Determinarea deplasării unghiulare prin metoda Vereshchagin. Rezumat: Determinarea deplasării prin metoda lui Mohr

05.07.2020

EE "BSUIR"

Departamentul de Inginerie Grafică

„DETERMINAREA DEPLĂCĂRILOR PRIN METODĂ MOR. REGULA LUI VERESHHAGIN”

MINSK, 2008

Să luăm în considerare acum metoda generala determinarea deplasării, potrivită pentru orice sistem deformabil liniar sub orice sarcină. Această metodă a fost propusă de remarcabilul om de știință german O. Mohr.

De exemplu, doriți să determinați deplasarea verticală a punctului A al fasciculului prezentat în Fig. 7.13, a. Notăm starea dată (încărcare) cu litera k Să alegem o stare auxiliară a aceluiași fascicul cu unitate

forță care acționează în punctul A și în direcția deplasării dorite. Notăm starea auxiliară prin litera i (Fig. 7.13,6).

Să calculăm munca externă și forțe interne stare auxiliară asupra mișcărilor cauzate de acțiunea forțelor stării de sarcină.

Post forțe externe va fi egal cu produsul dintre forța unitară și deplasarea dorită ya

şi munca forţelor interne asupra valoare absolută egală cu integrala

(1)

Formula (7.33) este formula lui Mohr (integrala lui Mohr), care face posibilă determinarea deplasării în orice punct al unui sistem deformabil liniar.

În această formulă, integrandul lui MiMk este pozitiv dacă ambele momente încovoietoare au același semn și negativ dacă Mi și Mk au semne diferite.

Dacă ar fi să determinăm deplasarea unghiulară în punctul A, atunci în starea i ar trebui să aplicăm un moment egal cu unu (fără dimensiune) în punctul A.

Notând cu litera Δ orice mișcare (liniară sau unghiulară), scriem formula lui Mohr (integrală) sub forma

(2)

În cazul general, expresia analitică Mi și Mk poate fi diferită în diferite secțiuni ale unei grinzi sau a unui sistem elastic în general. Prin urmare, în loc de formula (2), ar trebui să folosiți formula mai generală

(3)

Dacă tijele sistemului nu funcționează în îndoire, ci în tensiune (compresie), ca, de exemplu, în ferme, atunci formula lui Mohr are forma

(4)

În această formulă, produsul NiNK este pozitiv dacă ambele forțe sunt de tracțiune sau ambele sunt compresive. Dacă tijele funcționează simultan în încovoiere și tensiune (compresie), atunci în cazuri obișnuite, așa cum arată calculele comparative, deplasările pot fi determinate luând în considerare numai momentele de încovoiere, deoarece influența forțelor longitudinale este foarte mică.

Din aceleași motive, așa cum am menționat mai devreme, în cazuri obișnuite influența forțelor tăietoare poate fi ignorată.

În loc să calculați direct integrala Mohr, puteți utiliza tehnica grafo-analitică „metoda de înmulțire a diagramelor” sau regula lui Vereshchagin.

Să luăm în considerare două diagrame de momente încovoietoare, dintre care una Mk are un contur arbitrar, iar cealaltă Mi este rectilinie (Fig. 7.14, a și b).

(5)

Valoarea MKdz reprezintă aria elementară dωk a diagramei Mk (umbrită în figură). Astfel,

(6)

prin urmare,

(8)

Dar reprezintă momentul static al ariei diagramei Mk relativ la o axă y care trece prin punctul O, egal cu ωkzc, unde ωk este aria diagramei momentului; zc este distanța de la axa y până la centrul de greutate al diagramei Mk. Din desen reiese clar că

unde Msi este ordonata diagramei Mi, situată sub centrul de greutate al diagramei Mk (sub punctul C). Prin urmare,

(10)

adică, integrala necesară este egală cu produsul ariei diagramei Mk (orice formă) cu ordonata diagramei rectilinie Msi situată sub centrul său de greutate. Valoarea lui ωкМсi este considerată pozitivă dacă ambele diagrame sunt situate pe aceeași parte a tijei și negativă dacă sunt situate pe laturi diferite. Rezultat pozitivînmulțirea diagramelor înseamnă că direcția de mișcare coincide cu direcția unei forțe (sau moment) unitare.

Trebuie reținut că ordonata Msi trebuie luată într-o diagramă în linie dreaptă. În cazul particular în care ambele diagrame sunt rectilinie, puteți înmulți aria oricăreia dintre ele cu ordonata corespunzătoare a celeilalte.

Pentru barele cu secțiune transversală variabilă, regula lui Vereshchagin pentru înmulțirea diagramelor nu este aplicabilă, deoarece în acest caz nu mai este posibilă eliminarea valorii EJ de sub semnul integral. În acest caz, EJ ar trebui să fie exprimat în funcție de abscisa secțiunii și apoi trebuie calculată integrala Mohr (1).

Când se schimbă rigiditatea unei tije în pas, integrarea (sau multiplicarea diagramelor) se realizează pentru fiecare secțiune separat (cu propria sa valoare EJ) și apoi se însumează rezultatele.

În tabel 1 prezintă ariile unor diagrame simple și coordonatele centrului lor de greutate.

Tabelul 1

Tipul diagramei	Zona diagramei	Distanța față de centrul de greutate

Pentru a accelera calculele, puteți utiliza tabele de înmulțire cu diagrame gata făcute (Tabelul 2).

În acest tabel, în celulele de la intersecția diagramelor elementare corespunzătoare, sunt date rezultatele înmulțirii acestor diagrame.

Când descompuneți o diagramă complexă în diagrame elementare, prezentate în tabel. 1 și 7.2, trebuie avut în vedere că diagramele parabolice au fost obținute din acțiunea unei singure sarcini distribuite.

În cazurile în care într-o diagramă complexă, secțiunile curbe sunt obținute din acțiunea simultană a momentelor concentrate, a forțelor și a unei sarcini uniform distribuite, pentru a evita erorile, diagrama complexă trebuie mai întâi „stratificată”, adică împărțită într-un număr de diagrame independente: din acțiunea momentelor concentrate, forțelor și din acțiunea unei sarcini uniform distribuite.

De asemenea, puteți utiliza o altă tehnică care nu necesită stratificarea diagramelor, ci necesită doar selectarea părții curbilinii a diagramei de-a lungul coardei care leagă punctele sale extreme.

Vom arăta ambele metode exemplu concret.

De exemplu, doriți să determinați deplasarea verticală a capătului din stânga al grinzii (Fig. 7.15).

Diagrama totală a sarcinii este prezentată în Fig. 7.15, a.

Tabelul 7.2

Diagrama acțiunii unei forțe unitare în punctul A este prezentată în Fig. 7.15, oraș

Pentru a determina deplasarea verticală în punctul A, este necesar să se înmulțească diagrama de sarcină cu diagrama de forță unitară. Totuși, observăm că în secțiunea BC a diagramei totale, diagrama curbilinie se obține nu numai din acțiunea unei sarcini uniform distribuite, ci și din acțiunea unei forțe concentrate P. Ca urmare, în secțiunea BC există nu va mai fi o diagramă parabolică elementară dată în tabelele 7.1 și 7.2, ci conform în esență o diagramă complexă pentru care datele din aceste tabele sunt invalide.

Prin urmare, este necesară stratificarea diagramei complexe conform Fig. 7.15, iar la diagramele elementare prezentate în Fig. 7.15, b și 7.15, c.

Diagrama conform fig. 7.15, b a fost obținut numai din forța concentrată, diagramă conform Fig. 7.15, c - numai din acțiunea unei sarcini uniform distribuite.

Acum puteți înmulți diagramele folosind tabelul. 1 sau 2.

Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți diagrama triunghiulară conform Fig. 7.15, b la diagrama triunghiulară conform Fig. 7.15, d și adăugați la aceasta rezultatul înmulțirii diagramei parabolice din Fig. 7.15, în diagrama trapezoidală a secțiunii BC conform Fig. 7.15, d, întrucât în secțiunea AB ordonatele diagramei conform fig. 7.15, în sunt egale cu zero.

Să arătăm acum a doua metodă de înmulțire a diagramelor. Să ne uităm din nou la diagrama din fig. 7.15, a. Să luăm originea referinței în secțiunea B. Arătăm că în limitele curbei LMN, momentele încovoietoare pot fi obținute ca sumă algebrică a momentelor încovoietoare corespunzătoare dreptei LN și momentele încovoietoare ale diagramei parabolice. LNML, la fel ca pentru o grindă simplă de lungime a, încărcată cu o sarcină uniform distribuită q:

Cea mai mare ordonată din mijloc va fi egală cu .

Pentru a demonstra acest lucru, să scriem expresia reală pentru momentul încovoietor în secțiune la o distanță z de punctul B

(O)

Să scriem acum expresia momentului încovoietor în aceeași secțiune, obținută ca sumă algebrică a ordonatelor dreptei LN și a parabolei LNML.

Ecuația dreptei LN

unde k este tangenta unghiului de înclinare a acestei drepte

În consecință, ecuația momentelor încovoietoare obținute ca sumă algebrică a ecuației dreptei LN și a parabolei LNMN are forma

care coincide cu expresia (A).

La înmulțirea diagramelor conform regulii lui Vereshchagin, ar trebui să înmulțiți trapezul BLNC cu trapezul din diagrama unitară din secțiunea BC (vezi Fig. 7.15, d) și să scădeți rezultatul înmulțirii diagramei parabolice LNML (aria ) cu același trapez. din diagrama unității. Această metodă de stratificare a diagramelor este deosebit de benefică atunci când secțiunea curbată a diagramei este situată într-una dintre secțiunile din mijloc ale fasciculului.

Exemplul 7.7. Determinați deplasările verticale și unghiulare ale grinzii cantilever în punctul în care se aplică sarcina (Fig. 7.16).

Soluţie. Construim o diagramă a momentelor încovoietoare pentru starea de sarcină (Fig. 7.16, a).

Pentru a determina deplasarea verticală, selectăm starea auxiliară a fasciculului cu o forță unitară în punctul de aplicare a sarcinii.

Construim o diagramă a momentelor încovoietoare din această forță (Fig. 7.16, b). Determinarea deplasării verticale folosind metoda lui Mohr

Valoarea momentului încovoietor datorat sarcinii

Valoarea momentului încovoietor dintr-o unitate de forță

Înlocuim aceste valori ale lui МР și Mi sub semnul integral și integrăm

Același rezultat a fost obținut anterior printr-o metodă diferită.

Valoare pozitivă deformarea arată că punctul de aplicare al sarcinii P se deplasează în jos (în direcția forței unitare). Dacă am direcționa o forță unitară de jos în sus, am avea Mi = 1z și, ca urmare a integrării, am obține o deviere cu semnul minus. Semnul minus ar indica faptul că mișcarea nu este sus, ci în jos, așa cum este în realitate.

Să calculăm acum integrala Mohr înmulțind diagramele conform regulii lui Vereshchagin.

Deoarece ambele diagrame sunt rectilinie, nu contează din ce diagramă să ia aria și din care să ia ordonata.

Aria diagramei de sarcină este egală cu

Centrul de greutate al acestei diagrame este situat la o distanță de 1/3 l de încastre. Determinăm ordonata diagramei momentelor dintr-o forță unitară, situată sub

centrul de greutate al diagramei de sarcină. Este ușor de verificat că este egal cu 1/3l.

Prin urmare.

Același rezultat se obține din tabelul de integrale. Rezultatul înmulțirii diagramelor este pozitiv, deoarece ambele diagrame sunt situate în partea de jos a tijei. În consecință, punctul de aplicare al sarcinii se deplasează în jos, adică de-a lungul direcției acceptate a forței unității.

Pentru a determina deplasarea unghiulară (unghiul de rotație), selectăm o stare auxiliară a fasciculului în care la capătul fasciculului acționează un moment concentrat egal cu unitatea.

Construim o diagramă a momentelor încovoietoare pentru acest caz (Fig. 7.16, c). Determinăm deplasarea unghiulară prin înmulțirea diagramelor. Zona diagramei de încărcare

Ordonatele diagramei dintr-un singur moment sunt egale cu unitatea peste tot. Prin urmare, unghiul de rotație dorit al secțiunii este egal cu

Deoarece ambele diagrame sunt situate mai jos, rezultatul înmulțirii diagramelor este pozitiv. Astfel, secțiunea de capăt a fasciculului se rotește în sensul acelor de ceasornic (în direcția momentului unitar).

Exemplu: Folosind metoda Mohr-Vereshchagin, determinați deformarea în punctul D pentru fasciculul prezentat în Fig. 7.17..

Soluţie. Construim o diagramă stratificată a momentelor de la sarcină, adică construim diagrame separate din acțiunea fiecărei sarcini. În acest caz, pentru comoditatea înmulțirii diagramelor, este recomandabil să construiți diagrame stratificate (elementare) în raport cu secțiunea, a căror deformare este determinată în acest caz în raport cu secțiunea D.

În fig. 7.17, a prezintă o diagramă a momentelor încovoietoare din reacția A (secțiunea AD) și din sarcina P = 4 T (secțiunea DC). Diagramele sunt construite pe fibră comprimată.

În fig. 7.17, b prezintă diagrame ale momentelor din reacția B (secțiunea BD), din stânga sarcină uniform distribuită (secțiunea AD) și dintr-o sarcină uniform distribuită care acționează pe secțiunea BC. Această diagramă este prezentată în Fig. 7.17, b pe secțiunea DC de jos.

În continuare, selectăm starea auxiliară a fasciculului, pentru care aplicăm o forță unitară în punctul D, unde se determină deformarea (Fig. 7.17, c). Diagrama momentelor dintr-o unitate de forță este prezentată în Fig. 7.17, d Acum să înmulțim diagramele 1 la 7 cu diagramele 8 și 9, folosind tabele de înmulțire a diagramei, ținând cont de semne.

În acest caz, diagramele situate pe o parte a fasciculului sunt înmulțite cu un semn plus, iar diagramele situate pe părțile opuse ale fasciculului sunt înmulțite cu un semn minus.

Înmulțind diagrama 1 și diagrama 8 obținem

Înmulțind plotul 5 cu plotul 8, obținem

Înmulțirea parcelelor 2 și 9 dă

Înmulțiți parcelele 4 și 9

Înmulțiți parcelele 6 și 9

Însumând rezultatele înmulțirii diagramelor, obținem

Semnul minus arată că punctul D nu se mișcă în jos, deoarece forța unitară este direcționată, ci în sus.

Același rezultat a fost obținut anterior folosind ecuația universală.

Desigur, în acest exemplu, a fost posibilă stratificarea diagramei numai în secțiunea AD, deoarece în secțiunea DB diagrama totală este rectilinie și nu este nevoie să o stratificați. În secțiunea BC, delaminarea nu este necesară, deoarece dintr-o forță unitară din această secțiune diagrama este egală cu zero. Stratificarea diagramei în secțiunea BC este necesară pentru a determina deformarea în punctul C.

Exemplu. Determinați deplasările verticale, orizontale și unghiulare ale secțiunii A a tijei rupte prezentate în Fig. 7.18, a. Rigiditatea secțiunii transversale a secțiunii verticale a tijei este EJ1, rigiditatea secțiunii orizontale este EJ2.

Soluţie. Construim o diagramă a momentelor încovoietoare datorate sarcinii. Este prezentat în Fig. 7.18, b (vezi exemplul 6.9). Pentru a determina deplasarea verticală a secțiunii A, selectăm starea auxiliară a sistemului prezentat în Fig. 7.18, c. În punctul A, se aplică o forță verticală unitară, îndreptată în jos.

Diagrama momentelor încovoietoare pentru această stare este prezentată în Fig. 7.18, c.

Determinăm deplasarea verticală folosind metoda lui Mohr, folosind metoda înmulțirii diagramelor. Deoarece nu există diagramă M1 pe tija verticală în starea auxiliară, înmulțim doar diagrame legate de tija orizontală. Luăm aria diagramei din starea de încărcare, iar ordonata din starea auxiliară. Deplasarea verticală este

Deoarece ambele diagrame sunt situate mai jos, luăm rezultatul înmulțirii cu semnul plus. În consecință, punctul A se deplasează în jos, adică în direcția forței verticale unității.

Pentru a determina mișcarea orizontală a punctului A, selectăm o stare auxiliară cu o forță unitară orizontală îndreptată spre stânga (Fig. 7.18, d). Diagrama momentului pentru acest caz este prezentată acolo.

Înmulțim diagramele MP și M2 și obținem

Rezultatul înmulțirii diagramelor este pozitiv, deoarece diagramele înmulțite sunt situate pe aceeași parte a tijelor.

Pentru a determina deplasarea unghiulară, selectăm starea auxiliară a sistemului conform Fig. 7.18.5 și construiți o diagramă a momentelor încovoietoare pentru această stare (în aceeași figură). Înmulțim diagramele MP și M3:

Rezultatul înmulțirii este pozitiv, deoarece diagramele înmulțite sunt situate pe o parte.

Prin urmare, secțiunea A se rotește în sensul acelor de ceasornic

Aceleași rezultate ar fi obținute folosind tabele
înmulțirea diagramelor.

Vederea tijei deformate este prezentată în Fig. 7.18, e, în timp ce deplasările sunt mult crescute.

LITERATURĂ

Feodosiev V.I. Rezistența materialelor. 1986

Belyaev N.M. Rezistența materialelor. 1976

Kraskovsky E.Ya., Druzhinin Yu.A., Filatova E.M. Calculul și proiectarea mecanismelor instrumentelor și sistemelor informatice. 1991

Rabotnov Yu.N. Mecanica solidelor deformabile. 1988

Stepin P.A. Rezistența materialelor. 1990

Și însemnările lui de mână au ajuns în mâinile funcționarului Ambasadorului Prikaz, de la care au fost primite. Alte informații biografice sunt extrase doar din textul „Plesului” propriu-zis. De ce și-a numit Afanasy Nikitin lucrarea „Walking through Three Seas”? Autorul însuși ne dă răspunsul la această întrebare: „Iată, am scris păcătosul meu „Umblând peste cele trei mări”, Marea Derbensky (Caspică) 1, Doria...

Remarcă faptul că o condiție indispensabilă pentru implementarea oricărui act comunicativ trebuie să fie „cunoașterea reciprocă a realităților vorbitorului și ascultătorului, care stă la baza comunicării lingvistice”, ele sunt numite „cunoștințe de fundal” în lingvistică. Potrivit remarcii sale corecte, „sensul cuvântului folosit într-o anumită limbă maternă pentru a desemna atât de complet diferit din punctul de vedere al culturii central-europene...

În cazurile în care diagrama Mz 1 (sau Mz) se limitează la linii drepte. În esență, aceasta este o tehnică pentru calculul analitic grafic al unei integrale definite a produsului a două funcții f(x) Şi φ (x), dintre care unul, de exemplu φ (x), liniar, adică are forma

Să considerăm o secțiune a unei grinzi în care diagrama momentelor încovoietoare de la o sarcină unitară este limitată la o linie dreaptă Mz 1 = kx+ b, iar momentul încovoietor de la o sarcină dată se modifică conform unei legi arbitrare Mz. Apoi în această zonă

A doua integrală reprezintă aria ω diagrame Mzîn zona luată în considerare, iar primul este momentul static al acestei zone în raport cu axa yși deci egal cu produsul ariei ω la coordonatele centrului său de greutate xc. Astfel,

Aici kxc+ b- ordonata yc diagrame Mz 1 sub centrul de greutate al zonei ω . Prin urmare,

Lucru ω yc va fi pozitiv când ω Şi yc situate pe o parte a axei diagramei și negative dacă sunt pe părți opuse ale acestei axe.

Deci, conform Metoda lui Vereshchagin operația de integrare este înlocuită cu înmulțirea ariei ω o parcelă pe ordonată yc a doua diagramă (neapărat liniară) luată sub centrul de greutate al zonei ω .

Este important să ne amintim întotdeauna că o astfel de „multiplicare” a diagramelor este posibilă numai în zona limitată de o linie dreaptă a diagramei din care este luată ordonata yc. Prin urmare, atunci când se calculează deplasările secțiunilor grinzii folosind metoda Vereshchagin, integrala Mohr pe întreaga lungime a grinzii trebuie înlocuită cu suma integralelor pe secțiuni în care diagrama momentelor dintr-o sarcină unitară nu are îndoituri. Apoi

Pentru a aplica cu succes metoda lui Vereshchagin, este necesar să existe formule prin care să poată fi calculate suprafețele ω și coordonatele xc centrele lor de greutate. Date în tabel. Datele 8.1 corespund doar celor mai simple cazuri de încărcare a fasciculului. Cu toate acestea, diagramele mai complexe ale momentelor încovoietoare pot fi împărțite în figuri simple, zone ω i, și coordonatele yci care sunt cunoscute și apoi găsiți munca ω yc pentru o diagramă atât de complexă prin însumarea produselor zonelor ω i părțile sale la coordonatele corespunzătoare yci. Acest lucru se explică prin faptul că descompunerea diagramei multiplicabile în părți este echivalentă cu reprezentarea funcției Mz(x) în integrala (8.46) ca sumă de integrale. În unele cazuri, construcția diagramelor stratificate, adică din fiecare dintre forțele și perechile externe separat, simplifică calculele.

Dacă ambele diagrame MzŞi Mz 1 liniar, rezultatul final al înmulțirii lor nu depinde de dacă aria primei diagrame este înmulțită cu ordonata celei de-a doua sau, dimpotrivă, aria celei de-a doua cu ordonata primei.

Pentru a calcula practic deplasările folosind metoda lui Vereshchagin, trebuie să:

1) construiți o diagramă a momentelor încovoietoare de la o sarcină dată (diagrama principală);

3) construiți o diagramă a momentelor încovoietoare dintr-o sarcină unitară (diagrama unitară);

4) împărțiți diagramele sarcinilor date în zone separate ω iși calculați ordonatele yCi o singură diagramă sub centrele de greutate ale acestor zone;

5) compune o lucrare ω iyCi si rezuma-le.

Tabelul 8.1.

Tipul diagramei Mz	Pătrat ω	Coordonata centrului de greutate xc





(*) - Aceste formule nu sunt valabile pentru acest caz de încărcare

Este evident că varietatea sarcinilor aplicate și a modelelor geometrice ale structurilor conduce la diagrame multiplicate diferite, din punct de vedere al geometriei. Pentru a implementa regula lui Vereshchagin, trebuie să cunoașteți zonele figurilor geometrice și coordonatele centrelor lor de greutate.

Figura 29 prezintă câteva dintre opțiunile principale care apar în calculele practice. Pentru a multiplica diagramele formă complexă

ele trebuie defalcate în altele mai simple. De exemplu, pentru a multiplica două diagrame care arată ca un trapez, trebuie să împărțiți una dintre ele într-un triunghi și un dreptunghi, înmulțiți aria fiecăreia dintre ele cu ordonata celei de-a doua diagrame, situată sub centrul corespunzător al gravitația și adăugați rezultatele. Același lucru este valabil și pentru înmulțirea unui trapez curbat cu orice diagramă liniară. Dacă pașii de mai sus sunt executați în

vedere generală

Folosind formula (2.21), puteți, de asemenea, înmulți diagrame care au forma de trapeze „răsucite” (Fig. 30, b), dar în acest caz produsul ordonatelor situate pe laturile opuse ale axelor diagramei este luat în considerare cu o semnul minus.

Dacă una dintre diagramele înmulțite este conturată de-a lungul unei parabole pătrate (care corespunde încărcării cu o sarcină distribuită uniform), atunci pentru înmulțirea cu a doua diagramă (neapărat liniară) este considerată sumă (Fig. 30, c) sau diferența (Fig. 30, d) a diagramelor trapezoidale și parabolice. Rezultatul înmulțirii în ambele cazuri este determinat de formula:

(2.22)

dar valoarea lui f este determinată diferit (Fig. 30, c, d).

Orez. 30

Pot exista cazuri când nici una dintre diagramele multiplicate nu este rectilinie, dar cel puțin una dintre ele este limitată de linii drepte întrerupte.

Pentru a multiplica astfel de diagrame, acestea sunt mai întâi împărțite în secțiuni, în cadrul fiecăreia dintre care cel puțin o diagramă este rectilinie.

Să luăm în considerare utilizarea regulii lui Vereshchagin folosind exemple specifice. Exemplul 15.

Determinați deformarea în mijlocul travei și unghiul de rotație al secțiunii de susținere din stânga a grinzii încărcate cu o sarcină distribuită uniform (Fig. 31, a) folosind metoda Vereshchagin.
Secvența de calcule folosind metoda lui Vereshchagin este aceeași ca și în metoda lui Mohr, așa că vom lua în considerare trei stări ale fasciculului: marfă - sub acțiunea unei sarcini distribuite q; corespunde diagramei M q (Fig. 31, b) și două stări individuale - sub acțiunea forței
aplicat la punctul C (diagrama
, Fig. 31, c) și momentul
, aplicat la punctul B (diagrama

, Fig. 31, d).

Deviația fasciculului în mijlocul travei:
(
Un rezultat similar a fost obținut mai devreme prin metoda lui Mohr (vezi exemplul 13). Trebuie acordată atenție faptului că înmulțirea diagramelor a fost efectuată pentru jumătate din fascicul, iar apoi, din cauza simetriei, rezultatul a fost dublat. Dacă aria întregii diagrame M q este înmulțită cu ordonata diagramei situată sub centrul său de greutate
în Fig. 31, c), atunci valoarea deplasării va fi complet diferită și incorectă de la diagramă

limitat de o linie întreruptă. Inadmisibilitatea unei astfel de abordări a fost deja indicată mai sus.
(
Și atunci când calculați unghiul de rotație al secțiunii în punctul B, puteți înmulți aria diagramei M q cu ordonata diagramei situată sub centrul său de greutate
, Fig. 31, d), deoarece diagrama

limitat de o linie dreaptă:

Acest rezultat coincide și cu rezultatul obținut anterior prin metoda lui Mohr (vezi exemplul 13).

Orez. 31 Exemplul 16.

Ca și în exemplul anterior, pentru a rezolva problema este necesar să se ia în considerare trei stări ale cadrului: marfă și două simple.
Diagrama momentelor M F corespunzătoare primei stări este prezentată în Fig. 32, b. Pentru a calcula deplasarea orizontală, aplicăm o forță în punctul A în direcția deplasării dorite (adică pe orizontală)
, și pentru a calcula forța de deplasare verticală
se aplică pe verticală (Fig. 32, c, d).
Diagramele corespunzătoare

Şi

sunt prezentate în Fig. 32, d, f.
Mișcarea orizontală a punctului A:
La calcul

în secțiunea AB, trapezul (diagrama M F) se împarte într-un triunghi și un dreptunghi, după care triunghiul din diagramă
„înmulțit” cu fiecare dintre aceste cifre. În secțiunea BC, trapezul curbiliniu este împărțit într-un triunghi curbiliniu și un dreptunghi, iar formula (2.21) este folosită pentru a multiplica diagramele din secțiunea SD.
Semnul „-” obținut în timpul calculului

, înseamnă că punctul A nu se mișcă orizontal spre stânga (forța este aplicată în această direcție

), și la dreapta.
Aici semnul „-” înseamnă că punctul A se mișcă în jos, nu în sus.
Rețineți că diagramele de moment unice construite din forță

, au dimensiunea lungimii și diagramele unitare ale momentelor construite din moment, sunt adimensionale.

Exemplul 17.

Determinați deplasarea verticală a punctului A al sistemului plan-spațial (Fig. 33, a).

Fig.23
După cum se știe (vezi capitolul 1), în secțiunile transversale ale tijelor unui sistem plan-spațial apar trei factori de forță interni: forța transversală Q y, momentul încovoietor M x și cuplul M cr. Deoarece influența forței transversale asupra mărimii deplasării este nesemnificativă (vezi exemplul 14, Fig. 27), la calcularea deplasării prin metoda Mohr și Vereshchagin, rămân doar doi dintre cei șase termeni.
Pentru a rezolva problema, vom construi diagrame ale momentelor încovoietoare M x, q și momentelor de cuplu M cr, q dintr-o sarcină externă (Fig. 33, b), iar apoi în punctul A vom aplica o forță
în direcția mișcării dorite, adică vertical (Fig. 33, c) și construiți diagrame individuale ale momentelor încovoietoare

și cupluri

(Fig. 33, d).

Determinarea deplasărilor în sisteme formate din elemente rectilinii de rigiditate constantă poate fi simplificată semnificativ prin utilizarea unei tehnici speciale de calcul a unei integrale a formei. Datorită faptului că integrandul include produsul eforturilor care sunt ordonatele diagramelor construite pentru o stare unică și reală, această tehnică se numește metoda înmulțirii diagramelor.

Poate fi folosit în cazul în care una dintre diagramele multiplicate este, de exemplu, rectilinie; în acest caz (Fig. A doua diagramă poate avea orice formă (dreaptă, ruptă sau curbilinie).

Să substituim valoarea în expresie

unde este aria diferențială a diagramei (Fig. 17.11).

Integrala reprezintă momentul static al ariei diagramei în raport cu axa (Fig. 17.11).

Acest moment static poate fi exprimat diferit:

unde este abscisa centrului de greutate al ariei diagramei

Dar din moment ce (vezi Fig. 17.11)

(26.11)

Astfel, rezultatul înmulțirii a două diagrame este egal cu produsul ariei uneia dintre ele cu ordonata celeilalte diagrame (rectilinii), luată sub centrul de greutate al ariei primei diagrame.

O metodă de înmulțire a diagramelor a fost propusă în 1925 de un student la Institutul de Ingineri din Moscova transport feroviar A. N. Vereshchagin și, prin urmare, se numește regula (sau metoda lui Vereshchagin).

Rețineți că partea stângă a expresiei (26.11) diferă de integrala Mohr prin absența rigidității secțiunii în ea. În consecință, rezultatul înmulțirii diagramelor efectuate conform regulii lui Vereshchagin pentru a determina deplasarea dorită trebuie împărțit la valoarea rigidității.

Este foarte important de reținut că ordonata trebuie luată dintr-o diagramă în linie dreaptă. Dacă ambele diagrame sunt drepte, atunci ordonata poate fi luată din orice diagramă. Deci, dacă trebuie să multiplicați diagramele rectilinii și (Fig. 18.11, a), atunci nu contează ce să luați: produsul ariei diagramei cu ordonata de sub centrul său de greutate din diagramă sau produsul Qkyt al ariei Q a diagramei prin ordonata sub (sau deasupra) centrului său de greutate din diagramă

Când două diagrame sub formă de trapez sunt înmulțite, nu este nevoie să găsiți poziția centrului de greutate al zonei uneia dintre ele. Ar trebui să împărțiți una dintre diagrame în două triunghiuri și să înmulțiți aria fiecăruia dintre ele cu ordonata de sub centrul său de greutate din cealaltă diagramă. De exemplu, în cazul prezentat în fig. 11.18.b, obținem

(27.11)

În parantezele acestei formule, produsul ordonatelor din stânga ambelor diagrame și produsul ordonatelor din dreapta se iau cu un coeficient egal cu doi, iar produsele ordonatelor situate cu laturi diferite, - cu un coeficient egal cu unu.

Folosind formula (27.11), puteți înmulți diagrame care arată ca trapeze „răsucite”; în acest caz, produsele ordonatelor care au aceleași semne sunt luate cu semnul plus, iar altele diferite - cu semnul minus. În cazul, de exemplu, prezentat în Fig. 18.11, b, rezultatul înmulțirii diagramelor sub forma unui „răsucit” și a unui trapez obișnuit este egal cu , iar în cazul prezentat în Fig. 18,11, g, egal

Formula (27.11) este de asemenea aplicabilă atunci când una sau ambele diagrame înmulțite au forma unui triunghi. În aceste cazuri, triunghiul este tratat ca un trapez cu o ordonată extremă egală cu zero. Rezultatul, de exemplu, al înmulțirii diagramelor prezentate în Fig. 18.11, d, egal

Înmulțirea unei diagrame sub forma unui trapez „răsucit” cu orice altă diagramă se poate face prin împărțirea „trapezului răsucit în două triunghiuri, așa cum se arată în Fig. 18.11, e.

Când una dintre diagrame (Fig. 19.11) este conturată de-a lungul unei parabole pătrate (de la o sarcină uniform distribuită q), atunci pentru înmulțirea cu o altă diagramă este considerată o sumă (în cazul prezentat în Fig. 19.11, a) sau o diferență (în cazul prezentat în Fig. 19.11, b) diagrame trapezoidale și parabolice

Rezultatul înmulțirii diagramelor prezentate în Fig. 19.11, a, este egal după înlocuirea în el obținem

Rezultatul înmulțirii diagramelor prezentate în Fig. 19.11, b, este egal după înlocuirea în ea - și obținem

În ambele expresii obținute, sumele din paranteze sunt sumele produselor ordonatelor extreme ale ambelor diagrame cu produsul cvadruplu al ordonatelor mijlocii.

Există cazuri când niciuna dintre diagramele multiplicate nu este dreaptă, dar una dintre ele (sau ambele) este limitată de linii drepte întrerupte. În aceste cazuri, pentru a multiplica diagramele, acestea sunt mai întâi împărțite în secțiuni în cadrul fiecăreia dintre care cel puțin o diagramă este dreaptă. Deci, de exemplu, atunci când înmulțiți diagramele prezentate în Fig. 20.11, a, b, le puteți împărți în două secțiuni și prezentați rezultatul înmulțirii ca o sumă. Puteți, înmulțind aceleași diagrame, să le împărțiți în trei secțiuni, așa cum se arată în Fig. 20,11, c, d; în acest caz, rezultatul înmulțirii diagramelor este egal cu

Când se utilizează regula lui Vereshchagin, este necesar să se calculeze ariile diferitelor figuri geometrice și să se determine pozițiile centrelor lor de greutate. În acest sens, în Tabelul. Figura 1.11 prezintă valorile zonei și coordonatele centrelor de greutate ale celor mai comune figuri geometrice.

Ca exemplu, luați în considerare utilizarea metodei lui Vereshchagin pentru a determina deformarea punctului C (sub forța ) a fasciculului prezentat în Fig. 16,11, a; În același timp, luăm în considerare acțiunea momentelor încovoietoare și a forțelor transversale.

Starea unică a fasciculului, precum și diagramele forțelor interne din acesta cauzate de sarcină și forța unitară sunt prezentate în Fig. 16.11, b, b, d, e, f.

Conform formulei (24.11), folosind metoda lui Vereshchagin la înmulțirea diagramelor, găsim

Acest rezultat coincide cu rezultatul obținut prin integrare.

Să determinăm acum deplasarea orizontală a punctului C a cadrului prezentat în Fig. 21.11, a. Momentele de inerție ale secțiunilor transversale ale stâlpilor și barei transversale sunt prezentate în figură; .

Starea actuală a cadrului este prezentată în Fig. 21.11, a. Diagrama momentelor încovoietoare pentru această condiție (diagrama sarcinii) este prezentată în Fig. 21.11, b.

Într-o singură stare, o forță egală cu unu este aplicată punctului C al cadrului în direcția deplasării dorite (adică, orizontală).

Tabelul 1.11

(vezi scanare)

Diagrama momentelor încovoietoare M pentru această stare (diagrama unitară) este prezentată în Fig. 21.11, la.

Semnele momentelor încovoietoare de pe diagrame pot să nu fie indicate, deoarece se știe că ordonatele diagramelor sunt trasate pe partea fibrelor comprimate ale fiecărui element.

Prin înmulțirea diagramei de sarcină cu diagrama unității conform metodei lui Vereshchagin (Fig. 21.11, b, c) și luând în considerare sensuri diferite momentele de inerție ale secțiunilor transversale ale rafturilor și ale barei transversale ale cadrului, găsim deplasarea necesară a punctului C:

Semnul minus la înmulțirea diagramelor este luat deoarece diagramele și M sunt situate pe laturi diferite ale elementelor cadrului și, prin urmare, momentele încovoietoare și M au semne diferite.

Valoarea negativă a deplasării rezultate a punctului C înseamnă că acest punct nu se deplasează în direcția forței unitare (Fig. 21.11, c), ci în direcția opusă, adică spre dreapta.

Să dăm acum câteva instrucțiuni practice despre aplicarea integralei Mohr în diferite cazuri de calcul al deplasărilor.

Este recomandabil să se determine deplasările în grinzi a căror rigiditate a secțiunii este constantă pe toată lungimea sau în secțiuni individuale, calculând integrala Mohr folosind regula lui Vereshchagin. Același lucru este valabil și pentru cadrele din tije drepte cu rigiditate constantă sau variabilă în trepte.

Când rigiditatea secțiunilor unui element structural se modifică continuu pe lungimea acestuia, deplasările trebuie determinate prin calcul direct (analitic) al integralei Mohr. O astfel de structură poate fi calculată aproximativ prin înlocuirea acesteia cu un sistem cu elemente de rigiditate variabilă în trepte, după care metoda lui Vereshchagin poate fi utilizată pentru a determina deplasările.

Metoda lui Vereshchagin poate fi folosită nu numai în determinarea deplasărilor, ci și în determinarea energiei potențiale.

Determinarea deplasărilor în sisteme formate din elemente rectilinii de rigiditate constantă poate fi simplificată semnificativ prin utilizarea unei tehnici speciale de calcul

integrală a formei

Datorită faptului că integrandul include produsul eforturilor Mm și Mn, care sunt ordonatele diagramelor construite pentru o stare unică și reală, această tehnică se numește metoda înmulțirii diagramelor. Poate fi folosit în cazul în care una dintre diagramele care se înmulțesc, de exemplu Mt, este rectilinie; în acest caz (Fig. 5.17)

Mm = (x + a) tan a.

A doua diagramă M p poate avea orice formă (dreaptă, ruptă

sau curbilinie).

Să substituim valoarea lui M m în expresie

unde M n dx= dΩ n este aria diferențială Ω n a diagramei M n (Fig. 5.17),

Integral reprezintă momentul static al ariei Ω n a diagramei M p relativ la axa 0-0 (Fig. 5.17 Acest moment static poate fi exprimat diferit:).

unde xc este abscisa centrului de greutate al ariei diagramei Mn. Apoi

Dar din moment ce (vezi Fig. 5.17)

(5.26)

Astfel, rezultatul înmulțirii a două diagrame este egal cu produsul ariei uneia dintre ele cu ordonata celeilalte diagrame (linie dreaptă), luată sub centrul de greutate al ariei primei diagrame. .

Metoda de înmulțire a diagramelor a fost propusă în 1925 de A.K Vereshchagin, un student la Institutul de Ingineri Feroviari din Moscova și, prin urmare, este numită regula (sau metoda lui Vereshchagin).

Rețineți că partea stângă a expresiei (5.26) diferă de integrala Mohr prin absența rigidității secțiunii EJ din ea. În consecință, rezultatul înmulțirii diagramelor conform regulii lui Vereshchagin pentru a determina deplasarea dorită trebuie împărțit la rigiditate.

Este foarte important de reținut că ordonata trebuie luată dintr-o diagramă în linie dreaptă. Dacă ambele diagrame sunt drepte, atunci ordonata poate fi luată din orice diagramă. Deci, dacă trebuie să multiplicați diagramele rectilinie Mi și Mk (Fig. 518, a), atunci nu contează ce să luați: produsul yk al ariei diagramei Mi cu ordonata yk sub centrul său de greutate din diagrama Mk sau produsul Ω_k yi al ariei diagramei M k prin ordonata уi sub (sau deasupra) centrului său de greutate din diagrama Mg.

În parantezele acestei formule, produsul ac al ordonatelor din stânga ambelor diagrame și produsul bd al ordonatelor din dreapta se iau cu un coeficient egal cu doi, iar produsele ad și bc ale ordonatelor situate pe laturi diferite - cu un coeficient egal la unul.

Folosind formula (5.27), puteți înmulți diagrame care arată ca trapeze „răsucite”; în acest caz, produsele ordonatelor cu aceleași semne sunt luate cu semnul plus, iar altele diferite - cu semnul minus. În cazul, de exemplu, prezentat în Fig. 5.18,c, rezultatul înmulțirii diagramelor sub formă de trapeze „răsucite” și obișnuite este egal cu (l/6) (2ac-2bd+ad-bc), iar în cazul prezentat în Fig. 5,18, g, este egal cu (l/6) (-2ac-2bd+ad+bc).

Formula (5.27) este de asemenea aplicabilă atunci când una sau ambele diagrame înmulțite sunt sub forma unui triunghi. În aceste cazuri, triunghiul este tratat ca un trapez cu o ordonată extremă egală cu zero. Rezultatul, de exemplu, al înmulțirii diagramelor prezentate în Fig. 5,18, d, egal cu (l/6) (2ac+ad).

Înmulțirea unei diagrame sub forma unui trapez „răsucit” cu orice altă diagramă se poate face prin împărțirea trapezului „răsucit” în două triunghiuri, așa cum se arată în Fig. 5.18, de ex.

Curs nr. 6. Calculul sistemelor de tije plate static nedeterminate: grinzi, cadre, ferme.

Schema cursului:

1. Metoda forțelor.

1.1. Sistemul principal. Necunoscute majore.

1.2. Sistem de ecuații canonice ale metodei forței pentru calcularea acțiunii unei sarcini externe.

1.3. Calculul sistemelor static nedeterminate prin metoda forțelor.

2. Metoda de deplasare.

2.1. Selectarea necunoscutelor și determinarea numărului acestora.

2.2. Determinarea numărului de necunoscute

2.3. Sistemul principal

2.4. Ecuații canonice

3. Fundamentele calculului sistemelor folosind metoda elementelor finite.