Luați în considerare o funcție a două variabile z=f(x, y) si ea increment complet la punct M 0 (x 0 , y 0)

Δ z = f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) - f(x 0 , y 0).

Definiţie. Dacă numerele există PŞi Q astfel încât incrementul total poate fi reprezentat ca

Δ z = PΔ x + QΔ y + ε Δρ,

unde si ε→ 0 la Δρ→ 0 , apoi expresia PΔ x + QΔ y se numește diferența totală a funcției z=f(x,y) la punct M 0 (x 0 ,y 0).

În acest caz, incrementul complet al funcției constă din două părți: prima parte PΔ x + QΔ y este liniară în raport cu Δ xŞi Δy, al doilea este infinitezimal ordin superior comparativ cu .

Funcție diferențială completă z=f(x,y) notat cu dz, adică

dz = PΔ x+QΔ y.

O funcție care are diferenţial completîntr-un punct dat se spune că este diferențiabilă în acel punct.

Teorema. Dacă u=f(M) diferentiabil la punct M0, atunci este continuă în ea.

Comentariu. Continuitatea unei funcții a două variabile nu implică diferențiabilitatea acesteia.

Exemplu. continuu in (0,0) , dar nu are o derivată parțială - nu există. În mod similar, nu există o derivată parțială în ceea ce privește y. Prin urmare, funcția nu este diferențiabilă.

Teorema [condiție necesară pentru diferențiere]. Dacă z=f(x,y) diferentiabil la punct M0, atunci în acest moment are derivate parțiale în raport cu xŞi y, și

f′ x (x 0 ,y 0) = P, f′ y (x 0 , y 0) = Q.

Comentariu. Diferențiabilitatea nu rezultă din existența derivatelor parțiale. Exemplu:

Avem , dar funcția nu este continuă, prin urmare nu este diferențiabilă.

Teoremă [condiție suficientă pentru diferențiere]. Dacă primele derivate parțiale ale funcției z=f(x,y) definite într-o vecinătate a punctului M 0 (x 0 ,y 0)și sunt continue în punctul însuși M0, atunci această funcție are o diferență totală în acest punct.

Comentariu. Avem

Δ z = f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y + ε Δρ,

Unde ε→ 0 la Δρ→ 0 . Prin urmare,

f(x 0 +Δ x,y 0 +Δ y) - f(x 0 ,y 0) ≈ f′ x (x 0 ,y 0)Δ x + f′ y (x 0 ,y 0)Δ y

f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) ≈ f(x 0 ,y 0) + f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y.

Această formulă este utilizată în calcule aproximative.

La fix Δ xŞi Δy diferenţialul total este o funcţie de variabile xŞi y:

Să punem dx=Δ x, dy=Δyși să numim aceste mărimi diferențiale ale variabilelor independente.

Apoi obținem formula

adică diferența totală a unei funcții este egală cu suma produselor primelor derivate parțiale și diferențialelor corespunzătoare ale argumentelor.

Diferenţialul total al unei funcţii de trei variabile este definit şi exprimat în mod similar. Dacă u=f(x, y, z) si sunt numere P, Q, R astfel încât

Δ u = PΔ x+QΔ y+RΔ z+εΔρ, ε→ 0 la δρ→ 0 ,

atunci diferența totală este expresia

du = PΔ x+QΔ y+RΔ z.

Dacă primele derivate parțiale ale acestei funcții sunt continue, atunci

Unde dx=Δ x, dz=Δ z, dz=Δ z.

Definiţie. Diferenţialul total de ordinul doi al unei funcţii este diferenţialul total al diferenţialului său total.

Dacă z=f(x,y), dz=z′ x dx+z′ y dy, Asta

Plan tangent și normal de suprafață

Luați în considerare suprafața S, dat de ecuație

z=f(x, y).

Lasă f(x, y) are derivate parțiale într-o regiune. Să luăm în considerare M 0 (x 0 , y 0).

- coeficientul unghiular al tangentei în punct M0 la o secțiune a unei suprafețe printr-un plan y=y 0, adică la linie z=f(x,y 0). Tangenta la aceasta dreapta are forma:

z-z 0 =f′ x (x 0 , y 0)(x-x 0), y=y 0.

În mod similar, o secțiune plană x=x 0 dă ecuația

z-z 0 =f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0), x=x 0.

Planul care conține ambele drepte are ecuația

z-z 0 =f′ x (x 0 , y 0)(x-x 0)+f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0)

și se numește plan tangent la suprafață S la punct P 0 (x 0 , y 0 , z 0).

Rețineți că ecuația planului tangent poate fi rescrisă ca

z-z 0 =df.

Astfel, sensul geometric al unei diferenţiale totale este: diferenţial într-un punct M0 pentru increment (x-x 0 , y-y 0) este incrementul punctului de aplicare al planului tangent la suprafață z=f(x,y) la punct (x 0 , y 0) pentru aceleași incremente.

Planul tangent are un vector normal în punct (x 0 , y 0 , z 0) - \vec(n)=(f′ x (x 0 , y 0), f′ y (x 0 , y 0), -1). Linie care trece printr-un punct P0și având un vector de direcție \vec(n), se numește normală la suprafață z=f(x,y)în acest moment. Ecuațiile ei sunt:

Diferențierea funcțiilor complexe

Să fie dată o funcție diferențiabilă z=F(v, w), ale căror argumente sunt funcții diferențiabile ale variabilelor xŞi y:

v=v(x, y), w=w(x, y).

Dacă funcţia

z=F(v(x, y), w(x, y))=\Phi(x, y)

are sens, atunci se numește o funcție complexă a xŞi y.

Teorema. Derivate parțiale z′ x, z′ y funcţiile complexe există şi sunt exprimate prin formule

Dacă vŞi w- funcţii diferenţiabile ale unei variabile t, adică

v=v(t), w=w(t),

iar funcția are sens

z=F(v(t), w(t))=f(t),

atunci derivata sa este exprimată prin formula

Această derivată se numește derivată totală.

Dacă este dată o funcţie derivabilă

u=F(ξ, η, ζ),

ale căror argumente ξ=ξ(t), η=η(t), ζ=ζ(t)- funcţii diferenţiabile ale unei variabile tși funcția

u=F(ξ(t), η(t), ζ(t))

Derivate parțiale ale unei funcții a două variabile.
Concept și exemple de soluții

În această lecție ne vom continua cunoașterea funcției a două variabile și vom considera probabil cele mai comune repartizare tematică– găsirea derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea, precum și diferența totală a funcției. Studenții cu fracțiune de normă, de regulă, întâlnesc derivate parțiale în anul I în semestrul II. Mai mult decât atât, conform observațiilor mele, sarcina de a găsi derivate parțiale apare aproape întotdeauna la examen.

Pentru învăţare eficientă următorul material pentru tine necesar să poată găsi mai mult sau mai puțin cu încredere derivate „obișnuite” ale funcțiilor unei variabile. Puteți învăța cum să gestionați corect derivatele în lecții Cum să găsesc derivatul?Şi Derivată a unei funcții complexe. De asemenea, vom avea nevoie de un tabel cu derivate ale funcțiilor elementare și reguli de diferențiere, cel mai convenabil este dacă este la îndemână în formă tipărită. Puteți obține material de referință pe pagină Formule și tabele matematice.

Să repetăm ​​rapid conceptul de funcție a două variabile, voi încerca să mă limitez la minim. O funcție a două variabile este de obicei scrisă ca , variabilele fiind numite variabile independente sau argumente.

Exemplu: – funcţia a două variabile.

Uneori se folosește notația. Există, de asemenea, sarcini în care litera este folosită în loc de scrisoare.

CU punct geometricÎn ceea ce privește vederea, o funcție a două variabile reprezintă cel mai adesea o suprafață a spațiului tridimensional (plan, cilindru, sferă, paraboloid, hiperboloid etc.). Dar, de fapt, asta este mai mult geometrie analitică, iar pe agenda noastră este analiza matematică, pe care profesorul meu universitar nu m-a lăsat niciodată să o trișez și este punctul meu forte.

Să trecem la problema găsirii derivatelor parțiale de ordinul întâi și al doilea. Am niște vești bune pentru cei care au băut câteva cești de cafea și se găsesc la un material incredibil de dificil: derivatele parțiale sunt aproape la fel cu derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile.

Pentru derivatele parțiale sunt valabile toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare. Există doar câteva mici diferențe, pe care le vom cunoaște chiar acum:

...da, apropo, pentru acest subiect pe care l-am creat carte mica pdf, care vă va permite să vă „prindeți dinții” în doar câteva ore. Dar utilizând site-ul, veți obține cu siguranță același rezultat - poate puțin mai lent:

Exemplul 1

Găsiți derivatele parțiale de ordinul I și II ale funcției

Mai întâi, să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi. Sunt doi dintre ei.

Denumiri:
sau – derivată parțială în raport cu „x”
sau – derivată parțială în raport cu „y”

Să începem cu . Când găsim derivata parțială față de „x”, variabila este considerată o constantă (număr constant).

Comentarii asupra acțiunilor efectuate:

(1) Primul lucru pe care îl facem când găsim derivata parțială este să concluzionam toate funcţionează între paranteze sub prim cu indice.

Atentie, important! NU PIERDERM abonamente în timpul procesului de soluționare. În acest caz, dacă desenați o „loc” undeva fără , atunci profesorul, cel puțin, îl poate pune lângă sarcină (mușcă imediat o parte din punct pentru neatenție).

(2) Folosim regulile de diferențiere , . Pentru exemplu simplu ca aceasta, ambele reguli pot fi aplicate cu ușurință într-un singur pas. Atenție la primul termen: de când este considerată o constantă și orice constantă poate fi scoasă din semnul derivatului, apoi l-am scos din paranteze. Adică, în această situație, nu este mai bun decât un număr obișnuit. Acum să ne uităm la al treilea termen: aici, dimpotrivă, nu este nimic de scos. Deoarece este o constantă, este și o constantă și, în acest sens, nu este mai bună decât ultimul termen - „șapte”.

(3) Folosim derivate tabulare și .

(4) Să simplificăm sau, după cum îmi place să spun, să „ajustăm” răspunsul.

Acum . Când găsim derivata parțială față de „y”, atunci variabilaconsiderată o constantă (număr constant).

(1) Folosim aceleași reguli de diferențiere , . În primul termen scoatem constanta din semnul derivatei, în al doilea termen nu putem scoate nimic deoarece este deja o constantă.

(2) Folosim tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Să schimbăm mental toate „X”-urile din tabel cu „I”. Adică, acest tabel este la fel de valabil pentru (și într-adevăr pentru aproape orice literă). În special, formulele pe care le folosim arată astfel: și .

Care este sensul derivatelor parțiale?

În esență, derivatele parțiale de ordinul 1 se aseamănă derivat „obișnuit”.:

- Asta funcții, care caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia axelor şi, respectiv. Deci, de exemplu, funcția caracterizează abruptul „creșterilor” și „pantelor” suprafeteîn direcția axei absciselor, iar funcția ne vorbește despre „relieful” aceleiași suprafețe în direcția axei ordonatelor.

! Nota : aici ne referim la direcții care paralel axele de coordonate.

Pentru o mai bună înțelegere, să luăm în considerare un punct specific din plan și să calculăm valoarea funcției („înălțimea”) la acesta:
– și acum imaginează-ți că ești aici (LA suprafață).

Să calculăm derivata parțială față de „x” la un punct dat:

Semnul negativ al derivatului „X” ne vorbește despre în scădere funcţionează într-un punct în direcţia axei absciselor. Cu alte cuvinte, dacă facem un mic, mic (infinitezimal) pas spre vârful axei (paralel cu această axă), apoi vom coborî pe panta suprafeței.

Acum aflăm natura „terenului” în direcția axei ordonatelor:

Derivata față de „y” este pozitivă, prin urmare, într-un punct din direcția axei funcția crește. Pentru a spune simplu, aici așteptăm o urcare în urcare.

În plus, derivata parțială la un punct caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia corespunzătoare. Cu cât valoarea rezultată este mai mare modulo– cu cât suprafața este mai abruptă și invers, cu cât este mai aproape de zero, cu atât suprafața este mai plată. Deci, în exemplul nostru, „panta” în direcția axei absciselor este mai abruptă decât „muntele” în direcția axei ordonatelor.

Dar acelea erau două căi private. Este destul de clar că din punctul în care ne aflăm, (și în general din orice punct de pe o suprafață dată) ne putem deplasa într-o altă direcție. Astfel, există interesul de a realiza o „hartă de navigație” generală care să ne informeze despre „peisajul” suprafeței. dacă este posibilîn fiecare punct domeniul de definire al acestei funcţii pe toate căile disponibile. Voi vorbi despre asta și despre alte lucruri interesante la unul dintre lecțiile următoare, dar deocamdată să revenim la partea tehnică a problemei.

Să sistematizăm regulile elementare aplicate:

1) Când diferențiem în raport cu , variabila este considerată o constantă.

2) Când diferențierea se realizează conform, atunci este considerată o constantă.

3) Regulile și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare sunt valabile și aplicabile pentru orice variabilă (sau oricare alta) prin care se realizează diferențierea.

Pasul doi. Găsim derivate parțiale de ordinul doi. Sunt patru.

Denumiri:
sau – derivata a doua în raport cu „x”
sau – derivata a doua în raport cu „y”
sau - amestecat derivată a lui „x prin igr”
sau - amestecat derivata lui "Y"

Nu există probleme cu derivata a doua. Vorbitor într-un limbaj simplu, a doua derivată este derivata primei derivate.

Pentru comoditate, voi rescrie derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite:

Mai întâi, să găsim derivate mixte:

După cum puteți vedea, totul este simplu: luăm derivata parțială și o diferențiam din nou, dar în acest caz - de data aceasta în funcție de „Y”.

De asemenea:

În exemple practice, vă puteți concentra pe următoarea egalitate:

Astfel, prin derivate mixte de ordinul doi este foarte convenabil să verificăm dacă am găsit corect derivatele parțiale de ordinul întâi.

Aflați derivata a doua în raport cu „x”.
Fără invenții, hai să o luăm și diferențiază-l prin „x” din nou:

De asemenea:

Trebuie remarcat faptul că atunci când găsiți, trebuie să arătați atenție sporită, întrucât nu există egalități miraculoase care să le verifice.

Derivatele secunde găsesc, de asemenea, aplicații practice largi, în special, sunt utilizate în problema găsirii extremele unei funcţii a două variabile. Dar totul are timpul lui:

Exemplul 2

Calculați derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției în punctul. Găsiți derivate de ordinul doi.

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă(răspunsuri la sfârșitul lecției). Dacă aveți dificultăți în diferențierea rădăcinilor, reveniți la lecție Cum să găsesc derivatul?În general, destul de curând veți învăța să găsiți astfel de derivate „din mers”.

Să fim mai buni la exemple mai complexe:

Exemplul 3

Verifica asta. Notați diferența totală de ordinul întâi.

Soluție: Aflați derivatele parțiale de ordinul întâi:

Atenție la indice: , lângă „X” nu este interzis să scrieți între paranteze că este o constantă. Această notă poate fi foarte utilă pentru începători pentru a facilita navigarea prin soluție.

Alte comentarii:

(1) Luăm toate constantele în afara semnului derivatei. În acest caz, și , și, prin urmare, produsul lor este considerat un număr constant.

(2) Nu uitați cum să diferențiați corect rădăcinile.

(1) Luăm toate constantele din semnul derivatei în acest caz, constanta este .

(2) Sub prim avem produsul a două funcții rămase, prin urmare, trebuie să folosim regula pentru diferențierea produsului .

(3) Nu uitați că aceasta este o funcție complexă (deși cea mai simplă dintre cele complexe). Folosim regula corespunzătoare: .

Acum găsim derivate mixte de ordinul doi:

Aceasta înseamnă că toate calculele au fost efectuate corect.

Să notăm diferența totală. În contextul sarcinii luate în considerare, nu are sens să spunem care este diferența totală a unei funcții a două variabile. Este important ca această diferență de foarte multe ori să fie scrisă în probleme practice.

Diferenţial total de ordinul întâi funcția a două variabile are forma:

În acest caz:

Adică, trebuie doar să înlocuiți prostesc derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite în formulă. În această situație și în situații similare, cel mai bine este să scrieți semnele diferențiale în numărător:

Și conform solicitărilor repetate ale cititorilor, diferenţial complet de ordinul doi.

Arata cam asa:

Să găsim cu ATENȚIE derivatele „cu o literă” de ordinul 2:

și notează „monstrul”, „atașând” cu grijă pătratele, produsul și fără a uita să dublezi derivatul mixt:

Este în regulă dacă ceva pare dificil, poți oricând să revii la derivate mai târziu, după ce ai stăpânit tehnica de diferențiere:

Exemplul 4

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții . Verifica asta. Notați diferența totală de ordinul întâi.

Să ne uităm la o serie de exemple cu funcții complexe:

Exemplul 5

Găsiți derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției.

Soluţie:

Exemplul 6

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .
Notați diferența totală.

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției). Nu vă voi da o soluție completă pentru că este destul de simplă.

Destul de des, toate regulile de mai sus sunt aplicate în combinație.

Exemplul 7

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

(1) Folosim regula de diferențiere a sumei

(2) Primul termen în acest caz este considerat o constantă, deoarece nu există nimic în expresie care să depindă de „x” - doar „y”. Știi, este întotdeauna frumos când o fracție poate fi transformată în zero). Pentru al doilea termen aplicăm regula de diferențiere a produsului. Apropo, în acest sens, nimic nu s-ar fi schimbat dacă s-ar fi dat în schimb o funcție - important este că aici produs a doua functii, Fiecare dintre ele depinde de "X", și, prin urmare, trebuie să utilizați regula de diferențiere a produsului. Pentru al treilea termen, aplicăm regula de diferențiere a unei funcții complexe.

(1) Primul termen atât la numărător, cât și la numitor conține un „Y”, prin urmare, trebuie să utilizați regula pentru diferențierea coeficientilor: . Al doilea termen depinde NUMAI de „x”, ceea ce înseamnă că este considerat o constantă și se transformă în zero. Pentru al treilea termen folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe.

Pentru acei cititori care au ajuns cu curaj aproape de sfârșitul lecției, vă voi spune o veche anecdotă Mehmatov pentru relaxare:

Într-o zi, un derivat malefic a apărut în spațiul funcțiilor și a început să diferențieze pe toți. Toate funcțiile sunt împrăștiate în toate direcțiile, nimeni nu vrea să se transforme! Și o singură funcție nu fuge. Derivatul se apropie de ea și o întreabă:

- De ce nu fugi de mine?

- Ha. Dar nu-mi pasă, pentru că sunt „e la puterea lui X”, iar tu nu-mi vei face nimic!

La care derivatul malefic cu un zâmbet insidios îi răspunde:

- Aici te înșeli, te voi diferenția prin „Y”, așa că ar trebui să fii zero.

Cine a înțeles gluma a stăpânit derivatele, cel puțin la nivelul „C”).

Exemplul 8

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluția completă și exemplul problemei sunt la sfârșitul lecției.

Ei bine, asta e aproape tot. În cele din urmă, nu pot să nu le rog iubitorilor de matematică încă un exemplu. Nici măcar nu este vorba de amatori, este de toată lumea diferite niveluri pregătire matematică - există oameni (și nu atât de rari) cărora le place să concureze cu sarcini mai dificile. Deși, ultimul exemplu din această lecție nu este atât de complex, cât este greoi din punct de vedere computațional.

Fiecare derivată parțială (prin x iar prin y) a unei funcții a două variabile este derivata obișnuită a unei funcții a unei variabile pentru o valoare fixă ​​a celeilalte variabile:

(Unde y= const),

(Unde x= const).

Prin urmare, derivatele parțiale sunt calculate folosind formule și reguli pentru calcularea derivatelor funcțiilor unei variabile, luând în considerare cealaltă constantă variabilă.

Dacă nu aveți nevoie de o analiză a exemplelor și de teoria minimă necesară pentru aceasta, ci aveți nevoie doar de o soluție la problema dvs., atunci accesați calculator de derivate parțiale online.

Dacă este greu să vă concentrați pentru a urmări unde se află constanta în funcție, atunci în schița de soluție a exemplului, în loc de o variabilă cu o valoare fixă, puteți înlocui orice număr - atunci puteți calcula rapid derivata parțială ca derivata obisnuita a unei functii a unei variabile. Trebuie doar să vă amintiți să returnați constanta (o variabilă cu o valoare fixă) la locul ei când terminați proiectul final.

Proprietatea derivatelor parțiale descrisă mai sus rezultă din definiția derivatelor parțiale, care poate apărea în întrebările de examen. Prin urmare, pentru a vă familiariza cu definiția de mai jos, puteți deschide referința teoretică.

Conceptul de continuitate a funcției z= f(x, y) într-un punct este definit în mod similar cu acest concept pentru o funcție a unei variabile.

Funcţie z = f(x, y) se numeste continuu intr-un punct daca

Diferența (2) se numește increment total al funcției z(se obține ca urmare a creșterii ambelor argumente).

Să fie dată funcția z= f(x, y) și punct

Dacă funcția se schimbă z apare atunci când doar unul dintre argumente se schimbă, de exemplu, x, cu o valoare fixă ​​a altui argument y, atunci funcția va primi un increment

numită creștere parțială a funcției f(x, y) De către x.

Luând în considerare o schimbare a funcției zîn funcție de schimbarea doar a unuia dintre argumente, trecem efectiv la o funcție a unei variabile.

Dacă există o limită finită

atunci se numește derivată parțială a funcției f(x, y) prin argumentare xși este indicată de unul dintre simboluri

(4)

Creșterea parțială este determinată în mod similar z De y:

și derivată parțială f(x, y) De către y:

(6)

Exemplul 1.

Soluţie. Aflați derivata parțială față de variabila „x”:

(y fix);

Găsim derivata parțială față de variabila „y”:

(x fix).

După cum puteți vedea, nu contează în ce măsură variabila este fixă: în acest caz este pur și simplu un anumit număr care este un factor (ca și în cazul derivatei obișnuite) al variabilei cu care găsim derivata parțială. . Dacă variabila fixă ​​nu este înmulțită cu variabila cu care găsim derivata parțială, atunci această constantă singuratică, indiferent în ce măsură, ca în cazul derivatei obișnuite, dispare.

Exemplul 2. Dată o funcție

Găsiți derivate parțiale

(prin X) și (prin Y) și calculați valorile lor la punctul O (1; 2).

Soluţie. La fix y derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției putere ( tabelul funcțiilor derivate ale unei variabile):

.

La fix x derivata primului termen se găsește ca derivată functie exponentiala, iar al doilea – ca derivată a unei constante:

Acum să calculăm valorile acestor derivate parțiale la punctul respectiv O (1; 2):

Puteți verifica soluția problemelor derivate parțiale la calculator de derivate parțiale online.

Exemplul 3. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții

Soluţie. Într-un singur pas găsim

(y x, de parcă argumentul sinelui ar fi 5 x: la fel, 5 apare înaintea semnului funcției);

(x este fix și este în acest caz un multiplicator la y).

Puteți verifica soluția problemelor derivate parțiale la calculator de derivate parțiale online.

Derivatele parțiale ale unei funcții de trei sau mai multe variabile sunt definite în mod similar.

Dacă fiecare set de valori ( x; y; ...; t) variabile independente din mulţime D corespunde unei anumite valori u din multi E, Asta u numită funcţie de variabile x, y, ..., t si denota u= f(x, y, ..., t).

Pentru funcțiile a trei sau mai multe variabile, nu există o interpretare geometrică.

Derivatele parțiale ale unei funcții a mai multor variabile sunt, de asemenea, determinate și calculate sub ipoteza că doar una dintre variabilele independente se modifică, în timp ce celelalte sunt fixe.

Exemplul 4. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții

.

Soluţie. yŞi z fix:

xŞi z fix:

xŞi y fix:

Găsiți singur derivate parțiale și apoi uitați-vă la soluții

Exemplul 5.

Exemplul 6. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții.

Derivata parțială a unei funcții a mai multor variabile are același lucru sensul mecanic este același cu derivata unei funcții a unei variabile, este rata de modificare a funcției în raport cu o modificare a unuia dintre argumente.

Exemplul 8. Valoarea cantitativă a debitului P pasagerii căi ferate poate fi exprimat printr-o funcție

Unde P– numărul de pasageri, N– numărul de rezidenți ai punctelor corespondente, R– distanța dintre puncte.

Derivată parțială a unei funcții P De R, egal

arată că scăderea fluxului de pasageri este invers proporțională cu pătratul distanței dintre punctele corespunzătoare cu același număr de rezidenți în puncte.

Derivată parțială P De N, egal

arată că creșterea fluxului de pasageri este proporțională cu dublul numărului de locuitori ai localităților aflate la aceeași distanță între puncte.

Puteți verifica soluția problemelor derivate parțiale la calculator de derivate parțiale online.

Diferenţial complet

Produsul unei derivate parțiale și incrementul variabilei independente corespunzătoare se numește diferență parțială. Diferențele parțiale se notează după cum urmează:

Suma diferenţialelor parţiale pentru toate variabilele independente dă diferenţialul total. Pentru o funcție a două variabile independente, diferența totală este exprimată prin egalitate

(7)

Exemplul 9. Găsiți diferența completă a unei funcții

Soluţie. Rezultatul utilizării formulei (7):

Se spune că o funcție care are o diferență totală în fiecare punct al unui anumit domeniu este diferențiabilă în acel domeniu.

Găsiți singur diferența totală și apoi uitați-vă la soluție

La fel ca și în cazul unei funcții a unei variabile, diferențiabilitatea unei funcții într-un anumit domeniu implică continuitatea acesteia în acest domeniu, dar nu invers.

Să formulăm fără dovezi o condiție suficientă pentru derivabilitatea unei funcții.

Teorema. Dacă funcţia z= f(x, y) are derivate parțiale continue

într-o regiune dată, atunci este diferențiabilă în această regiune și diferența sa este exprimată prin formula (7).

Se poate arăta că, asemănător cu ca și în cazul unei funcții a unei variabile, diferența funcției este partea liniară principală a incrementului funcției, iar în cazul unei funcții de mai multe variabile, diferența totală este principala, liniară față de incrementele variabilelor independente, parte a incrementului total al funcției.

Pentru o funcție de două variabile, incrementul total al funcției are forma

(8)

unde α și β sunt infinitezimale la și .

Derivate parțiale de ordin superior

Derivate parțiale și funcții f(x, y) în sine sunt unele funcții ale acelorași variabile și, la rândul lor, pot avea derivate față de diferite variabile, care sunt numite derivate parțiale de ordin superior.