Pentru a utiliza cu succes operația de extracție a rădăcinii în practică, trebuie să vă familiarizați cu proprietățile acestei operațiuni.
Toate proprietățile sunt formulate și dovedite numai pentru valorile nenegative ale variabilelor conținute sub semnele rădăcinilor.
Teorema 1. a n-a rădăcină puterile (n=2, 3, 4,...) din produsul a două jetoane nenegative este egal cu produsul a n-a rădăcini puterile acestor numere:
Comentariu:
1.
Teorema 1 rămâne valabilă pentru cazul în care expresia radicală este produsul a mai mult de două numere nenegative.
Teorema 2.Dacă,
și n este un număr natural mai mare decât 1, atunci egalitatea este adevărată
Scurt Formulare (deși inexactă), care este mai convenabil de utilizat în practică: rădăcina unei fracții este egală cu fracția rădăcinilor.
Teorema 1 ne permite să înmulțim t numai rădăcini de acelaşi grad
, adică numai rădăcini cu același indice.
Teorema 3.Dacă ,k este un număr natural și n este un număr natural mai mare decât 1, atunci egalitatea este adevărată
Cu alte cuvinte, pentru a ridica o rădăcină la o putere naturală, este suficient să ridici expresia radicală la această putere.
Aceasta este o consecință a teoremei 1. De fapt, de exemplu, pentru k = 3 obținem: Putem raționa exact în același mod în cazul oricărei alte valori naturale a exponentului k.
Teorema 4.Dacă ,k, n sunt numere naturale mai mari decât 1, atunci egalitatea este adevărată
Cu alte cuvinte, pentru a extrage o rădăcină dintr-o rădăcină, este suficient să înmulți indicatorii rădăcinilor.
De exemplu,
Atenție! Am aflat că pe rădăcini pot fi efectuate patru operații: înmulțirea, împărțirea, exponențiarea și extragerea rădăcinii (din rădăcină). Dar cum rămâne cu adăugarea și scăderea rădăcinilor? În nici un caz.
De exemplu, în loc să scrie Really, Dar este evident că
Teorema 5.Dacă indicatorii rădăcinii și expresiei radicalului sunt înmulțiți sau împărțiți cu același număr natural, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica, adică.
Exemple de rezolvare a problemelor
Exemplul 1. Calcula
Soluţie. Folosind prima proprietate a rădăcinilor (teorema 1), obținem:
Exemplul 2. Calcula
Soluţie. Convertiți un număr mixt într-o fracție improprie.
Avem Folosind a doua proprietate a rădăcinilor ( Teorema 2
), obținem:
Exemplul 3. Calcula: 
Soluţie. Orice formulă în algebră, după cum știți bine, este folosită nu numai „de la stânga la dreapta”, ci și „de la dreapta la stânga”. Astfel, prima proprietate a rădăcinilor înseamnă că acestea pot fi reprezentate sub formă și, invers, pot fi înlocuite cu expresia. Același lucru este valabil și pentru a doua proprietate a rădăcinilor. Ținând cont de acest lucru, să facem calculele.
Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea informațiilor către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Respectarea vieții private la nivelul companiei
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
SUBIECT: Funcția de putere. Rădăcină gradul al n-lea
ŢINTĂ:
Repetarea materialului acoperit în timpul jocului, asimilarea conștientă a acestor subiecte.
Cultivarea responsabilitatii, atentiei, antrenamentului memoriei.
Dezvoltarea inteligenței și a inventivității. Pentru a promova dezvoltarea interesului cognitiv pentru matematică.
MOMENT ORGANIZAȚIONAL
Clopoţelul a sunat. Copiii s-au așezat la locurile lor. Profesorul pune întrebări elevilor, iar ei răspund la întrebări ridicând mâinile:
Vă rog să-mi spuneți ce am studiat în ultimele lecții? ( Copiii numesc ei înșiși tema acestei lecții)
Care crezi că este scopul lecției noastre de astăzi? ( Copiii încearcă să-și formuleze singuri scopul lecției, profesorul doar îl corectează)
Bun venit in tara"Matematică „! În țara logaritmilor, calculelor simple, rădăcinilor, construcțiilor și ecuațiilor! Într-o călătorie prin țară"Matematicieni „Sunt trimise 2 echipe: „RĂDĂDINĂ”, „GRAD”, călătoria se va desfășura sub deviza (scrise în prealabil pe tablă ): „O CARTE ESTE O CARTE, ȘI ȚI MIȚI CREIERUL” (V.V. Mayakovsky). Membrii echipei vor fi recompensați cu cartonașe roșii pentru răspunsurile corecte.
1. Formarea de echipe
Fiecare elev, la intrarea în cabinet, a primit o fișă pe care era scrisă formula funcției (fiecare are una diferită). Fiecare elev determină ce funcție are, par sau impar, dacă par - comanda „ROOT”, impar - „GRAD”.
Opțiuni de caracteristici:f(x)=
,
f(x)=
f(x)= 
, f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
, f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)=
f(x)=
f(x)=
f(x)=
2. Alegerea unui comandant pentru fiecare echipă
SARCINA: decideți și apărați-vă răspunsul (comandantul trebuie să fie capabil să gândească rapid și să fie responsabil pentru tot); la ce valori ale variabilei are sens expresia ( expresiile sunt scrise în prealabil pe tablă) :
|
Răspuns: -8≤ x Răspuns: -11≤ x
3. Încălzire
Pentru fiecare răspuns corect - 1 cartonaș ( echipele încep să câștige puncte). Profesorul citește sarcina, elevii răspund.
Aritmetica I semn
Mă veți găsi în multe rânduri în cartea cu probleme.
Numai „o” îl introduci în cuvânt, știind cum,
Și eu sunt un punct geografic. (+, pol)
Sunt un număr mai mic de zece
Îți este ușor să mă găsești.
Dar dacă ordoni ca litera „I” să stea lângă tine,
Eu sunt tot tatăl, și tu, și bunicul și mama. (șapte, familie)
4. Ne continuăm călătoria și în drum întâlnim un zid imens pe care este scrisă sarcina (pregătiți în prealabil un poster sub formă de perete
): calculează: 
Pentru a depăși acest zid, trebuie să rezolvi această sarcină, oricare echipă o rezolvă, va câștiga puncte.(0,7+0,3=1)
1) proprietăți ale unei funcții de putere cu n – par;
2) proprietăți ale unei funcții de putere cu n – impar.
6. Următorul test pentru noi va fi concursul „ARAȚI-TE”. Condiții de desfășurare a competiției: fiecare membru al echipei merge la rândul său la tablă și rezolvă orice sarcină la alegere, prima echipă care finalizează sarcinile câștigă.
7. Echipele pregătesc întrebări unul pentru celălalt. Ei primesc puncte pentru răspunsul corect și pentru originalitate.
8. REZULTAT. PREMII. Fiecare echipă pregătește un discurs final, care dezvăluie întrebări: ce util a oferit lecția de astăzi fiecărei echipe și reprezentanților individuali, comentarii la lecție și profesorului. Acordarea de note cu comentarii (pentru ce activități și de ce).
Trebuie să ne familiarizăm cu proprietățile acestei operațiuni, pe care le vom face în această secțiune.
Toate proprietățile sunt formulate și dovedite numai pentru valorile nenegative ale variabilelor conținute sub semnele rădăcinilor.
Dovada. Să introducem următoarea notație: 
Trebuie să demonstrăm că pentru numerele nenegative x, y, z este valabilă egalitatea x-yz.
Deoarece
Deci, dar dacă puterile a două numere nenegative sunt egale și exponenții sunt egali, atunci bazele sunt egale grade; Aceasta înseamnă că din egalitatea x n =(уz) n rezultă că x-yz, și asta era ceea ce trebuia demonstrat.
Să facem un scurt rezumat al demonstrației teoremei.
Note:
1.
Teorema 1 rămâne valabilă pentru cazul în care expresia radicală este produsul a mai mult de două numere nenegative.
2.
Teorema 1 poate fi formulată folosind construcția „dacă... atunci” (cum se obișnuiește pentru teoremele din matematică) Să dăm formula corespunzătoare: dacă a și b sunt numere nenegative, atunci este valabil cum vom formula următoarea teoremă.
O formulare scurtă (deși imprecisă) care este mai convenabil de utilizat în practică: rădăcina lui fractii este egală cu fracția rădăcinilor.
Dovada. Vom oferi un scurt rezumat al demonstrației teoremei 2 și puteți încerca să faceți comentarii adecvate similare cu cele date în demonstrarea teoremei 1.
TU, desigur, ai observat că cele două proprietăți dovedite ale rădăcinilor gradul al n-lea reprezintă o generalizare a proprietăților cunoscute de tine de la cursul de algebră de clasa a VIII-a rădăcini pătrate. Și dacă ar fi alte proprietăți rădăcinile a n-a nu era nici o diplomă, atunci totul ar fi fost simplu (și nu foarte interesant). De fapt, există câteva proprietăți mai interesante și importante pe care le vom discuta în acest paragraf. Dar mai întâi, să ne uităm la câteva exemple de utilizare a teoremelor 1 și 2.
Exemplul 1. Calcula
Soluţie. Folosind prima proprietate a rădăcinilor (teorema 1), obținem:
Nota 3. Puteți, desigur, să rezolvați altfel acest exemplu, mai ales dacă aveți un microcalculator la îndemână: înmulțiți numerele 125, 64 și 27, apoi luați rădăcina cubă a produsului rezultat. Dar, vedeți, soluția propusă este „mai inteligentă”.
Exemplul 2. Calcula
Soluţie. Convertiți un număr mixt într-o fracție improprie.
Avem Folosind a doua proprietate a rădăcinilor (Teorema 2), obținem:
Exemplul 3. Calcula: 
Soluţie. Orice formulă în algebră, după cum știți bine, este folosită nu numai „de la stânga la dreapta”, ci și „de la dreapta la stânga”. Astfel, prima proprietate a rădăcinilor înseamnă că acestea pot fi reprezentate sub formă și, invers, pot fi înlocuite cu expresia. Același lucru este valabil și pentru a doua proprietate a rădăcinilor. Ținând cont de acest lucru, să efectuăm calculele:
Exemplul 4. Urmați acești pași:
Soluţie, a) Avem:
b) Teorema 1 ne permite să înmulțim numai rădăcini de același grad, adică. numai rădăcini cu același indice. Aici se propune înmulțirea a 2-a rădăcină a numărului a cu a 3-a rădăcină a aceluiași număr. Încă nu știm cum să facem asta. Să revenim la această problemă mai târziu.
Să continuăm studiul proprietăților radicalilor.
Cu alte cuvinte, pentru a ridica o rădăcină la o putere naturală, este suficient să ridici expresia radicală la această putere.
Aceasta este o consecință a teoremei 1. De fapt, de exemplu, pentru k = 3 obținem: Putem raționa exact în același mod în cazul oricărei alte valori naturale a exponentului k.
Cu alte cuvinte, pentru a extrage o rădăcină dintr-o rădăcină, este suficient să înmulți indicatorii rădăcinilor.
De exemplu,
Dovada. Ca și în teorema 2, vom oferi un scurt rezumat al demonstrației și puteți încerca să faceți singur comentariile adecvate, similare cu cele date în demonstrația teoremei 1.
Nota 4. Să tragem aer în piept. Ce am învățat din teoremele pe care le-am demonstrat? Am aflat că pe rădăcini pot fi efectuate patru operații: înmulțirea, împărțirea, exponențiarea și extragerea rădăcinii (din rădăcină). Dar cum rămâne cu adăugarea și scăderea rădăcinilor? În nici un caz. Am vorbit despre asta încă în clasa a VIII-a despre operația de extragere a rădăcinii pătrate.
De exemplu, nu poți scrie cu adevărat în schimb, dar este evident că Fii atent!
Poate cea mai interesantă proprietate a rădăcinilor este cea care va fi discutată în următoarea teoremă. Având în vedere semnificația specială a acestei proprietăți, ne vom permite să spargem stilul anumit de formulări și demonstrații dezvoltate în această secțiune, astfel încât formularea Teoremei 5 să fie puțin „mai moale” și demonstrarea ei să fie mai clară.
De exemplu:
(indicatorii expresiei rădăcinii și radicalului au fost împărțiți la 4);
(indicatorii expresiei rădăcinilor și radicalilor au fost împărțiți la 3);
(indicatorii expresiei rădăcinii și radicalului au fost înmulțiți cu 2).
Dovada. Să notăm partea stângă a egalității care este dovedită prin literă. Apoi, prin definiția unei rădăcini, egalitatea trebuie să fie valabilă
Să notăm partea dreaptă a identității dovedită prin litera y:
Apoi, prin definiția unei rădăcini, egalitatea
Să ridicăm ambele părți ale ultimei egalități la aceeași putere p; obținem:
Deci (vezi egalitățile (1) și (2)),
Comparând aceste două egalități, ajungem la concluzia că x nр = y nр și, prin urmare, x = y, ceea ce trebuia demonstrat.
Teorema dovedită ne va permite să rezolvăm problema pe care am întâlnit-o mai sus când am rezolvat Exemplul 5, unde a fost necesară înmulțirea rădăcinilor cu exponenți diferiți:
Așa motivează de obicei în astfel de cazuri.
1) Conform teoremei 5, într-o expresie este posibil să se înmulțească atât exponentul rădăcinii (adică numărul 2) cât și exponentul expresiei radicalului (adică numărul 1) cu același număr natural. Profitând de acest lucru, înmulțim ambii indicatori cu 3; obținem:
2) Conform teoremei 5, într-o expresie este posibil să se înmulțească atât exponentul rădăcinii (adică numărul 3) cât și exponentul expresiei radicalului (adică numărul 1) cu același număr natural. Profitând de acest lucru, înmulțim ambii indicatori cu 2; obținem:
3) Deoarece am primit rădăcini de același grad al 6-lea, le putem înmulți:
Nota 5. Ați uitat că toate proprietățile rădăcinilor pe care le-am discutat în această secțiune au fost luate în considerare de noi doar pentru cazul în care variabilele iau doar valori nenegative? De ce a trebuit să se facă o astfel de restricție? Deoarece a n-a rădăcină puterile unui număr negativ nu are întotdeauna sens - este definit doar pentru valori impare ale lui n. Pentru astfel de valori ale exponentului rădăcină, proprietățile considerate ale rădăcinilor sunt adevărate și în cazul expresiilor radicale negative.
A.G. Mordkovich Algebra clasa a X-a
Conținutul lecției notele de lecție sprijinirea metodelor de accelerare a prezentării lecției cadru tehnologii interactive Practica sarcini și exerciții ateliere de autotestare, instruiri, cazuri, întrebări teme pentru acasă întrebări de discuție întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini, grafice, tabele, diagrame, umor, anecdote, glume, benzi desenate, pilde, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole trucuri pentru pătuțurile curioși manuale dicționar de bază și suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment dintr-un manual, elemente de inovație în lecție, înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte plan calendaristic timp de un an recomandări metodologice programe de discuții Lecții integrate
