O afirmație logică este orice propoziție narativă în legătură cu care se poate spune fără ambiguitate dacă este adevărată sau falsă.
Fiecare conjunctiv logic este considerat ca o operație pe instrucțiuni logice și are propriul nume și denumire:
NU Operație exprimată printr-un cuvânt "Nu", numit negareși este indicată printr-o linie deasupra enunțului (sau semnului). O afirmație este adevărată când A este falsă și falsă când A este adevărată. Exemplu. " Luna - satelitul Pământului"(A);" Luna nu este un satelit al Pământului" ().
ŞI "Şi", numit conjuncţie(lat. conjunctio - conexiune) sau înmulțire logică și este indicată printr-un punct " . " (poate fi indicat și prin semne sau & ). Declaraţie A. B adevărat dacă și numai dacă ambele afirmații OŞi ÎN sunt adevărate. De exemplu, afirmația „10 este divizibil cu 2 și 5 este mai mare decât 3” adevărat și afirmații „10 nu este divizibil cu 2 și 5 nu este mai mult de 3”, „10 nu este divizibil cu 2 și 5 nu este mai mult de 3”, „10 nu este divizibil cu 2 și 5 nu este mai mult de 3”- sunt false.
SAU Operație exprimată prin copula "sau"(în sensul neexclusiv al cuvântului) se numește disjuncție(lat. disjunctio - împărțire) sau adunare logică și este indicată prin semn v(sau un plus). Declaraţie A v B este falsă dacă și numai dacă ambele afirmații A și B sunt false. De exemplu, afirmația „10 nu este divizibil cu 2 sau 5 nu este mai mare de 3” false și afirmații „10 este divizibil cu 2 sau 5 mai mare decât 3”, „10 este divizibil cu 2 sau 5 nu mai mare de 3”, „10 nu este divizibil cu 2 sau 5 mai mare decât 3”- adevărat.
DACĂ-Atunci Operație exprimată prin conexiuni „dacă... atunci”, „de la... urmează”, „... implică...”, numit implicare(lat. implicit- sunt strâns legate) și sunt indicate prin semn. O afirmație este falsă dacă și numai dacă O adevărat, dar ÎN fals.
ECHILIBIL Operație exprimată prin conexiuni " atunci și numai atunci", "necesar si suficient", "... echivalent...”, a sunat echivalent sau dublă implicație și este indicată prin semnul sau ~. O afirmație este adevărată dacă și numai dacă semnificațiile OŞi ÎN meci. De exemplu, declarații „24 este divizibil cu 6 dacă și numai dacă 24 este divizibil cu 3”, „23 este divizibil cu 6 dacă și numai dacă 23 este divizibil cu 3” sunt adevărate și afirmații „24 este divizibil cu 6 dacă și numai dacă 24 este divizibil cu 5”, „21 este divizibil cu 6 dacă și numai dacă 21 este divizibil cu 3” fals.
Declarații OŞi ÎN, formarea unei declarații compuse poate fi complet fără legătură în conținut, de exemplu: "trei este mai mult decat doi" (O), „Pingguinii trăiesc în Antarctica” (ÎN). Negațiile acestor afirmații sunt enunțurile „trei nu înseamnă mai mult de doi” (), „Pingguinii nu trăiesc în Antarctica”(). Formată din declarații OŞi ÎN enunţuri compuse O Bși adevărat, și afirmații OŞi B- sunt false.
Astfel, operațiile de negație, disjuncție și conjuncție sunt suficiente pentru a descrie și procesa enunțuri logice.
Ordinea operațiilor logice este specificată prin paranteze. Dar pentru a reduce numărul de paranteze, am convenit să presupunem că mai întâi se realizează operația de negație („nu”), apoi conjuncția („și”), după conjuncție disjuncția („sau”) și, în sfârșit, implicația.
Inferența ca formă de gândire.
Inferență- aceasta este o formă de gândire cu ajutorul căreia se poate obține o nouă judecată (concluzie) dintr-una sau mai multe judecăți (premise). Conform regulilor logicii formale, numai judecățile adevărate pot fi premise ale unei inferențe. În caz contrar, poți ajunge concluzie falsă.
Înmulțirea logică (conjuncție) – o combinând două (sau mai multe) enunțuri într-una singură folosind conjuncția „și”. Este adevărat dacă și numai dacă toate afirmațiile simple conținute în ea sunt adevărate.
Adunare (disjuncție) logică - Combinarea enunțurilor folosind conjuncția „sau”. Este adevărat atunci când cel puțin una dintre afirmațiile simple incluse în el este adevărată.
Negație logică (inversie) - adăugarea particulei „nu”. Face o afirmație adevărată falsă și, dimpotrivă, o afirmație falsă adevărată.
IMPLICATIE logica (urmeaza). O afirmație este falsă dacă și numai dacă condiția (prima afirmație) este adevărată și consecința (a doua afirmație) este falsă.
ECHIVALENTA LOGICA(echivalenţă) O afirmație este adevărată dacă și numai dacă ambele afirmații originale sunt simultan adevărate sau simultan false.
Operațiile logice au prioritate: acțiuni între paranteze, inversare, conjuncție, disjuncție, implicare, echivalență.
Afirmațiile false și adevărate sunt adesea folosite în practica lingvistică. Prima evaluare este percepută ca o negare a adevărului (neadevărului). În realitate, se folosesc și alte tipuri de evaluare: incertitudine, nedemonstrabilitatea (demonstrabilitatea), indecizia. Când discutăm pentru ce număr x este adevărată o afirmație, este necesar să luăm în considerare legile logicii.
Apariția „logicii cu valori multiple” a condus la utilizarea unui număr nelimitat de indicatori de adevăr. Situația cu elementele de adevăr este confuză și complicată, așa că este important să o lămurim.
Principiile teoriei
O afirmație adevărată este valoarea unei proprietăți (atribut) și este întotdeauna luată în considerare pentru o anumită acțiune. Ce este adevarul? Schema este următoarea: „O afirmație X are valoarea de adevăr Y dacă afirmația Z este adevărată.”
Să ne uităm la un exemplu. Trebuie să înțelegeți pentru care dintre următoarele afirmații este adevărată: „Obiectul A are atributul B”. Această afirmație este falsă prin faptul că obiectul are atributul B și este falsă în sensul că a nu are atributul b.” Termenul „greșit” în acest caz este folosit ca o negație externă.
Definiţia truth
Cum se determină o afirmație adevărată? Indiferent de structura afirmației X, este permisă doar următoarea definiție: „Afirmația X este adevărată atunci când există X, doar X”.
Această definiție face posibilă introducerea termenului „adevărat” în limbaj. Ea definește actul de a fi de acord sau de a vorbi cu ceea ce se spune în ea.
Spune simple
Ele conțin o afirmație adevărată fără definiție. Când spuneți „Nu-X”, vă puteți limita la o definiție generală dacă această afirmație nu este adevărată. Conjuncția „X și Y” este adevărată dacă X și Y sunt adevărate.
Exemplu de declarație
Cum să înțelegeți pentru ce x este adevărată o afirmație? Pentru a răspunde la această întrebare, folosim expresia: „Particula a se află într-o regiune a spațiului b”. Luați în considerare următoarele cazuri pentru această afirmație:
- este imposibil de observat particula;
- particula poate fi observată.
A doua opțiune oferă anumite posibilități:
- particula este de fapt situată într-o anumită regiune a spațiului;
- nu se află în presupusa parte a spațiului;
- particula se mișcă în așa fel încât este dificil să se determine zona în care se află locația sa.
În acest caz, putem folosi patru termeni de valoare de adevăr care corespund posibilităților date.
Pentru structuri complexe este adecvat să se utilizeze Mai mult termeni. Acest lucru indică faptul că valorile adevărului sunt nelimitate. Pentru ce număr este adevărată afirmația depinde de oportunitatea practică.
Principiul ambiguității
În conformitate cu aceasta, orice afirmație este fie falsă, fie adevărată, adică este caracterizată de una dintre cele două valori probabile de adevăr - „fals” și „adevărat”.
Acest principiu stă la baza logicii clasice, care se numește teoria cu două valori. Principiul ambiguității a fost folosit de Aristotel. Acest filosof, discutând pentru ce număr x este adevărată o afirmație, a considerat că este nepotrivită pentru acele afirmații care se referă la evenimente aleatoare viitoare.
El a stabilit o relație logică între fatalism și principiul ambiguității, poziția cu privire la predeterminarea oricăror acțiuni umane.
În epocile istorice ulterioare, restricțiile care au fost impuse acestui principiu s-au explicat prin faptul că complică semnificativ analiza afirmațiilor despre evenimente planificate, precum și despre obiecte inexistente (neobservabile).
Când ne gândim la ce afirmații sunt adevărate, nu a fost întotdeauna posibil să găsiți un răspuns fără ambiguitate folosind această metodă.
Îndoielile emergente cu privire la sistemele logice au fost înlăturate numai după ce a fost dezvoltată logica modernă.
Pentru a înțelege pentru care dintre numerele date afirmația este adevărată, este potrivită logica cu două valori.
Principiul polisemiei
Dacă reformulăm versiunea unei afirmații cu două valori pentru a identifica adevărul, o putem transforma într-un caz special de polisemie: orice enunț va avea o valoare de n adevăr dacă n este fie mai mare decât 2, fie mai mic decât infinit.
Ca excepții de la valorile suplimentare de adevăr (mai sus de „fals” și „adevărat”) există multe sisteme logice bazate pe principiul polisemiei. Logica clasică cu două valori caracterizează utilizările tipice ale unor semne logice: „sau”, „și”, „nu”.
Logica multivalorică, care pretinde că le concretizează, nu trebuie să contrazică rezultatele unui sistem cu două valori.
Credința conform căreia principiul ambiguității duce întotdeauna la o afirmație de fatalism și determinism este considerată eronată. De asemenea, este incorectă ideea că logica multiplă este considerată un mijloc necesar de implementare a raționamentului indeterminist și că acceptarea acesteia corespunde unui refuz de a folosi determinismul strict.
Semantica semnelor logice
Pentru a înțelege pentru ce număr X este adevărată o afirmație, vă puteți înarma cu tabele de adevăr. Semantica logică reprezintă o secțiune a metalogică care explorează relația cu obiectele desemnate și conținutul lor al diferitelor expresii lingvistice.
Această problemă a fost deja luată în considerare în lumea antică, dar sub forma unei cu drepturi depline disciplina independentă a fost formulat abia la cumpăna dintre secolele XIX și XX. Lucrările lui G. Frege, C. Pierce, R. Carnap, S. Kripke au făcut posibilă identificarea esenței acestei teorii, a realismului și oportunității acesteia.
Pentru o perioadă lungă de timp, logica semantică s-a bazat în principal pe analiza limbajelor formalizate. Abia recent majoritatea cercetărilor au început să fie dedicate limbajului natural.
Există două domenii principale în această metodologie:
- teoria desemnării (de referință);
- teoria sensului.
Primul implică studiul relației dintre diferitele expresii lingvistice cu obiectele desemnate. Principalele sale categorii pot fi reprezentate ca: „denumire”, „nume”, „model”, „interpretare”. Această teorie este baza pentru dovezi în logica modernă.
Teoria sensului se ocupă de căutarea unui răspuns la întrebarea ce constituie sensul unei expresii lingvistice. Ea explică identitatea lor în sens.
Teoria sensului joacă un rol semnificativ în discutarea paradoxurilor semantice, în soluția cărora orice criteriu de acceptabilitate este considerat important și relevant.
Ecuație logică
Acest termen este folosit în metalimbaj. Sub o ecuație logică, vă puteți imagina notația F1=F2, în care F1 și F2 sunt formule ale limbajului extins al declarațiilor logice. Rezolvarea unei astfel de ecuații înseamnă determinarea acelor seturi de valori adevărate ale variabilelor care vor fi incluse în una dintre formulele F1 sau F2, în care se va respecta egalitatea propusă.
Semnul egal în matematică în unele situații indică egalitatea obiectelor originale, iar în unele cazuri este plasat pentru a demonstra egalitatea valorilor acestora. Intrarea F1=F2 poate indica faptul că vorbim despre aceeași formulă.
În literatură destul de des logica formală implică un sinonim precum „limbajul afirmațiilor logice”. „Cuvintele potrivite” sunt formule care servesc ca unități semantice folosite pentru a construi raționament în logica informală (filosofică).
O declarație acționează ca o propoziție care exprimă o anumită judecată. Cu alte cuvinte, exprimă ideea prezenței unei anumite stări de lucruri.
Acest fapt a devenit baza logicii propoziționale. Există o împărțire a enunțurilor în grupuri simple și complexe.
La formalizarea versiunilor simple ale declarațiilor, se folosesc formule elementare ale limbajului de ordin zero. Descrierea afirmațiilor complexe este posibilă numai cu ajutorul formulelor de limbaj.
Conexiunile logice sunt necesare pentru a indica conjuncțiile. Când sunt folosite, afirmațiile simple se transformă în forme complexe:
- "Nu",
- „Nu este adevărat că...”,
- "sau".
Concluzie
Logica formală ajută la aflarea pentru ce nume este adevărată o afirmație și presupune construirea și analiza unor reguli de transformare a anumitor expresii care își păstrează adevăratul sens indiferent de conținut. A apărut ca o ramură separată a științei filozofice abia la sfârșitul secolului al XIX-lea. A doua direcție este logica informală.
Sarcina principală a acestei științe este de a sistematiza reguli care să permită obținerea de noi afirmații pe baza afirmațiilor dovedite.
Fundamentul logicii este posibilitatea obținerii unor idei ca o consecință logică a altor afirmații.
Acest fapt ne permite să descriem în mod adecvat nu numai o anumită problemăîn știința matematică, dar și pentru a transfera logica în creativitatea artistică.
Cercetarea logică presupune relația care există între premise și concluziile deduse din acestea.
Poate fi considerat unul dintre conceptele inițiale, fundamentale ale logicii moderne, care este adesea numită știința „a ceea ce decurge din ea”.
Este greu de imaginat demonstrarea teoremelor în geometrie, explicarea fenomenelor fizice sau explicarea mecanismelor reacțiilor în chimie fără un astfel de raționament.
Curs: Enunțuri, operații logice, cuantificatori, adevărul enunțurilor
Declarație logică
Să trecem mai întâi peste terminologie.
Logica algebrică este o ramură a logicii în care operațiile algebrice sunt folosite pentru a rezolva probleme.
Declarație logică- acesta este un fel de raționament care poate fi atribuit afirmațiilor adevărate sau false.
Orice afirmație simplă poate fi înlocuită cu un simbol sau o literă, iar dacă enunțul este complex, atunci se va folosi o combinație de litere sau chiar cuvinte, de exemplu: sau, atunci, dacă și altele.
În acest caz, o afirmație logică poate lua doar două semnificații: adevărat sau fals.
Operații logice
Dacă o operațiune duce la un rezultat, atunci se numește unară. Dacă o operație are două soluții, atunci este binară.
Inversiunea este o operație care are ca rezultat o nouă operație ca urmare a negației celei inițiale.
Semnificația geometrică a inversării:
Adică, dacă o anumită operație duce la negație, atunci ea depășește limitele adevărului.
Dacă o anumită operație conectează mai multe instrucțiuni, atunci este numită conjuncţie. Adică două sau mai multe evenimente sunt utilizate simultan.
Tabelul de adevăr pentru operația de conjuncție:
Disjuncție este operația inversă a conjuncției. Adică există toate cazurile, cu excepția celor când mai multe mulțimi se intersectează.
Dacă afirmația logică „și” este folosită pentru conjuncție, atunci „sau” este folosit pentru disjuncție. Adică, ambele opțiuni sunt posibile, dar nu în același timp.
Tabelul de adevăr pentru operația de disjuncție:
Există și o disjuncție strict separativă. În acest caz, există o alegere între un set sau altul.
Tabel de adevăr pentru operația de disjuncție strictă:
Implicare– aceasta este o operațiune în care sunt valabile următoarele afirmații logice: „dacă..., atunci...”.
Această operație oferă o anumită consecință după o anumită operație.
Tabelul de adevăr al operației de implicare:
Echivalenţă– aceasta este o operațiune în care orice mai multe evenimente sunt considerate egale.
Tabelul de adevăr al operației de echivalență:
Conceptul de „enunț” este primar. În logică, o afirmație este o propoziție declarativă despre care se poate spune că este adevărată sau falsă. Fiecare afirmație este fie adevărată, fie falsă și nicio afirmație nu este atât adevărată, cât și falsă.
Exemple de afirmații: există un număr par”, „1 este un număr prim”. Valoarea de adevăr a primelor două afirmații este „adevărul”, valoarea de adevăr a ultimelor două
Propozițiile interogative și exclamative nu sunt enunțuri. Definițiile nu sunt afirmații. De exemplu, definiția „se spune că un număr întreg este chiar dacă este divizibil cu 2” nu este o declarație. Cu toate acestea, propoziția declarativă „dacă un întreg este divizibil cu 2, atunci este par” este o afirmație și, în același timp, una adevărată. În logica propozițională, se face abstracție din conținutul semantic al unui enunț, limitându-se la a o considera din poziția că este fie adevărat, fie fals.
În cele ce urmează, vom înțelege semnificația unei afirmații ca valoare de adevăr („adevărat” sau „fals”). Vom desemna afirmațiile cu majuscule latine și semnificațiile lor, adică „adevărat” sau „fals”, prin literele I și, respectiv, L.
Logica propozițională studiază conexiunile care sunt complet determinate de modul în care unele enunțuri sunt construite din altele, numite elementare. În acest caz, enunțurile elementare sunt considerate întregi, nedescompuse în părți, a căror structură internă nu ne va interesa.
Operații logice asupra enunțurilor.
Din declarații elementare, folosind operații logice, puteți obține enunțuri noi, mai complexe. Valoarea de adevăr a unei afirmații complexe depinde de valorile de adevăr ale afirmațiilor care compun afirmația complexă. Această dependență este stabilită în definițiile de mai jos și se reflectă în tabelele de adevăr. Coloanele din stânga acestor tabele conțin toate distribuțiile posibile ale valorilor de adevăr pentru afirmațiile care constituie direct afirmația complexă luată în considerare. În coloana din dreapta, scrieți valorile de adevăr ale afirmației complexe în funcție de distribuțiile din fiecare rând.
Fie A și B afirmații arbitrare despre care nu presupunem că valorile lor de adevăr sunt cunoscute. Negarea unei afirmații A este o afirmație nouă care este adevărată dacă și numai dacă A este falsă. Negația lui A este indicată prin și se citește „nu A” sau „nu este adevărat că A”. Operația de negație este complet determinată de tabelul de adevăr
Exemplu. Afirmația „nu este adevărat că 5 este un număr par”, care are valoarea I, este negația afirmației false „5 este un număr par”.
Folosind operația de conjuncție, două enunțuri sunt formate într-un enunț complex, notat A D B. Prin definiție, enunțul A D B este adevărat dacă și numai dacă ambele enunțuri sunt adevărate. Enunțurile A și B sunt numite, respectiv, primul și al doilea membru al conjuncției A D B. Intrarea „A D B” se citește „L și B”. Tabelul de adevăr pentru conjuncție are forma
Exemplu. Afirmația „7 este un număr prim și 6 este un număr impar” este falsă ca o conjuncție a două afirmații, dintre care una este falsă.
Disjuncția a două enunțuri A și B este o afirmație, notată cu , care este adevărată dacă și numai dacă cel puțin una dintre afirmațiile A și B este adevărată.
În consecință, afirmația A V B este falsă dacă și numai dacă atât A cât și B sunt false. Enunțurile A și B sunt numite, respectiv, primul și al doilea termen al disjuncției A V B. Intrarea A V B se citește ca „A sau B”. Conjuncția „sau” în acest caz are un sens inseparabil, deoarece afirmația A V B este adevărată chiar dacă ambii termeni sunt adevărati. Disjuncția are următorul tabel de adevăr:
Exemplu. Afirmația „3 O afirmație, notată cu , este falsă dacă și numai dacă A este adevărat și B este fals, se numește o implicație cu premisa A și concluzia B. Enunțul A-+ B se citește ca „dacă A, atunci 5, ” sau „ A implică B” sau „de la A urmează B”. Tabelul de adevăr pentru implicație este:
Rețineți că este posibil să nu existe o relație cauză-efect între premisă și concluzie, dar acest lucru nu poate afecta adevărul sau falsitatea implicației. De exemplu, afirmația „dacă 5 este un număr prim, atunci bisectoarea unui triunghi echilateral este mediana” va fi adevărată, deși în sensul obișnuit al doilea nu urmează din primul. Afirmația „dacă 2 + 2 = 5, atunci 6 + 3 = 9” va fi de asemenea adevărată, deoarece concluzia sa este adevărată. La această definiție, dacă concluzia este adevărată, implicația va fi adevărată indiferent de valoarea de adevăr a premisei. Când premisa este falsă, implicația va fi adevărată, indiferent de valoarea de adevăr a concluziei. Aceste circumstanțe sunt formulate pe scurt după cum urmează: „adevărul decurge din orice”, „orice decurge din fals”.
