În acest articol vom răspunde la întrebarea: „Cum să găsim coordonatele punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan dacă sunt date ecuațiile care definesc dreapta și planul”? Să începem cu conceptul de punct de intersecție a unei drepte și a unui plan. În continuare, vom arăta două moduri de a găsi coordonatele punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan. Pentru a consolida materialul, luați în considerare soluții detaliate la exemple.
Navigare în pagină.
Punctul de intersecție a unei drepte și a unui plan - definiție.
Sunt posibile trei variante poziție relativă linie dreaptă și plan în spațiu:
- o linie dreaptă se află într-un plan;
- o linie dreaptă este paralelă cu un plan;
- o linie dreaptă intersectează un plan.
Ne interesează al treilea caz. Să ne amintim ce înseamnă expresia „o linie dreaptă și un plan se intersectează”. Se spune că o dreaptă și un plan se intersectează dacă au un singur punct comun. Acest punct comun de intersectare a dreptei și a planului se numește punctul de intersecție a unei drepte și a unui plan.
Să dăm o ilustrare grafică.
Aflarea coordonatelor punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan.
Să introducem Oxyz în spațiul tridimensional. Acum, fiecare linie corespunde unei ecuații de linie dreaptă de un anumit tip (articolul le este dedicat; tipuri de ecuații ale unei linii în spațiu), fiecărui plan îi corespunde o ecuație a unui plan (puteți citi articolul: tipuri de ecuații a unui plan), iar fiecărui punct îi corespunde un triplu ordonat de numere - coordonatele punctului. Prezentarea ulterioară implică cunoașterea tuturor tipurilor de ecuații ale unei linii în spațiu și a tuturor tipurilor de ecuații ale unui plan, precum și capacitatea de a trece de la un tip de ecuații la altul. Dar nu vă alarmați, pe tot parcursul textului vom oferi link-uri către teoria necesară.
Să analizăm mai întâi în detaliu problema, a cărei soluție o putem obține pe baza determinării punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan. Această sarcină ne va pregăti pentru a găsi coordonatele punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan.
Exemplu.
Este punctul M 0 cu coordonate punctul de intersecție al dreptei 
si avioane 
.
Soluţie.
Știm că dacă un punct aparține unei anumite drepte, atunci coordonatele punctului satisfac ecuațiile dreptei. În mod similar, dacă un punct se află într-un anumit plan, atunci coordonatele punctului satisfac ecuația acestui plan. Prin definiție, punctul de intersecție al unei drepte și al unui plan este un punct comun al dreptei și al planului, atunci coordonatele punctului de intersecție satisfac atât ecuațiile dreptei, cât și ecuația planului.
Astfel, pentru a rezolva problema, ar trebui să substituim coordonatele punctului M 0 în ecuațiile date ale dreptei și în ecuația planului. Dacă în acest caz toate ecuațiile se transformă în egalități corecte, atunci punctul M 0 este punctul de intersecție al dreptei și planului dat, în caz contrar punctul M 0 nu este punctul de intersecție al dreptei și al planului.
Înlocuiți coordonatele punctului 
:
Toate ecuațiile s-au transformat în egalități adevărate, prin urmare și punctul M 0 aparține dreptei si avioane , adică M 0 este punctul de intersecție al dreptei și planului indicat.
Răspuns:
Da, punct 
este punctul de intersecție al dreptei si avioane .
Deci, coordonatele punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan satisfac atât ecuațiile dreptei, cât și ecuația planului. Vom folosi acest fapt atunci când găsim coordonatele punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan.
Prima metodă este de a găsi coordonatele punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan.
Să fie date o dreaptă a și un plan în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz și se știe că dreapta a și planul se intersectează în punctul M 0 .
Coordonatele necesare ale punctului de intersecție al dreptei a și planului, așa cum am spus deja, satisfac atât ecuațiile dreptei a cât și ecuația planului, prin urmare, ele pot fi găsite ca soluție a sistemului ecuații liniare fel 
. Acest lucru este adevărat, deoarece rezolvarea unui sistem de ecuații liniare transformă fiecare ecuație a sistemului într-o identitate.
Rețineți că, cu această formulare a problemei, găsim de fapt coordonatele punctului de intersecție a trei plane specificate de ecuațiile , și .
Să rezolvăm un exemplu de consolidare a materialului.
Exemplu.
O linie dreaptă dată de ecuațiile a două plane care se intersectează ca 
, intersectează planul 
. Aflați coordonatele punctului de intersecție al dreptei și al planului.
Soluţie.
Obținem coordonatele necesare ale punctului de intersecție a dreptei și a planului prin rezolvarea unui sistem de ecuații de forma 
. În acest caz, ne vom baza pe informațiile din articol.
Mai întâi, să rescriem sistemul de ecuații în forma 
și calculați determinantul matricei principale a sistemului (dacă este necesar, consultați articolul):
Determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, deci sistemul de ecuații are o soluție unică. Pentru a-l găsi, puteți folosi orice metodă. Folosim: 
Așa am obținut coordonatele punctului de intersecție al dreptei și al planului (-2, 1, 1).
Răspuns:
(-2, 1, 1) .
Trebuie remarcat faptul că sistemul de ecuații are o soluție unică dacă linia a definită de ecuații 
, iar planul definit de ecuație se intersectează. Dacă linia dreaptă a se află în plan, atunci sistemul are un număr infinit de soluții. Dacă dreapta a este paralelă cu planul, atunci sistemul de ecuații nu are soluții.
Exemplu.
Aflați punctul de intersecție al dreptei 
si avioane 
, dacă este posibil.
Soluţie.
Clauza „dacă este posibil” înseamnă că linia și planul nu se pot intersecta.
. Dacă acest sistem de ecuații are o soluție unică, atunci ne va oferi coordonatele dorite ale punctului de intersecție al dreptei și al planului. Dacă acest sistem nu are soluții sau are infinit de soluții, atunci găsirea coordonatelor punctului de intersecție este exclusă, deoarece linia dreaptă este fie paralelă cu planul, fie se află în acest plan.
Matricea principală a sistemului are forma 
, iar matricea extinsă este 
. Să definim A și rangul matricei T: 
. Adică, rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse a sistemului și este egal cu doi. În consecință, pe baza teoremei Kronecker-Capelli, se poate susține că sistemul de ecuații are un număr infinit de soluții.
Astfel, drept zace într-un avion , și nu putem vorbi despre găsirea coordonatelor punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan.
Răspuns:
Este imposibil să găsiți coordonatele punctului de intersecție a unei linii și a unui plan.
Exemplu.
Dacă drept 
intersectează planul, apoi găsiți coordonatele punctului de intersecție a acestora.
Soluţie.
Să facem un sistem din ecuații date 
. Pentru a-i găsi soluția folosim . Metoda Gauss ne va permite nu numai să stabilim dacă sistemul scris de ecuații are o singură soluție, un număr infinit de soluții sau nu are soluții, ci și să găsim soluții dacă acestea există. 
Ultima ecuație a sistemului după trecerea directă a metodei Gauss a devenit o egalitate incorectă, prin urmare, sistemul de ecuații nu are soluții. De aici concluzionăm că linia dreaptă și nu au avion puncte comune. Astfel, nu putem vorbi despre găsirea coordonatelor punctului lor de intersecție.
Răspuns:
Linia este paralelă cu planul și nu au punct de intersecție.
Rețineți că dacă linia a corespunde ecuațiilor parametrice ale unei linii în spațiu sau ecuațiilor canonice ale unei linii în spațiu, atunci putem obține ecuațiile a două plane care se intersectează care definesc linia a și apoi găsim coordonatele punctului de intersecție al dreptei. a și avionul într-un mod analizat. Cu toate acestea, este mai ușor să utilizați o altă metodă, pe care o descriem acum.
Se știe că o dreaptă intersectează un plan dacă nu aparține acestui plan și nu este paralelă cu acesta. Urmând algoritmul de mai jos găsim punctul de intersecție al dreptei o cu avionul pozitia generalaα, dat de urmele h 0α , f 0α .
Algoritm
- Prin direct o desenăm un plan auxiliar proiectat frontal γ. Figura arată urmele sale h 0γ, f 0γ.
- Construim proiecții ale dreptei AB de-a lungul căreia planele α și γ se intersectează. În această problemă, punctul B" = h 0α ∩ h 0γ, A"" = f 0α ∩ f 0γ. Punctele A" și B"" se află pe axa x, poziția lor este determinată de liniile de comunicație.
- Direct oși AB se intersectează în punctul dorit K. Proiecția sa orizontală K" = a" ∩ A"B". Proiecția frontală K"" se află pe linia dreaptă a"".
Algoritmul de soluție va rămâne același dacă pl. α va fi dat de linii paralele, încrucișate, o secțiune a unei figuri sau alte mijloace posibile.
Vizibilitatea dreptei a în raport cu planul α. Metoda punctelor concurente
- Să marchem punctele frontal-concurente A și C în desen (fig. de mai jos). Vom presupune că punctul A aparține zonei. α, iar C se află pe dreapta a. Proiecțiile frontale A"" și C"" coincid, dar în același timp punctele A și C sunt îndepărtate din planul proiecțiilor P 2 la distanțe diferite.
- Să găsim proiecțiile orizontale A" și C". După cum se poate observa în figură, punctul C" este îndepărtat din planul P2 la o distanță mai mare decât punctul A", care aparține pătratului. α. În consecință, o secțiune de linie dreaptă a"", situată în stânga punctului K"", va fi vizibilă. Secțiunea a"" din dreapta lui K"" este invizibilă. O marcam cu o linie întreruptă.
- Să marchem orizontal punctele concurente D și E în desen. Vom presupune că punctul D aparține pătratului. α, iar E se află pe dreapta a. Proiecțiile orizontale D" și E" coincid, dar în același timp punctele D și E sunt îndepărtate din planul P 1 la distanțe diferite.
- Să determinăm poziția proiecțiilor frontale D"" și E"". După cum se poate observa în figură, punctul D"", situat în pl. α, este îndepărtat din planul P 1 la o distanţă mai mare decât punctul E "", aparţinând dreptei a. În consecință, secțiunea a" situată în dreapta punctului K" va fi invizibilă. O marcam cu o linie întreruptă. Secțiunea a" din stânga lui K" este vizibilă.
Linia de intersecție a două plane este o dreaptă. Să luăm mai întâi în considerare cazul special (Fig. 3.9), când unul dintre planurile care se intersectează este paralel cu planul de proiecție orizontal (α π 1, f 0 α X). În acest caz, linia de intersecție a, aparținând planului α, va fi și ea paralelă cu planul π 1, (Fig. 3.9. a), adică va coincide cu orizontala planurilor care se intersectează (a ≡ h) .
Dacă unul dintre planuri este paralel cu planul frontal al proiecțiilor (Fig. 3.9. b), atunci linia de intersecție a aparținând acestui plan va fi paralelă cu planul π 2 și va coincide cu frontala planurilor care se intersectează (a ≡ f).
.
.
Orez. 3.9. Un caz special de intersecție a unui plan general cu planurile: a - nivel orizontal; b - nivel frontal
Un exemplu de construcție a punctului de intersecție (K) al dreptei a (AB) cu planul α (DEF) este prezentat în Fig. 3.10. Pentru a face acest lucru, linia dreaptă a este închisă într-un plan arbitrar β și se determină linia de intersecție a planurilor α și β.
În exemplul luat în considerare, dreptele AB și MN aparțin aceluiași plan β și se intersectează în punctul K și, deoarece dreapta MN aparține lui avion datα (DEF), atunci punctul K este și punctul de intersecție al dreptei a (AB) cu planul α. (Fig. 3.11).
.
Orez. 3.10. Construirea punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan
Pentru a rezolva o astfel de problemă într-un desen complex, trebuie să puteți găsi punctul de intersecție al unei drepte în poziție generală cu un plan în poziție generală.
Să luăm în considerare un exemplu de găsire a punctului de intersecție al dreptei AB cu planul triunghiului DEF prezentat în Fig. 3.11.
Pentru a găsi punctul de intersecție prin proiecția frontală a dreptei A 2 B 2 s-a trasat un plan β proiectat frontal care a intersectat triunghiul în punctele M și N. Pe planul frontal al proiecțiilor (π 2), aceste puncte sunt reprezentate prin proiecții M2, N2. Din condiția de apartenență la un plan drept pe planul orizontal al proiecțiilor (π 1) se găsesc proiecții orizontale ale punctelor rezultate M 1 N 1. La intersecția proiecțiilor orizontale ale liniilor A 1 B 1 și M 1 N 1 se formează o proiecție orizontală a punctului lor de intersecție (K 1). În funcție de linia de comunicare și condițiile de apartenență pe planul frontal al proiecțiilor, există o proiecție frontală a punctului de intersecție (K 2).
.
Orez. 3.11. Un exemplu de determinare a punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan
Vizibilitatea segmentului AB în raport cu triunghiul DEF este determinată de metoda punctului concurent.
Pe planul π 2 se consideră două puncte NEF și 1AB. Pe baza proiecțiilor orizontale ale acestor puncte, se poate stabili că punctul N este situat mai aproape de observator (Y N >Y 1) decât punctul 1 (direcția liniei de vedere este paralelă cu S). În consecință, linia dreaptă AB, adică o parte a dreptei AB (K 1) este acoperită de planul DEF pe planul π 2 (proiecția sa K 2 1 2 este indicată de linia întreruptă). Vizibilitatea pe planul π 1 este stabilită în mod similar.
Întrebări pentru autocontrol
1) Care este esența metodei punctelor concurente?
2) Ce proprietăți ale unei linii drepte cunoașteți?
3) Care este algoritmul pentru determinarea punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan?
4) Ce sarcini se numesc poziționale?
5) Formulați condițiile de apartenență la un plan drept.
Vă aducem în atenție reviste apărute la editura „Academia de Științe ale Naturii”
Să luăm în considerare cazurile: 1) când suprafața proeminentă este intersectată de planul proeminent; 2) când suprafața proeminentă intersectează planul general. În ambele cazuri, pentru a construi o secțiune pe diagramă, folosim algoritmul de proiectare a figurii (algoritmul nr. 1). În primul caz, desenul știe deja...(Geometrie descriptivă)
Construirea unei linii de intersecție a două plane în punctele de intersecție a liniilor drepte cu planul
Figura 2.60 prezintă construcția dreptei de intersecție a două triunghiuri ABCŞi DEF indicând secțiunile vizibile și invizibile ale acestor triunghiuri. Figura 2.60 Drept K,K2 construit pe punctele de intersecție a laturilor ACŞi Soare triunghi ABC cu un plan triunghiular DEF....(grafică de inginerie)
Cazuri speciale
La presiuni moderate (Re " 1000 atm.) se poate presupune că faza lichidă (de exemplu, apa) este incompresibilă (Re= const). În acest caz, sistemul de ecuații pentru acest mediu incompresibil poate fi simplificat și redus la următoarea formă: unde și prin forțe hidrostatice (termenul ue7) Pentru...(Elementele de bază ale procesării prin cavitație a mediilor multicomponente)
Cazuri speciale de echilibru în sisteme continue Ecuație barometrică
Ecuația barometrică stabilește dependența presiunii gazului de altitudine. Există numeroase metode de derivare a acestei ecuații, datând din Laplace. În acest caz, vom profita de faptul că un gaz situat într-un câmp gravitațional este un sistem continuu care conține o singură componentă - un gaz cu...(Termodinamica în chimia modernă)
CAZURI SPECIALE DE PARALELE ȘI PERPENDICULARITATE RECIPROCĂ A UNUI DREPT ȘI PLAN. CAZURI SPECIALE DE PERPENDICULARITATE RECIPROCĂ A DOUĂ PLANURI
Dacă planul este proiectat, atunci orice linie de proiectare cu același nume este paralelă cu acest plan, deoarece într-un plan se poate găsi întotdeauna o linie de proiectare cu același nume. Deci, în fig. 67 prezintă avioanele: T 1Sh, FJL Sh, G1 Pz. Aceste planuri vor avea drepte paralele cu ele: O|| T (a 1 Pg);...(Geometrie descriptivă)
CAZURI GENERALE. METODA INTERMEDIARILOR
Pentru a găsi punctele de intersecție ale unei drepte cu suprafața Ф prin metoda intermediarilor, este recomandabil să se încadreze linia dreaptă într-un plan intermediar T care intersectează suprafața dată Ф de-a lungul linie exactă- drept sau cerc. Revizuire și clasificare diverse tipuri astfel de avioane au fost date mai devreme (vezi...(Geometrie descriptivă)
METODA INTERMEDIARILOR
Dacă ambele planuri de poziție generală sunt date în mod arbitrar, atunci problema poate fi rezolvată prin metoda intermediarilor în conformitate cu algoritmul nr. 2. Se aleg ca intermediari două planuri T și T1 - proiectare sau nivel (Fig. 254). În cazul intersecției a două plane scriem algoritmul nr. 2 astfel: 1. Selectați T și T1....(Geometrie descriptivă)
Salutare prieteni! Astăzi ne uităm la un subiect din geometria descriptivă - intersecția unei drepte cu un planŞi determinarea vizibilității liniei.
Preluăm sarcina din colecția lui Bogolyubov, 1989, p. 63, var. 1. Trebuie să construim un desen complex al triunghiului ABC și dreptei MN folosind coordonatele date. Găsiți punctul de întâlnire (intersecție) al liniei cu planul opac ABC. Determinați secțiunile vizibile ale dreptei.
Intersecția unei drepte cu un plan
1. Folosind coordonatele punctelor A, B și C, construim un desen complex al unui triunghi și dreaptă NM. Începem să desenăm cu o proiecție orizontală. Găsim coordonatele punctelor de proiecție folosind linii auxiliare.
2. Obținem un desen atât de complex.
3. A determina coordonatele punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan Să facem următoarele.
a) Prin dreapta NM trasăm un plan auxiliar P, adică. pe proiecția frontală trasăm o urmă a planului Pv, pe planul orizontal coborâm perpendiculara Pn - urma orizontală a planului P.
b) Aflați proiecția frontală a dreptei de intersecție a urmei planului P cu triunghiul ABC. Acesta este segmentul d'e'. Găsim proiecția orizontală de-a lungul liniilor de legătură până când acestea se intersectează cu laturile ab (punctul d) și ac (punctul e) ale triunghiului. Conectați punctele d și e.
c) Odată cu intersecțiile lui de și nm va exista o proiecție orizontală a punctului dorit intersecția unei drepte cu un plan k.
d) Tragem o linie de legătură de la k până la intersecția cu d’e’, obținem o proiecție frontală a punctului k’.
e) folosind liniile de comunicare găsim proiecția de profil a punctului k’’.
Coordonatele punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan K a găsit. Acest punct se mai numește și punctul de întâlnire al liniei și al planului.
Determinarea vizibilității liniei
Pentru determinarea vizibilității liniei hai sa folosim metoda puncte concurente.
În legătură cu desenul nostru, punctele concurente vor fi:
— puncte: d’ aparținând lui a’b’ și e’ aparținând lui n’m’ (concurență frontală),
— puncte: g aparținând lui bc și h aparținând nm (concurență pe orizontală),
— puncte: l’’ aparținând b’’c’’ și p’’ aparținând n’’m’’ (concurență de profil).
Dintre două puncte concurente va fi vizibil cel a cărui înălțime este mai mare. Limita de vizibilitate este limitată de punctul K.
Pentru o pereche de puncte d’ și e’, determinăm vizibilitatea după cum urmează: coborâți perpendiculara pe intersecția cu ab și nm pe proiecția orizontală, găsiți punctele d și f. Vedem că coordonata y pentru punctul f este mai mare decât cea a lui d → punctul f este vizibil → linia dreaptă nm este vizibilă în secțiunea f’k’ și invizibilă în secțiunea k’m’.
Raționăm în mod similar pentru o pereche de puncte g și h: pe proiecția frontală, coordonata z a punctului h' este mai mare decât cea a lui g' → punctul h' este vizibil, g' nu este → linia dreaptă nm este vizibilă pe segment hk, dar invizibil pe segmentul kn.
Și pentru o pereche de puncte l''p'': pe proiecția frontală coordonata x este mai mare în punctul p', ceea ce înseamnă că acoperă punctul l'' pe proiecția profilului → p'' este vizibil, l'' nu este → segmentul de linie dreaptă n' 'k'' este vizibil, k''m'' este invizibil.
