiul de rotație s-a modificat:
w = Δφ/Δt = (φ - φ о)/t (1.6.1)
la φ o = 0 w = φ/t (1.7.2)
în consecință accelerație normală un nîn timpul mișcării de rotație este egal cu:
a n = v 2 /r = w 2 r (1.8)
Și se dovedește că pentru mișcarea de rotație nu putem folosi direct formula (1.2), deoarece în mișcarea de rotație doar valoarea masei corporale nu este suficientă, de asemenea, trebuie să cunoaștem distribuția acestei mase în corp; Se dovedește că cu cât punctele materiale ale corpului sunt mai aproape de axa de rotație, cu atât trebuie aplicată mai puțină forță pentru a face corpul să se rotească și invers, cu atât punctele materiale ale corpului sunt mai îndepărtate de axa de rotație, cu atât trebuie aplicată forța mai mare pentru a forța corpul să se rotească (în acest caz vorbim despre aplicarea forței în același punct). În plus, atunci când rotiți un corp, este mai convenabil să luați în considerare nu forță efectivă, iar cuplul, deoarece în timpul mișcării de rotație are și punctul de aplicare al forței mare valoare.
Proprietățile uimitoare ale cuplului ne sunt cunoscute încă de pe vremea lui Arhimede, iar dacă aplicăm conceptul de cuplu la mișcarea de rotație, atunci semnificația cuplului. M va fi mai mare cu cât distanța este mai mare r de la axa de rotație până la punctul de aplicare a forței F(în mecanica structurilor forță externă adesea denumită R sau Q):
M = Qr (1.9)
Din această formulă nu foarte complicată rezultă că, dacă se aplică o forță de-a lungul axei de rotație, atunci nu va exista nicio rotație, deoarece r = 0, iar dacă forța este aplicată la distanța maximă de axa de rotație, atunci valoarea momentului va fi maximă. Și dacă înlocuim în formula (1.9) valoarea forței din formula (1.2) și valoarea accelerației normale și formula (1.8), obținem următoarea ecuație:
M = mw 2 r r = mw 2 r 2 (1.10)
În cazul particular când corpul este un punct material cu dimensiuni mult mai mici decât distanța de la acest punct la axa de rotație, ecuația (1.10) este aplicabilă în forma sa pură. Cu toate acestea, pentru un corp care se rotește în jurul uneia dintre axele sale de simetrie, distanța de la fiecare punct material care compune acest corp este întotdeauna mai mică decât unul dintre dimensiuni geometrice corp și, prin urmare, distribuția masei corporale este de mare importanță, în acest caz este necesar să se țină cont de aceste distanțe separat pentru fiecare punct:
M = ∑r i 2 w 2 m i (1.11.1)
М с = w 2 ∫r 2 dm
Și apoi se dovedește că, conform celei de-a treia legi a lui Newton, ca răspuns la acțiunea cuplului, va apărea așa-numitul moment de inerție. eu. În acest caz, valorile cuplului și ale momentului de inerție vor fi egale, iar momentele în sine vor fi direcționate în direcții opuse. La o viteză unghiulară constantă de rotație, de exemplu w = 1, marimile principale care caracterizează cuplul sau momentul de inerție vor fi masa punctelor materiale care alcătuiesc corpul și distanțele de la aceste puncte până la axa de rotație. Ca rezultat, formula pentru momentul de inerție va lua următoarea formă:
[- M] = I = ∑r i 2 m i (1.12.1)
I c = ∫r 2 dm(1.11.2) - când corpul se rotește în jurul axei de simetrie
Unde eu- denumirea general acceptată pentru momentul de inerție; IC- desemnarea momentului de inerție axial al corpului, kg/m 2. Pentru un corp omogen având aceeași densitate ρ pe tot corpul V Formula pentru momentul axial de inerție al unui corp poate fi scrisă după cum urmează:
I c = ∫ρr 2 dV (1.13)
Astfel, momentul de inerție este o măsură a inerției unui corp în timpul mișcării de rotație, la fel cum masa este o măsură a inerției unui corp în timpul mișcării rectilinie de translație.
Cercul a completat cercul. Și aici poate apărea întrebarea, ce legătură au toate aceste legi ale dinamicii și cinematicii cu calculul structurilor statice ale clădirii? Se dovedește că niciunul nu este cel mai direct și imediat lucru. În primul rând, pentru că toate aceste formule au fost derivate de fizicieni și matematicieni în acele vremuri îndepărtate când discipline precum „Mecanica teoretică” sau „Teoria rezistenței materialelor” pur și simplu nu existau. Și în al doilea rând, pentru că întregul calcul al structurilor clădirii se bazează pe legile și formulările indicate și pe afirmația care nu a fost încă infirmată de nimeni despre egalitatea maselor gravitaționale și inerțiale. Dar în teoria rezistenței materialelor totul este încă mai simplu, oricât de paradoxal ar suna.
Și este mai simplu, deoarece atunci când se rezolvă anumite probleme, nu se poate lua în considerare întregul corp, ci doar secțiunea transversală a acestuia și, dacă este necesar, mai multe secțiuni transversale. Dar în aceste secțiuni acționează aceleași forțe fizice, deși de natură ușor diferită. Astfel, dacă luăm în considerare un anumit corp a cărui lungime este constantă, iar corpul în sine este omogen, atunci dacă nu luăm în considerare parametrii constanți - lungimea și densitatea ( l = const, ρ = const) - obținem un model în secțiune transversală. Pentru o astfel de secțiune transversală, din punct de vedere matematic, următoarea ecuație va fi valabilă:
I р = ∫r 2 dF (2.1) → (1.1)
Unde Ip- momentul polar de inerție al secțiunii transversale, m 4. Drept urmare, am primit formula cu care am început (dar dacă a devenit mai clar care este momentul de inerție al unei secțiuni, nu știu).
Deoarece în teoria rezistenței materialelor se iau în considerare adesea secțiuni dreptunghiulare, iar sistemul de coordonate dreptunghiular este mai convenabil, atunci când se rezolvă probleme, se iau în considerare de obicei două momente axiale de inerție ale secțiunii transversale:
I z = ∫y 2 dF (2.2.1)
I y = ∫z 2 dF (2.2.2)
Figura 1. Valorile coordonatelor la determinarea momentelor axiale de inerție.
Aici poate apărea întrebarea de ce sunt folosite axele zŞi la, și nu cele mai familiare XŞi la? Se întâmplă că determinarea forțelor în secțiune transversală și selectarea unei secțiuni care poate rezista la solicitări de funcționare egale cu forțele aplicate sunt două sarcini diferite. Prima sarcină - determinarea forțelor - este rezolvată de mecanica structurală, a doua sarcină - selectarea secțiunilor transversale - este rezolvată de teoria rezistenței materialelor. În același timp, în mecanica structurilor, la rezolvarea unor probleme simple, se consideră destul de des o tijă (pentru structuri rectilinii) având o anumită lungime. l, iar înălțimea și lățimea secțiunii nu sunt luate în considerare, în timp ce se consideră că axa X trece precis prin centrele de greutate ale tuturor secțiunilor transversale și astfel, la construirea diagramelor (uneori destul de complexe), lungimea l se depune cu precizie de-a lungul axei X, și de-a lungul axei la Sunt reprezentate grafic valorile grafice. În același timp, teoria rezistenței materialelor ia în considerare tocmai secțiunea transversală, pentru care lățimea și înălțimea sunt importante, iar lungimea nu este luată în considerare. Desigur, la rezolvarea problemelor din teoria rezistenței materialelor, care sunt uneori destul de complexe, se folosesc aceleași axe familiare. XŞi la. Această stare de lucruri mi se pare că nu este în întregime corectă, deoarece, în ciuda diferenței, acestea sunt încă sarcini conexe și, prin urmare, ar fi mai indicat să folosim axe comune pentru structura care se calculează.
Valoarea momentului polar de inerție într-un sistem de coordonate dreptunghiular va fi:
I р = ∫r 2 dF =∫y 2 dF + ∫z 2 dF (2.3)
Deoarece într-un sistem de coordonate dreptunghiular, raza este ipotenuza unui triunghi dreptunghic și, după cum știți, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Și există, de asemenea, conceptul de momentul de inerție centrifugal al secțiunii transversale:
I xz = ∫xzdF(2.4)
Printre axele sistemului de coordonate dreptunghiulare care trec prin centrul de greutate al secțiunii transversale, există două axe reciproc perpendiculare, față de care momentele axiale de inerție iau valori maxime și minime, în timp ce moment centrifugal inerția secțiunii I zy = 0. Astfel de axe sunt numite axe centrale principale ale secțiunii transversale, iar momentele de inerție în jurul unor astfel de axe sunt numite momente centrale de inerție principale.
Când vorbim despre momente de inerție în teoria rezistenței materialelor, ne referim de obicei la principalele momente centrale de inerție ale secțiunii transversale. Pentru secțiuni pătrate, dreptunghiulare, circulare, axele principale vor coincide cu axele de simetrie. Momentele de inerție în secțiune transversală sunt numite și momente de inerție geometrice sau momente de inerție de zonă, dar esența rămâne aceeași.
În principiu, nu este mare nevoie de a determina valorile principalelor momente centrale de inerție pentru secțiunile transversale ale celor mai comune forme geometrice - pătrat, dreptunghi, cerc, țeavă, triunghi și altele. Astfel de momente de inerție au fost de mult definite și cunoscute pe scară largă. Și când se calculează momentele axiale de inerție pentru secțiuni de forme geometrice complexe, teorema Huygens-Steiner este valabilă:
I = I c + r 2 F (2.5)
Astfel, dacă sunt cunoscute ariile și centrele de greutate ale figurilor geometrice simple care alcătuiesc o secțiune complexă, atunci determinarea valorii momentului de inerție axial al întregii secțiuni nu va fi dificilă. Și pentru a determina centrul de greutate al unei secțiuni complexe, se folosesc momentele statice ale secțiunii transversale. Momentele statice sunt discutate mai detaliat într-un alt articol, voi adăuga doar aici. Sensul fizic al momentului static este următorul: momentul static al unui corp este suma momentelor pentru punctele materiale care alcătuiesc corpul, relativ la un punct (moment static polar) sau relativ la o axă (moment static axial). ), și întrucât momentul este produsul forței și brațului (1.9) , atunci momentul static al corpului se determină în mod corespunzător:
S = ∑M = ∑r i m i= ∫rdm (2.6)
și atunci momentul static polar al secțiunii transversale va fi:
S р = ∫rdF (2.7)
După cum puteți vedea, definiția momentului static este similară cu definiția momentului de inerție. Dar există o diferență fundamentală. Momentul static se numește static deoarece pentru un corp asupra căruia acționează forța de greutate, momentul static este egal cu zero față de centrul de greutate. Cu alte cuvinte, un astfel de corp se află într-o stare de echilibru dacă suportul este aplicat pe centrul de greutate al corpului. Și conform primei legi a lui Newton, un astfel de corp este fie în repaus, fie se mișcă cu o viteză constantă, adică. accelerația = 0. Și din punct de vedere pur matematic, cuplul static poate fi egal cu zero din simplul motiv că la determinarea cuplului static este necesar să se țină cont de direcția de acțiune a cuplului. De exemplu, în raport cu axele de coordonate care trec prin centrul de greutate al dreptunghiului, zonele părții superioare și inferioare a dreptunghiului vor fi pozitive, deoarece simbolizează forța de gravitație care acționează într-o direcție. În acest caz, distanța de la axă la centrul de greutate poate fi considerată pozitivă (condițional: momentul de la forța gravitațională a părții superioare a dreptunghiului încearcă să rotească secțiunea în sensul acelor de ceasornic) și până la centrul de greutate al partea inferioară - ca negativă (condiționat: momentul de la forța gravitațională a părții inferioare a dreptunghiului încearcă să rotiți secțiunea în sens invers acelor de ceasornic). Și deoarece astfel de zone sunt numeric egale și egale cu distanța de la centrele de greutate ale părții superioare a dreptunghiului și a părții inferioare a dreptunghiului, atunci suma momentelor care acționează va fi 0 dorit.
S z = ∫ydF = 0 (2.8)
Acest mare zero face, de asemenea, posibilă determinarea reacțiilor de susținere ale structurilor clădirii. Dacă luăm în considerare o structură de clădire căreia, de exemplu, o sarcină concentrată Q este aplicată la un anumit punct, atunci o astfel de structură de clădire poate fi considerată ca un corp cu un centru de greutate în punctul de aplicare a forței și reacțiile de sprijin în acest caz sunt considerate forțe aplicate în punctele de sprijin. Astfel, cunoscând valoarea sarcinii concentrate Q și distanța de la punctul de aplicare a sarcinii până la suporturile structurii clădirii, se pot determina reacțiile de susținere. De exemplu, pentru o grindă pur și simplu sprijinită pe doi suporturi, valoarea reacțiilor de sprijin va fi proporțională cu distanța până la punctul de aplicare a forței, iar suma reacțiilor de sprijin va fi egală cu sarcina aplicată. Dar, de regulă, atunci când se determină reacțiile de sprijin, acestea procedează și mai simplu: unul dintre suporturi este luat ca centru de greutate, iar apoi suma momentelor de la sarcina aplicată și din reacțiile de sprijin rămase este încă egală cu zero. În acest caz, momentul din reacția de sprijin față de care se compilează ecuația momentului este egal cu zero, întrucât brațul forței = 0, ceea ce înseamnă că în suma momentelor rămân doar două forțe: sarcina aplicată. și reacția suport necunoscută (pentru structuri determinate static).
Astfel, diferența fundamentală dintre momentul static și momentul de inerție este că momentul static caracterizează secțiunea pe care forța gravitațională încearcă să o rupă în jumătate față de centrul de greutate sau axa de simetrie și momentul de inerția caracterizează corpul, ale cărui puncte materiale se mișcă (sau încearcă să se miște într-o direcție). Poate că următoarele, mai degrabă condiționate, vă vor ajuta să vă imaginați mai clar această diferență: scheme de proiectare pentru secțiune dreptunghiulară:
Figura 2. Diferența clară între momentul static și momentul de inerție.
Acum să revenim încă o dată la cinematica mișcării. Dacă trasăm analogii între tensiunile care apar în secțiunile transversale ale structurilor clădirii și diverse tipuri mișcare, apoi în elementele întinse central și comprimate central apar tensiuni care sunt uniforme pe întreaga suprafață a secțiunii transversale. Aceste solicitări pot fi comparate cu acțiunea unei forțe asupra unui corp, în care corpul se va mișca rectiliniu și progresiv. Și cel mai interesant lucru este că secțiunile transversale ale elementelor întinse central sau comprimate central se mișcă efectiv, deoarece solicitările care acționează provoacă deformații. Și amploarea unor astfel de deformații poate fi determinată pentru orice secțiune transversală a structurii. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți valoarea tensiunilor efective, lungimea elementului, aria secțiunii transversale și modulul elastic al materialului din care este realizată structura.
Pentru elementele flexibile, secțiunile transversale, de asemenea, nu rămân pe loc, ci se mișcă, iar mișcarea secțiunilor transversale ale elementelor flexibile este similară cu rotația unui anumit corp în jurul unei anumite axe. După cum probabil ați ghicit deja, momentul de inerție vă permite să determinați unghiul de înclinare a secțiunii transversale și deplasarea Δ l pentru punctele extreme ale secțiunii. Aceste puncte extreme pentru o secțiune dreptunghiulară sunt situate la o distanță egală cu jumătate din înălțimea secțiunii (de ce este descris suficient de detaliat în articolul „Fundamentele rezistenței rezistenței. Determinarea deformarii”). Și acest lucru, la rândul său, vă permite să determinați deformarea structurii.
Iar momentul de inerție vă permite să determinați momentul de rezistență al secțiunii. Pentru a face acest lucru, momentul de inerție trebuie pur și simplu împărțit la distanța de la centrul de greutate al secțiunii până la punctul cel mai îndepărtat al secțiunii, pentru o secțiune dreptunghiulară cu h/2. Și deoarece secțiunile studiate nu sunt întotdeauna simetrice, valoarea momentului de rezistență poate fi diferită pentru diferite părți ale secțiunii.
Și totul a început cu un măr banal... deși nu, totul a început cu un cuvânt.
Momentul de inerție axial (sau ecuatorial) al secțiunii față de axă este suma produselor ariilor infinitezimale () luate pe întreaga suprafață S, înmulțită cu pătratele distanțelor de la acestea la axa de rotație:
Momentul polar de inerție al secțiunii este identificat relativ la un anumit punct (pol). Momentul polar de inerție al unei secțiuni este suma produselor ariilor infinitezimale (), luate pe aria sa S, înmulțită cu distanța de la aceste zone la pol, luată la pătrat:
Unde 
În cazul axelor perpendiculare despre care se cunosc momentele de inerție, momentul polar de inerție față de punctul de intersecție al acestor axe se găsește ușor ca urmare a însumării momentelor de inerție axiale:
Uneori se ia în considerare momentul de inerție centrifugal al secțiunii, care se constată ca
Expresia (4) spune că momentul de inerție centrifugal al secțiunii față de axele reciproc perpendiculare este suma produselor ariilor elementare () cu distanțele de la acestea la axele luate în considerare, pe întreaga suprafață S.
Momentele de inerție axiale și polare sunt întotdeauna pozitive. Momentele de inerție centrifuge ale secțiunilor pot fi mai mari sau mai mici decât zero. Momentul de inerție centrifugal al secțiunii față de axe, dintre care unul sau ambele coincid cu axele sale de simetrie, este egal cu zero.
Momentul de inerție axial al unei secțiuni complexe față de o axă este egal cu suma momentelor de inerție axiale ale părților acestei secțiuni față de aceeași axă. Momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni complexe în raport cu două axe normale între ele poate fi găsit ca suma momentelor de inerție centrifuge ale pieselor față de aceleași axe. Momentul polar de inerție are aceeași proprietate. Cu toate acestea, este imposibil să adăugați momentele de inerție care se găsesc în raport cu diferite axe și puncte.
Exemple de rezolvare a problemelor
EXEMPLUL 1
| Exercita | Determinați momentul axial de inerție al unei secțiuni triunghiulare isoscelă în jurul axei care trece prin baza ei (Fig. 1). Lungimea bazei triunghiului este , înălțimea sa este . |
| Soluţie | Să facem un desen. Să selectăm o zonă elementară dreptunghiulară pe o secțiune triunghiulară (vezi Fig. 1). Este situat la o distanță de axa de rotație, lungimea unei laturi este , cealaltă parte este . Din fig. 1 rezultă că:
Apoi găsim zona site-ului alocat ca: Momentul de inerție al unei secțiuni triunghiulare față de axa Z este, prin definiție, egal cu: |
| Răspuns |
EXEMPLUL 2
| Exercita | Aflați momentul polar de inerție al unei secțiuni sub forma unui cerc în raport cu centrul acesteia. Raza cercului este . |
| Soluţie | Mai întâi, să găsim momentul axial de inerție al cercului în raport cu axa OZ (vezi Fig. 2). Să selectăm o zonă elementară pe cerc sub forma unui dreptunghi cu laturile și . Din fig. 2 urmează |
Vă rugăm să rețineți că acest site dispune de un serviciu online de calculare a centrului de greutate și a momentelor de inerție a secțiunilor compozite, care constau din profile laminate (grinzi în I, unghiuri etc.) și figuri simple.
Adesea, atunci când se calculează elemente ale structurilor clădirii, este necesar să se determine caracteristici geometrice profile compuse din forme geometrice elementare (dreptunghi, cerc etc.) si profile laminate. Să aruncăm o privire mai atentă la exemplul de calcul.
Este necesar să se determine caracteristicile geometrice ale secțiunii compozite (Fig.), care constă dintr-un colț 20/12,5/1,2, un colț 14/1 și un dreptunghi 20x2cm.
Definirea propriilor caracteristici ale profilurilor individuale- componente de secțiune transversală
Caracteristicile proprii ale profilelor laminate sunt determinate din sortiment.
Pentru colțul inegal 20/12.5/1.2:
- înălțimea și lățimea colțului h = 20 cm, b = 12,5 cm;
- suprafata $A$= 37,9 cm 2 ;
- momente axiale proprii de inerție $(I_x)$=1570 cm 4, $(I_y)$= 482 cm 4;
- momentul de inertie centrifugal propriu $(I_(xy))$=505 cm 4 ;
- coordonatele centrului de greutate $(x_c)$= 2,83 cm, $(y_c)$= 6,51 cm.
Pentru unghi egal 14/1:
- înălțimea și lățimea colțului h = b = 14 cm;
- suprafata $A$= 27,3 cm 2 ;
- momente axiale proprii de inerție $(I_x)$= $(I_y)$= 512 cm 4 ;
- momentul de inertie centrifugal propriu $(I_(xy))$=301 cm 4 ;
- coordonatele centrului de greutate $(x_c)$= $(y_c)$= 3,82 cm.
Pentru un dreptunghi de 20x2cm:
- înălțimea și lățimea dreptunghiului h = 20 cm, b = 2 cm;
Aria $A$= 20 ∙ 2 = 40 cm 2 ;
- propriile momente de inerție axiale $(I_x) = \frac((2 \cdot ((20)^3)))((12)) = 1330$ cm 4 , $(I_y) = \frac((20 \cdot (2^3)))((12)) = 13,3$cm 4 ;
- propriul moment de inerție centrifugal $(I_(xy))$= 0, întrucât profilul are o axă de simetrie.
Determinarea centrului de greutate al unei secțiuni
Suprafața totală a întregii secțiuni A = 37,9+27,3+40 = 105 cm 2 .
Desenăm axele auxiliare $X$ și $Y$ și determinăm centrul de greutate al secțiunii în raport cu acestea:
$(X_c) = \frac((\sum ((X_i) \cdot (A_i)) ))(A) = \frac(((\text(37))(\text(,9)) \cdot (\ text((- 13))(\text(,5) + 27))(\text(,3)) \cdot (\text((- 3))(\text(,82) + 40)) \cdot (\text(1))))(((\text(105))))(\text( = - 5))(\text(,49))$cm;
$(Y_c) = \frac((\sum ((Y_i) \cdot (A_i)) ))(A) = \frac(((\text(37))(\text(,9)) \cdot (\ text((- 2))(\text(,83) + 27))(\text(,3)) \cdot (\text(10))(\text(,2 + 40)) \cdot (\text (10))))((105)) = 5,44 USD.
Mai mult, în coordonatele centrelor de greutate ale responsabilităților componente’ Asigurați-vă că luați în considerare semnul. Lăsați deoparte axele care trec prin centrul de greutate- axele centrale $Xc$ și $(Y_c)$.
Determinarea momentelor centrale de inerție
Momentele de inerție axiale și centrifuge ale secțiunii se determină folosind formulele de tranziție între axe paralele. Pentru a face acest lucru, găsim și arătăm în desen distanțele dintre axele centrale ale întregii secțiuni și axele proprii ale fiecăreia dintre figuri.
$Ix = \sum (\left((I(x_i) + A \cdot (b^2)) \right) = (\text(482 + 8))(\text(,2))((\text( 7))^(\text(2))) \cdot (\text(37))(\text(,9 + 512 + 4))(\text(,7))((\text(6))^ (\text(2))) \cdot (\text(27))(\text(,3 + 1330 + 4))(\text(,5))((\text(6))^(\text( 2))) \cdot (\text(40 = 6360))) $cm 4 ;
$Iy = \sum (\left((I(y_i) + A \cdot (a^2)) \right)) = (\text(1570 + 8))(\text(,0))((\text (1))^(\text(2))) \cdot (\text(37))(\text(,9 + 512 + 1))(\text(,6))((\text(7)) ^(\text(2))) \cdot (\text(27))(\text(,3 + 13))(\text(,3 + 6))(\text(,4))((\text (9))^(\text(2))) \cdot (\text(40 = 6280))$cm 4 ;
$(I_(xy)) = \sum (\left(((I_(xy))_i + A \cdot a \cdot b) \right)) = $
$ = 505 + (- 8,01) \cdot (- 8,27) \cdot 37,9 - 301 + 1,67 \cdot 4,76 \cdot 27,3 + 0 + 6,49 \cdot 4,56 \cdot 40 = 4120$cm 4 .
În acest caz, responsabilitățile sunt obligatorii Luăm în considerare amplasarea figurilor în raport cu axele luate în considerare. Deci, la determinarea momentului de inerție $(I_x)$, substituim în formula propriul moment de inerție al unghiului inegal față de axa care este paralelă cu axa $(X_c)$, în sortiment acesta este Axa $Y$ și invers.
Determinarea poziției axelor principale și a momentelor principale de inerție
Unghiul de rotație al axelor principale față de axele pentru care sunt cunoscute momentele de inerție este determinat de formula
\ $\alpha = \frac((arctg(- 97)))(2) = - 44,7^\circ $.
Dacă $\alpha > 0$, axele principale sunt reprezentate în sens invers acelor de ceasornic și invers.
Principalele momente de inerție sunt definite după cum urmează:
$(I_(x0)) = (I_x) \cdot (\cos ^2)\alpha + (I_y) \cdot (\sin ^2)\alpha - (I_(xy)) \cdot \sin 2\alpha = $
$ = 6360 \cdot (\cos ^2)(- 44,7^\circ) + 6280 \cdot (\sin ^2)(- 44,7^\circ) - 4120 \cdot \sin (- 2 \cdot 44,7^\circ ) = 10430$cm 4 .
$(I_(y0)) = (I_y) \cdot (\cos ^2)\alpha + (I_x) \cdot (\sin ^2)\alpha + (I_(xy)) \cdot \sin 2\alpha = $
$ = 6280 \cdot (\cos ^2)(- 44,7^\circ) + 6360 \cdot (\sin ^2)(- 44,7^\circ) + 4120 \cdot \sin (- 2 \cdot 44,7^\circ ) = 2210$cm 4 .
Momentul de inerție centrifugal în jurul axelor principale este zero.
Raze de inerție. Momente de rezistență
Razele de rotație ale secțiunii
$(i_x) = \sqrt[()]((\frac(((I_x)))(A))) = \sqrt[()]((\frac((10430))((105)))) = 9,96$cm, $(i_y) = \sqrt[()]((\frac(((I_y)))(A))) = \sqrt[()]((\frac((2210))) (( 105)))) = 4,58$cm.
Momentele de rezistență în secțiune sunt determinate în raport cu axele centrale. Pentru a face acest lucru, este necesar să se determine distanțele $(x_(\max ))$ și $(y_(\max ))$ până la punctele maxime de la axele principale. În primul rând, trebuie să determinați din desene care puncte sunt cele mai îndepărtate. În cazul nostru, acestea sunt punctele $A$ și $B$ (Fig.). Distantele cerute pot fi determinate avand coordonatele acestor puncte in axele centrale (nereturnate).
$(x_(\max )) = (x_A) \cdot \cos \left(\alpha \right) + (y_A) \cdot \sin \left(\alpha \right)$
$(y_(\max )) = (y_B) \cdot \cos \left(\alpha \right) - (x_B) \cdot \sin \left(\alpha \right)$
X A = - 8,53 cm Y A = 8,57 cm
X B = - 14,5 cm Y B = - 18 cm
x max = - 12,1 cm y max = - 23 cm
Momente de rezistență
$(W_x) = \frac(((I_x)))(((y_(\max )))) = \frac(((10430))((23)) = 454$cm 3 ; $(W_y) = \frac(((I_y)))(((x_(\max )))) = \frac(((2210))((12.1)) = 183$cm 3 .
La determinarea momentelor de inerție ale unei secțiuni compozite, aceasta din urmă se împarte în figuri simple, pentru care se cunosc pozițiile centrelor de greutate și momentele de inerție față de propriile axe centrale. Folosind formulele (2.5), se găsesc coordonatele centrului de greutate al întregii secțiuni într-un sistem de axe auxiliare selectate în mod arbitrar. Axele centrale sunt trasate paralele cu aceste axe, față de care momentele de inerție axială și centrifugă sunt determinate cu ajutorul formulelor (2.6). Momentele de inerție față de axele centrale principale sunt determinate prin formula (2.12), iar poziția axelor centrale principale - prin formulele (2.11).
Exemplul 2.1. Să determinăm momentele de inerție în raport cu axele centrale principale ale secțiunii transversale a unei grinzi în I 130, armată cu două foi de oțel cu o secțiune de 200 x 20 mm (Fig. 2.12).
Axele de simetrie Ooh, oh sunt principalele axe centrale ale întregii secțiuni. Să notăm din sortiment (vezi anexa) valorile ariei și momentelor de inerție ale secțiunii fasciculului I în raport cu axele Ooh, Ooh:
Să determinăm momentele de inerție ale secțiunilor tablei față de propriile axe centrale folosind formulele (2.14):
Suprafața întregii secțiuni este egală cu F= 46,5 + 2 20 2 = 126,5 cm 2.
Momentele de inerție ale secțiunii față de axele centrale principale Ooh, oh sunt determinate de formulele (2.6):
Exemplul 2.2. Să determinăm momentele de inerție în raport cu axele centrale principale ale secțiunii transversale a rafturii din două unghiuri isoscele 1_70x70x8, dispuse transversal (Fig. 2.13). Munca de îmbinare a colțurilor este asigurată prin benzi de legătură.
Coordonatele centrului de greutate al secțiunii unghiulare, valorile ariei și momentele de inerție față de propriile axe centrale Oh^ și Оу 0 sunt date în sortiment (vezi anexa):
Distanța față de centrul de greutate DESPREîntreaga secțiune până la centrul de greutate al unghiului este egală cu O= (2,02 + 0,4) l/2 = 3,42 cm.
Suprafața întregii secțiuni este egală cu F= 2 10,7 = 21,4 cm 2.
Momente de inerție față de principalele axe centrale, care sunt axele de simetrie Ooh, oh sunt determinate de formulele (2.6):
Exemplul 2.3. Să determinăm poziția centrului de greutate și momentele de inerție față de axele centrale principale ale secțiunii transversale a unui fascicul compus din două canale x ]Şi O x y ( . Apoi, folosind formulele (2.5), obținem:
Aceste valori și coordonate ale centrelor de greutate ale canalului și unghiului din sistemul de coordonate Ohoo prezentat în Fig. 2.16 și sunt egale în mod corespunzător:
Folosind formulele (2.6), determinăm momentele de inerție ale secțiunii în raport cu axele centrale OhŞi Oh
Folosind formulele (2.12) și (2.11), găsim valorile principalelor momente de inerție și unghiurile de înclinare ale axelor principale 1 și 2 față de axă. Oh:
Momentele de inerție ale secțiunilor se numesc integrale de următoarea formă:
la;
– momentul de inerție axial al secțiunii față de ax z;
– momentul de inerție centrifugal al secțiunii;
– momentul polar de inerție al secțiunii.
3.2.1. Proprietățile momentelor de inerție ale secțiunii
Dimensiunea momentelor de inerție este [lungimea 4 ], de obicei [ m 4 ] sau [ cm 4 ].
Momentele axiale și polare de inerție sunt întotdeauna pozitive. Momentul de inerție centrifugal poate fi pozitiv, negativ sau zero.
Se numesc axe în jurul cărora momentul de inerție centrifugal este zero axele principale de inerție secțiuni.
Axele de simetrie sunt întotdeauna principalele. Dacă cel puțin una dintre cele două axe reciproc perpendiculare este o axă de simetrie, atunci ambele axe sunt principale.
Momentul de inerție al unei secțiuni compozite este egal cu suma momentelor de inerție ale elementelor acestei secțiuni.
Momentul polar de inerție este egal cu suma momentelor axiale de inerție.
Să demonstrăm ultima proprietate. In sectiune cu suprafata O pentru un site elementar dA vectorul rază ρ și coordonatele laŞi z(Fig. 6) sunt legate după teorema lui Pitagora: ρ 2 = la 2 + z 2. Apoi
Orez. 6. Relația dintre coordonatele polare și carteziene
site elementar
3.2.2. Momentele de inerție ale celor mai simple figuri
ÎN secțiune dreptunghiulară(Fig. 7) selectați o platformă elementară dA cu coordonate yŞi z si zona dA = dydz.
Orez. 7. Secțiune dreptunghiulară
Momentul de inerție axial față de axă la
.
În mod similar, obținem momentul de inerție în jurul axei z:
Din moment ce laŞi z– axa de simetrie, apoi momentul centrifugal D zy = 0.
Pentru cerc diametru d calculele sunt simplificate dacă se ia în considerare simetria circulară și se folosesc coordonatele polare. Să luăm ca platformă elementară un inel infinit subțire cu raza ρ și grosimea dρ (Fig. 8). Zona sa dA= 2πρ dρ. Atunci momentul polar de inerție este:
.
Orez. 8. Secțiune rotundă
După cum se arată mai sus, momentele axiale de inerție în jurul oricărei axe centrale sunt aceleași și egale
.
Moment de inerție inele găsim ca diferență între momentele de inerție a două cercuri - cel exterior (cu un diametru D) și interioare (cu un diametru d):
Moment de inerție eu z triunghi o vom defini relativ la axa care trece prin centrul de greutate (Fig. 9). Evident, lățimea unei benzi elementare situată la distanță la din axă z, este egal
Prin urmare,
Orez. 9. Secțiune triunghiulară
3.3. Dependențe între momentele de inerție față de axele paralele
Cu valori cunoscute ale momentelor de inerție față de axe zŞi la sa determinam momentele de inertie fata de alte axe z 1 și y 1 paralel cu cele date. Folosind formula generală pentru momentele axiale de inerție, găsim
Dacă axele zŞi y central, atunci 
, Și
Din formulele obținute reiese clar că momentele de inerție față de axele centrale (când 
) au cele mai mici valori în comparație cu momentele de inerție față de orice alte axe paralele.
3.4. Axele principale și momentele principale de inerție
Când axele sunt rotite printr-un unghi α, momentul de inerție centrifugal devine egal cu
.
Să determinăm poziția principalelor axe de inerție u,
v referitor la care 
,
unde α 0 este unghiul cu care trebuie rotite axele yŞi z astfel încât să devină principalele.
Deoarece formula dă două valori de unghi 
Şi 
, atunci există două axe principale reciproc perpendiculare. Axa maximă face întotdeauna un unghi mai mic ( 
) cu cea a axelor ( z sau y), față de care momentul axial de inerție are o importanță mai mare. Amintiți-vă că unghiurile pozitive sunt îndepărtate de axă z
în sens invers acelor de ceasornic.
Se numesc momentele de inerție față de axele principale principalele momente de inerție. Se poate demonstra că ei
.
Semnul plus din fața celui de-al doilea termen se referă la momentul maxim de inerție, semnul minus la minim.
