Momentul de inerție centrifugal în jurul a două axe de coordonate se numește suma produselor masei fiecărui punct al corpului de coordonatele de-a lungul axelor corespunzătoare.
Dacă corpul are o axă de simetrie, atunci momentul de inerție centrifugal al corpului este zero și axele y, x sunt principalele.
17. Teorema Huygens-Steiner privind calculul momentelor pe axe paralele.
Momentul de inerție al unui corp rigid în jurul unei axe care nu trece prin centrul de masă este egal cu suma momentelor de inerție în jurul axei centrale care trece prin centrul de masă și paralel cu cel dat și produsul lui masa corporală prin pătratul distanței dintre axe.
JC este momentul de inerție cunoscut în jurul axei care trece prin centrul de masă al corpului,
J este momentul de inerție necesar față de o axă paralelă,
m - masa corpului,
d este distanța dintre axele specificate.
18. Calculul momentelor de inerție ale corpurilor omogene: placă subțire, tijă subțire, inel, cilindru, con.
Tijă subțire: 
Cilindru subțire: 
Placă subțire: 
Con: 
Inel subțire: 
Minge: 
Calculul momentelor de inerție față de axe arbitrare.
Vă permite să găsiți momentul de inerție despre orice axă care trece prin axele de coordonate și componentele cărbunelui
Cu aceste axe, prin valorile momentelor de inerție axiale și centrifuge ale acestor axe.
Elipsoid de inerție. Axele centrale de inerție. Proprietăți extreme ale momentelor de inerție.
Centrul elipsoidului este la origine.
Cele 3 axe de simetrie ale elipsoidului se numesc axe principale de inerție, momentele de inerție în jurul axelor principale se numesc momente de inerție principale.
Dacă luăm ca axe de coordonate axele principale de inerție, atunci momentele de inerție centrifuge în jurul acestor axe vor fi egale cu zero.
ELIPSOIDUL DE INERȚIE este o suprafață care caracterizează distribuția momentelor de inerție ale unui corp în raport cu fasciculul axelor care trec printr-un punct fix O. ca un geom. locul capetelor segmentelor OK = 1 /, așezate de-a lungul Ol din punctul O, unde Ol este orice axă care trece prin punctul O; Il este momentul de inerție al corpului în jurul acestei axe (Fig.). Centrul E. şi. coincide cu punctul O, iar ecuația sa în axele de coordonate desenate arbitrar Oxyz are forma
unde Ix, Iy, Iz - axial și Ixу, Iyz, Lzx - momentele de inerție centrifuge ale corpului față de axele de coordonate specificate. La rândul său, cunoscând E. și. pentru punctul O, puteți afla momentul de inerție față de orice axă Оl care trece prin acest punct, din egalitatea Il = 1 / R2, prin măsurarea distanței R = OK în unitățile corespunzătoare.
Să presupunem că aveți un sistem de coordonate cu originea în punctul O și axele OX; OY; OZ. În raport cu aceste axe, momentele de inerție centrifuge (produși de inerție) se numesc mărimi care sunt determinate de egalitățile:
unde sunt masele punctelor materiale în care este spart corpul; - coordonatele punctelor materiale corespunzătoare.
Momentul de inerție centrifugal are proprietatea de simetrie, aceasta rezultă din definiția sa:
Momentele centrifuge ale corpului pot fi pozitive și negative; cu o anumită alegere a axelor OXYZ, ele pot dispărea.
Pentru momentele de inerție centrifuge, există un analog al teoremei lui Steinberg. Dacă avem în vedere două sisteme de coordonate: și. Unul dintre aceste sisteme are originea în centrul maselor corporale (punctul C), axele sistemelor de coordonate sunt paralele perechi (). Fie în sistemul de coordonate coordonatele centrului de masă al corpului sunt (), atunci:
unde este greutatea corporală.
Principalele axe de inerție ale corpului
Fie ca un corp omogen să aibă o axă de simetrie. Să construim axele de coordonate astfel încât axa OZ să fie îndreptată de-a lungul axei de simetrie a corpului. Apoi, ca o consecință a simetriei, fiecărui punct al corpului cu masă și coordonate îi corespunde un punct cu un indice diferit, dar aceeași masă și coordonate:. Ca rezultat, obținem că:
întrucât în aceste sume toți termenii au propria lor egală ca mărime, dar opuse ca semn, o pereche. Expresiile (4) sunt echivalente cu scrierea:
Am constatat că simetria axială a distribuției de masă față de axa OZ este caracterizată de egalitatea a două momente de inerție centrifuge (5), care conțin denumirea acestei axe printre indicii lor. În acest caz, axa OZ este numită axa principală de inerție a corpului pentru punctul O.
Axa principală de inerție nu este întotdeauna axa de simetrie a corpului. Dacă corpul are un plan de simetrie, atunci orice axă care este perpendiculară pe acest plan este axa principală de inerție pentru punctul O în care axa intersectează planul în cauză. Egalitățile (5) reflectă condițiile că axa OZ este axa principală de inerție a corpului pentru punctul O (origine). Daca sunt indeplinite conditiile:
atunci axa OY va fi axa principală de inerție pentru punctul O.
În cazul în care egalitățile sunt valabile:
atunci toate cele trei axe de coordonate ale sistemului de coordonate OXYZ sunt principalele axe de inerție ale corpului pentru origine.
Momentele de inerție ale unui corp în raport cu axele principale de inerție sunt numite momente de inerție principale ale corpului. Principalele axe de inerție, care sunt construite pentru centrul de masă al corpului, sunt numite principalele axe centrale de inerție ale corpului.
Dacă corpul are o axă de simetrie, atunci aceasta este una dintre principalele axe centrale de inerție ale corpului, deoarece centrul de masă este situat pe această axă. În cazul în care corpul are un plan de simetrie, atunci axa normală cu acest plan și care trece prin centrul de masă al corpului este una dintre principalele axe centrale de inerție ale corpului.
Conceptul principalelor axe de inerție în dinamica corpului rigid este esențial. Dacă axele de coordonate OXYZ sunt direcționate de-a lungul lor, atunci toate momentele de inerție centrifuge devin egale cu zero, iar formulele care ar trebui utilizate în rezolvarea problemelor de dinamică sunt mult simplificate. Conceptul de axe principale de inerție este asociat cu rezolvarea problemelor despre ecuația dinamică a unui corp în rotație și despre centrul de impact.
Momentul de inerție al unui corp (și centrifugal) în sistemul internațional de unități se măsoară în:
Momentul de inerție centrifugal al secțiunii
Momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni (figura plană) față de două axe reciproc normale (OX și OY) se numește valoare egală cu:
Expresia (8) spune că momentul de inerție centrifugal al secțiunii față de axele reciproc perpendiculare este suma produselor ariilor elementare () cu distanța de la acestea la axele luate în considerare, pe întreaga suprafață S.
Unitatea de măsură a momentelor de inerție a unei secțiuni în SI este:
Momentul de inerție centrifugal sectiune complexaîn raport cu oricare două axe reciproc normale este egală cu suma momentelor de inerție centrifuge ale părților sale constitutive în raport cu aceste axe.
Exemple de rezolvare a problemelor
EXEMPLUL 1
| Exercițiu | Obțineți o expresie pentru momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni dreptunghiulare în jurul axelor (X, Y). |
| Soluţie | Să facem un desen. Pentru a determina momentul de inerție centrifugal, selectăm din dreptunghiul existent un element din aria sa (Fig. 1), a cărui zonă este egală cu: În prima etapă de rezolvare a problemei, găsim momentul de inerție centrifugal () al unei benzi verticale cu înălțime și lățime, care se află la o distanță de axa Y (vom ține cont de faptul că la integrarea pentru toate site-urile). în banda verticală selectată, valoarea este constantă): |
Dacă m = 1, n = 1, atunci obținem caracteristica
Care e numit moment de inerție centrifugal.
Momentul de inerție centrifugal relativ la axele de coordonate - suma produselor ariilor elementare dA la distanţa lor faţă de aceste axe, luate pe întreaga suprafaţă a secţiunii transversale A.
Dacă cel puţin una dintre axe y sau z este axa de simetrie a secțiunii, momentul de inerție centrifugal al unei astfel de secțiuni față de aceste axe este zero (deoarece în acest caz fiecare mărime pozitivă z y dA putem pune în corespondență exact la fel, dar negativ, de cealaltă parte a axei de simetrie a secțiunii, vezi figura).
Luați în considerare caracteristicile geometrice suplimentare care pot fi obținute din cele principale enumerate și care sunt, de asemenea, adesea folosite în calculele de rezistență și rigiditate.
Momentul polar de inerție
Momentul polar de inerție J p numiți caracteristica
Pe de alta parte,
Momentul polar de inerție(față de un punct dat) - suma produselor suprafețelor elementare dA după pătratele distanțelor lor 
până în acest punct, preluată pe întreaga suprafață a secțiunii transversale A.
Dimensiunea momentelor de inerție este m 4 în SI.
Moment de rezistență
Moment de rezistență relativ la o anumită axă - o valoare egală cu momentul de inerție în jurul aceleiași axe raportată la distanță ( y max sau z max) până la punctul cel mai îndepărtat de această axă
Dimensiunea momentelor de rezistenţă este m 3 în SI.
Rază de girație
Rază de girație secțiunea relativă la o axă se numește valoarea determinată din raportul:
Razele de rotație sunt exprimate în unități SI.
Cometariu: secțiuni de elemente ale structurilor moderne reprezintă adesea o anumită compoziție de materiale cu rezistență diferită la deformații elastice, caracterizate, după cum se știe din cursul de fizică, prin modulul lui Young. E... În cazul cel mai general al unei secțiuni neomogene, modulul lui Young este o funcție continuă a coordonatele punctelor secțiunii, i.e. E = E (z, y)... Prin urmare, rigiditatea unei secțiuni care este neomogenă în proprietăți elastice este caracterizată de caracteristici mai complexe decât caracteristicile geometrice ale unei secțiuni omogene, și anume, elastic-geometrice.
2.2. Calculul caracteristicilor geometrice figuri simple
Secțiune dreptunghiulară
Determinați momentul axial de inerție al dreptunghiului în jurul axei z... Împărțim aria dreptunghiului în zone elementare cu dimensiuni b(lățimea) și dy(înălţime). Apoi aria unui astfel de dreptunghi elementar (umbrit) este egală cu dA = b dy... Înlocuirea valorii dAîn prima formulă, obținem
Prin analogie, notăm momentul axial în jurul axei la:
Momentele axiale de rezistență ale unui dreptunghi:
; 
În mod similar, puteți obține caracteristici geometrice pentru alte forme simple.
Secțiune rotundă
Este convenabil de găsit la început momentul polar de inerție J p.
Apoi, având în vedere că pentru un cerc J z = J y, A J p = J z + J y, găsi J z =J y = J p / 2.
Împărțim cercul în inele infinitezimale cu o grosime dρ si raza ρ ; zona unui astfel de inel dA = 2 ∙ π ∙ ρ ∙ dρ... Înlocuind expresia pentru dAîn expresie pentru J pși integrând, obținem
2.3. Calculul momentelor de inerție față de axe paralele
zși y:
Este necesar să se determine momentele de inerție ale acestei secțiuni în raport cu „noile” axe z 1și y 1 paralele cu cele centrale și distanțate de acestea la distanță Ași b respectiv:
Coordonatele oricărui punct din „noul” sistem de coordonate z 1 0 1 y 1 poate fi exprimat în termeni de coordonate în „vechile” axe zși y Asa de:
Din moment ce axele zși y- moment central, apoi static S z = 0.
În cele din urmă, putem scrie formulele pentru „tranziție” cu o deplasare paralelă a axelor:
Rețineți că coordonatele Ași b trebuie înlocuite ținând cont de semnul lor (în sistemul de coordonate z 1 0 1 y 1).
2.4. Calculul momentelor de inerție la rotirea axelor de coordonate
Fie cunoscute momentele de inerție ale unei secțiuni arbitrare în raport cu axele centrale z, y:
; 
;
Să întoarcem topoarele z, y la colț α în sens invers acelor de ceasornic, considerând pozitiv unghiul de rotație al axelor în acest sens.
Este necesar să se determine momentele de inerție în raport cu „noile” axe (rotate). z 1și y 1:
Coordonatele elementare ale site-ului dAîn „noul” sistem de coordonate z 1 0y 1 poate fi exprimat în termeni de coordonate în axele „vechi” după cum urmează:
Inlocuim aceste valori in formulele pentru momentele de inertie in axele „noile” si integram termen cu termen:
După ce am făcut transformări similare cu restul expresiilor, vom scrie în sfârșit formulele de „tranziție” atunci când axele de coordonate sunt rotite:
Rețineți că dacă adunăm primele două ecuații, obținem
adică momentul polar de inerție este mărimea invariant(cu alte cuvinte, neschimbat când axele de coordonate sunt rotite).
2.5. Axele principale și momentele principale de inerție
Până în prezent, au fost luate în considerare caracteristicile geometrice ale secțiunilor dintr-un sistem de coordonate arbitrar, cu toate acestea, sistemul de coordonate în care secțiunea este descrisă de cel mai mic număr de caracteristici geometrice prezintă cel mai mare interes practic. Un astfel de sistem de coordonate „special” este stabilit de poziția axelor principale ale secțiunii. Să introducem conceptele: axele principaleși principalele momente de inerție.
Axele principale- două axe reciproc perpendiculare, față de care momentul de inerție centrifugal este zero, în timp ce momentele de inerție axiale iau valori extreme (maxim și minim).
Se numesc axele principale care trec prin centrul de greutate al secțiunii axele centrale principale.
Se numesc momentele de inerție față de axele principale principalele momente de inerție.
Axele centrale principale sunt de obicei notate cu litere uși v; principalele momente de inerție - J uși J v(a-prior J uv = 0).
Să derivăm expresii care ne permit să aflăm poziția axelor principale și mărimea momentelor principale de inerție. Știind că J uv= 0, folosim ecuația (2.3):
Injecţie α 0 definește poziția axelor principale față de orice axe centrale zși y... Injecţie α 0 depus între axă z si axa uși este considerat pozitiv în sens invers acelor de ceasornic.
Rețineți că, dacă secțiunea are o axă de simetrie, atunci, în conformitate cu proprietatea momentului de inerție centrifugal (a se vedea secțiunea 2.1, punctul 4), o astfel de axă va fi întotdeauna axa principală a secțiunii.
Excluzând colțul α în expresiile (2.1) și (2.2) folosind (2.4), obținem formule pentru determinarea momentelor axiale principale de inerție:
Să scriem regula: axa maxima face intotdeauna un unghi mai mic cu cel al axelor (z sau y) fata de care momentul de inertie are o valoare mai mare.
2.6. Forme raționale în secțiune transversală
Tensiunile normale într-un punct arbitrar al secțiunii transversale a grinzii în timpul îndoirii directe sunt determinate de formula:
, (2.5)
Unde M- momentul încovoietor în secțiunea transversală considerată; la- distanta de la punctul luat in considerare pana la axa centrala principala perpendiculara pe planul de actiune al momentului incovoietor; J x- momentul central principal de inerție al secțiunii.
Cel mai mare tracțiune și compresiune tensiuni normaleîntr-o secțiune transversală dată apar în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră. Ele sunt determinate de formulele:
; 
,
Unde la 1și la 2- distante fata de axa centrala principala NS până la cele mai îndepărtate fibre întinse și comprimate.
Pentru grinzile din materiale plastice, când [σ p] = [σ c] ([σ p], [σ c] sunt tensiunile admisibile pentru materialul grinzii în tensiune și respectiv compresiune), utilizați secțiuni care sunt simetrice despre axa centrală. În acest caz, starea de rezistență este următoarea:
≤
[σ], (2,6)
Unde W x = J x / y max- momentul de rezistență al secțiunii transversale a fasciculului față de axa centrală principală; y max = h/2(h- înălțimea secțiunii); M max- cel mai mare moment încovoietor în valoare absolută; [σ] este efortul de încovoiere admisibil al materialului.
Pe lângă condiția de rezistență, grinda trebuie să satisfacă și condiția economică. Cele mai economice sunt acele forme de secțiune transversală pentru care cea mai mare valoare a momentului de rezistență se obține cu cel mai mic consum de material (sau cu cea mai mică suprafață a secțiunii transversale). Pentru ca forma secțiunii să fie rațională, este necesar, dacă este posibil, să se distribuie secțiunea mai departe de axa centrală principală.
De exemplu, o grindă în I standard este de aproximativ șapte ori mai puternică și de treizeci de ori mai rigidă decât o grindă pătrată de aceeași zonă și făcută din același material.
Trebuie avut în vedere că atunci când poziția secțiunii se modifică în raport cu sarcina care acționează, rezistența grinzii se modifică semnificativ, deși aria secțiunii rămâne neschimbată. În consecință, secțiunea trebuie poziționată astfel încât linia de forță să coincidă cu cea a axelor principale, față de care momentul de inerție este minim. Ar trebui să se străduiască ca îndoirea barei să treacă în planul cu cea mai mare rigiditate.
Auzim adesea expresii: „este inert”, „a se mișca prin inerție”, „moment de inerție”. În sens figurat, cuvântul „inerție” poate fi interpretat ca o lipsă de inițiativă și acțiune. Ne interesează sensul direct.
Ce este inerția
Conform definiţiei inerţieîn fizică, este capacitatea corpurilor de a menține o stare de repaus sau de mișcare în absența forțelor externe.
Dacă prin însuși conceptul de inerție totul este clar la nivel intuitiv, atunci moment de inerție- o întrebare separată. De acord, este greu să-ți imaginezi în mintea ta ce este. În acest articol, vei învăța cum să rezolvi sarcini de bază pe subiect "Moment de inerție".
Determinarea momentului de inerție
Din cursul şcolar se ştie că masa - o măsură a inerției corpului... Dacă împingem două căruțe de mase diferite, atunci cel mai greu va fi mai greu de oprit. Adică, cu cât masa este mai mare, cu atât este necesară o influență externă mai mare pentru a schimba mișcarea corpului. Considerat se referă la mișcarea de translație, atunci când căruciorul din exemplu se mișcă în linie dreaptă.
Prin analogie cu masa și mișcarea de translație, momentul de inerție este o măsură a inerției unui corp în timpul mișcării de rotație în jurul unei axe.
Moment de inerție Este o mărime fizică scalară, o măsură a inerției unui corp atunci când se rotește în jurul unei axe. Notat printr-o scrisoare J și în sistem SI măsurată în kilograme înmulțite cu un metru pătrat.
Cum se calculează momentul de inerție? Există o formulă generală prin care se calculează momentul de inerție al oricărui corp în fizică. Dacă corpul este rupt în bucăți infinit de mici cu o masă dm , atunci momentul de inerție va fi egal cu suma produselor acestor mase elementare cu pătratul distanței până la axa de rotație.
Aceasta este o formulă generală pentru momentul de inerție în fizică. Pentru punct material mase m rotindu-se în jurul unei axe la distanță r din ea, această formulă ia forma:
teorema lui Steiner
De ce depinde momentul de inerție? Din masă, poziția axei de rotație, forma și dimensiunea corpului.
Teorema Huygens-Steiner este o teoremă foarte importantă care este adesea folosită la rezolvarea problemelor.
Apropo! Pentru cititorii noștri, acum există o reducere de 10% la orice fel de muncă
Teorema Huygens-Steiner spune:
Momentul de inerție al unui corp în jurul unei axe arbitrare este egal cu suma momentului de inerție al unui corp în jurul unei axe care trece prin centrul de masă paralel cu o axă arbitrară și produsul masei corpului cu pătratul distanta dintre axe.
Pentru cei care nu doresc să se integreze constant atunci când rezolvă probleme de găsire a momentului de inerție, dăm o figură care arată momentele de inerție ale unor corpuri omogene care se găsesc adesea în probleme:
Un exemplu de rezolvare a problemei găsirii momentului de inerție
Să ne uităm la două exemple. Prima sarcină este să găsești momentul de inerție. A doua sarcină este de a folosi teorema Huygens-Steiner.
Problema 1. Aflați momentul de inerție al unui disc omogen de masă m și rază R. Axa de rotație trece prin centrul discului.
Soluţie:
Împărțim discul în inele infinit de subțiri, a căror rază variază de la 0 inainte de Rși luați în considerare un astfel de inel. Fie raza lui r, iar masa este dm... Apoi momentul de inerție al inelului:
Masa inelului poate fi reprezentată astfel:
Aici dz- inaltimea inelului. Înlocuiți masa din formula pentru momentul de inerție și integrați:
Rezultatul este o formulă pentru momentul de inerție al unui disc sau cilindru subțire absolut.
Problema 2. Fie din nou un disc cu masa m și raza R. Acum trebuie să găsim momentul de inerție al discului în raport cu axa care trece prin mijlocul uneia dintre razele sale.
Soluţie:
Momentul de inerție al discului în jurul axei care trece prin centrul de masă este cunoscut din problema anterioară. Aplicam teorema lui Steiner si gasim:
Apropo, pe blogul nostru puteți găsi și alte materiale utile despre fizică și rezolvarea problemelor.
Sperăm că veți găsi ceva util în acest articol. Dacă apar dificultăți în procesul de calcul al tensorului de inerție, nu uitați de serviciul pentru studenți. Experții noștri vă vor sfătui în orice problemă și vă vor ajuta să rezolvați problema în câteva minute.
