Auzim adesea expresiile: „este inert”, „mișcă prin inerție”, „moment de inerție”. În sens figurat, cuvântul „inerție” poate fi interpretat ca o lipsă de inițiativă și acțiune. Ne interesează sensul direct.
Ce este inerția
Conform definiției inerţieîn fizică, este capacitatea corpurilor de a menține o stare de repaus sau de mișcare în absența forțelor externe.
Dacă totul este clar cu însuși conceptul de inerție la nivel intuitiv, atunci moment de inerție– o întrebare separată. De acord, este dificil să-ți imaginezi în mintea ta ce este. În acest articol vei învăța cum să rezolvi sarcini de bază pe subiect „Moment de inerție”.
Determinarea momentului de inerție
Din cursul şcolar se ştie că masa – o măsură a inerției unui corp. Dacă împingem două cărucioare de mase diferite, atunci cel mai greu va fi mai greu de oprit. Adică, cu cât masa este mai mare, cu atât este mai mare influența externă necesară pentru a schimba mișcarea corpului. Ceea ce este considerat se aplică mișcării de translație, atunci când căruciorul din exemplu se mișcă în linie dreaptă.
Prin analogie cu masa și mișcarea de translație, momentul de inerție este o măsură a inerției unui corp în timpul mișcării de rotație în jurul unei axe.
Moment de inerție– scalar mărime fizică, o măsură a inerției unui corp atunci când se rotește în jurul unei axe. Notat prin scrisoare J și în sistem SI măsurată în kilograme ori un metru pătrat.
Cum se calculează momentul de inerție? Există o formulă generală prin care se calculează momentul de inerție al oricărui corp în fizică. Dacă un corp este rupt în bucăți infinitezimale cu o masă dm , atunci momentul de inerție va fi egal cu suma produselor acestor mase elementare cu pătratul distanței până la axa de rotație.
Aceasta este formula generală pentru momentul de inerție în fizică. Pentru punct material mase m , care se rotește în jurul unei axe la distanță r din ea, această formulă ia forma:
teorema lui Steiner
De ce depinde momentul de inerție? Din masă, poziția axei de rotație, forma și dimensiunea corpului.
Teorema Huygens-Steiner este o teoremă foarte importantă care este adesea folosită în rezolvarea problemelor.
Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la orice tip de lucrare
Teorema Huygens-Steiner spune:
Momentul de inerție al unui corp față de o axă arbitrară este egal cu suma momentului de inerție al corpului față de o axă care trece prin centrul de masă paralel cu o axă arbitrară și produsul masei corpului cu pătratul a distanței dintre axe.
Pentru cei care nu doresc să se integreze constant la rezolvarea problemelor de găsire a momentului de inerție, vă prezentăm un desen care indică momentele de inerție ale unor corpuri omogene care sunt des întâlnite în probleme:
Un exemplu de rezolvare a unei probleme pentru a găsi momentul de inerție
Să ne uităm la două exemple. Prima sarcină este să găsești momentul de inerție. A doua sarcină este de a folosi teorema Huygens-Steiner.
Problema 1. Aflați momentul de inerție al unui disc omogen de masă m și rază R. Axa de rotație trece prin centrul discului.
Soluţie:
Să împărțim discul în inele infinit de subțiri, a căror rază variază de la 0 la Rși luați în considerare un astfel de inel. Fie raza lui rși masa - dm. Atunci momentul de inerție al inelului este:
Masa inelului poate fi reprezentată astfel:
Aici dz– înălțimea inelului. Să înlocuim masa în formula pentru momentul de inerție și să integrăm:
Rezultatul a fost o formulă pentru momentul de inerție al unui disc sau cilindru subțire absolut.
Problema 2. Fie din nou un disc cu masa m și raza R. Acum trebuie să găsim momentul de inerție al discului în raport cu axa care trece prin mijlocul uneia dintre razele sale.
Soluţie:
Momentul de inerție al discului față de axa care trece prin centrul de masă este cunoscut din problema anterioară. Să aplicăm teorema lui Steiner și să găsim:
Apropo, pe blogul nostru puteți găsi și alte materiale utile despre fizică și rezolvarea problemelor.
Sperăm că veți găsi ceva util pentru dvs. în articol. Dacă apar dificultăți în procesul de calcul al tensorului de inerție, nu uitați de serviciul pentru studenți. Specialiștii noștri vă vor sfătui în orice problemă și vă vor ajuta la rezolvarea problemei în câteva minute.
Electrostatică. Module piezoelectrice.- raportul dintre momentul de inerție în jurul axei și distanța de la aceasta până la punctul cel mai îndepărtat al secțiunii. [cm 3, m 3]
Deosebit de importante sunt momentele de rezistență raportate la principalele axe centrale:
dreptunghi: 
; 
,
cerc:W x =W y = 
secțiune tubulară (inel): W x =W y =
, unde = d N /d B . 
.
Momentul polar de rezistență - raportul dintre momentul polar de inerție și distanța de la pol până la punctul cel mai îndepărtat al secțiunii: 
.
Pentru un cerc W р =
Torsiune 
T Acest tip de deformare în care apare un singur cuplu în secțiuni transversale este Mk. Semnul cuplului Mk este determinat în mod convenabil de direcția momentului extern. Dacă, văzut din lateralul secțiunii, momentul exterior este îndreptat în sens invers acelor de ceasornic, atunci M k >0 (se găsește și regula opusă). Când are loc torsiune, o secțiune se rotește în raport cu alta unghi de răsucire -. Atunci când o grindă rotundă (arbore) este torsiune, apare o stare de efort de forfecare pură ( stres normal absent), apar doar tensiuni de forfecare. Se presupune că secțiunile sunt plate înainte de răsucire și rămân plate după răsucire - legea secțiunilor plane 
,
. Tensiunile tangenţiale la punctele de secţiune transversală variază proporţional cu distanţa punctelor de la axă. Din legea lui Hooke la forfecare: =G, G - modulul de forfecare, 
- momentul polar de rezistență al unei secțiuni circulare. Tensiunile tangențiale la centru sunt zero cu cât sunt mai îndepărtate de centru; Unghi de răsucire ,GJ p -.
-rigiditatea secțiunii la torsiune unghi relativ de răsucire 
. Energia potențială în timpul torsii: 
,
[]
= 
. Stare de rezistenta:
, pentru un material plastic se presupune că este limita de curgere la forfecare t, pentru un material fragil – in este rezistența la rupere, [n] este factorul de siguranță. Condiție de rigiditate la torsiune: max [] – unghi de torsiune admis.
Torsiunea unei grinzi dreptunghiulare 
P În acest caz, legea secțiunilor plane este încălcată, secțiunile necirculare sunt îndoite în timpul torsii - deplanare
secţiune transversală.
;
Diagrame ale tensiunilor tangențiale ale unei secțiuni dreptunghiulare.
,J k și W k se numesc în mod convențional momentul de inerție și momentul de rezistență la torsiune. W k = hb 2 ,
J k = hb 3 , Tensiunile tangenţiale maxime max vor fi în mijlocul laturii lungi, tensiunile în mijlocul laturii scurte: = max , coeficienţii: ,, sunt daţi în cărţile de referinţă în funcție de raportul h/b (de exemplu, cu h/b=2, =0,246; =0,229;
Torsiunea unei grinzi dreptunghiulare 
Îndoiți- când momentul încovoietor acționează într-un plan care trece prin una dintre principalele axe centrale de inerție ale secțiunii, i.e. toate forțele se află în planul de simetrie al fasciculului. Principalele ipoteze(presupune): ipoteza despre non-presiunea fibrelor longitudinale: fibrele paralele cu axa grinzii sufera deformare la tractiune-compresiune si nu exercita presiune unele asupra altora in directie transversala; ipoteza secțiunilor plane: o secțiune a unei grinzi care este plată înainte de deformare rămâne plată și normală față de axa curbă a grinzii după deformare. În cazul îndoirii plane, în general, există factori interni de putere: forța longitudinală N, forța transversală Q și momentul încovoietor M. N>0, dacă forța longitudinală este de tracțiune; la M>0, fibrele de deasupra fasciculului sunt comprimate iar fibrele de pe fund sunt întinse. .
CU 
se numește un strat în care nu există extensii strat neutru(axă, linie). Pentru N=0 și Q=0, avem cazul îndoire pură. Tensiuni normale: 
, este raza de curbură a stratului neutru, y este distanța de la o anumită fibră la stratul neutru. Legea lui Hooke în îndoire:
, de unde (formula Navier): 
,J x - momentul de inerție al secțiunii față de axa centrală principală perpendiculară pe planul momentului încovoietor, EJ x - rigiditatea la încovoiere, - curbura stratului neutru.
M 
Tensiunile maxime de încovoiere apar în punctele cele mai îndepărtate de stratul neutru: 
,J x /y max =W x - momentul de rezistență al secțiunii la încovoiere, 
. Dacă secțiunea nu are o axă orizontală de simetrie, atunci diagrama normală a tensiunilor nu va fi simetrică. Axa neutră a secțiunii trece prin centrul de greutate al secțiunii. Formulele pentru determinarea tensiunii normale pentru încovoiere pură sunt aproximativ valabile chiar și atunci când Q0. Acesta este cazul încovoiere transversală. În timpul încovoierii transversale, pe lângă momentul încovoietor M, acţionează o forţă transversală Q şi în secţiune apar nu numai tensiuni normale , ci şi tangenţiale. Tensiunile de forfecare sunt determinate Formula lui Zhuravsky:
, unde S x (y) este momentul static relativ la axa neutră a acelei părți a zonei care se află sub sau deasupra stratului situat la distanța „y” de axa neutră; J x - momentul de inerție total secțiune transversală față de axa neutră, b(y) este lățimea secțiunii din stratul pe care se determină eforturile de forfecare.
D 
Pentru o secțiune dreptunghiulară: 
,F=bh, pentru o secțiune circulară: 
,F=R 2, pentru o secțiune de orice formă 
,
k-coeficient, în funcție de forma secțiunii (dreptunghi: k= 1,5; cerc - k= 1,33).
M 
max și Q max sunt determinate din diagramele momentelor încovoietoare și forțelor tăietoare. Pentru a face acest lucru, fasciculul este tăiat în două părți și una dintre ele este examinată. Acțiunea piesei aruncate este înlocuită cu factorii de forță interni M și Q, care sunt determinați din ecuațiile de echilibru. În unele universități, momentul M>0 este amânat în jos, adică. Diagrama momentului este construită pe fibre întinse. La Q = 0 avem un extremum al diagramei momentului. Dependențe diferențiale între M,QŞiq:
q - intensitatea sarcinii distribuite [kN/m]
Tensiuni principale în timpul îndoirii transversale:
.
Calculul rezistenței la încovoiere: două condiţii de rezistenţă referitoare la puncte diferite ale grinzii: a) conform solicitărilor normale 
, (punctele cele mai îndepărtate de C); b) prin tensiuni tangenţiale 
, (puncte de pe axa neutră). Din a) determinați dimensiunile grinzii: 
, care sunt verificate de b). În secțiunile de grinzi pot exista puncte în care există simultan tensiuni de forfecare mari normale și mari. Pentru aceste puncte se găsesc tensiuni echivalente, care nu trebuie să le depășească pe cele admisibile. Condițiile de rezistență sunt testate împotriva diferitelor teorii de rezistență
primul: 
;II-a: (cu raportul lui Poisson=0,3); - rar folosit.
Teoria lui Mohr: 
(utilizat pentru fontă, care are o efort admisibil de întindere [ р ][ с ] – în compresiune).
Dacă m = 1, n = 1, atunci obținem caracteristica
care se numeste moment de inerție centrifugal.
Momentul de inerție centrifugal relativ la axele de coordonate – suma produselor ariilor elementare dA la distantele lor fata de aceste axe, luate pe toata suprafata sectiunii transversale O.
Dacă cel puţin una dintre axe y sau z este axa de simetrie a secțiunii, momentul de inerție centrifugal al unei astfel de secțiuni față de aceste axe este egal cu zero (deoarece în acest caz fiecare valoare pozitivă z·y·dA putem pune în corespondență exact la fel, dar negativ, de cealaltă parte a axei de simetrie a secțiunii, vezi figura).
Să luăm în considerare caracteristicile geometrice suplimentare care pot fi obținute din cele principale enumerate și sunt, de asemenea, adesea folosite în calculele rezistenței și rigidității.
Momentul polar de inerție
Momentul polar de inerție Jp denumește caracteristica
Pe de alta parte,
Momentul polar de inerție(față de un punct dat) – suma produselor suprafețelor elementare dA după pătratele distanțelor lor 
până în acest punct, preluată pe întreaga suprafață a secțiunii transversale O.
Dimensiunea momentelor de inerție este m 4 în SI.
Moment de rezistență
Moment de rezistență relativ la o axă – o valoare egală cu momentul de inerție față de aceeași axă împărțită la distanță ( ymax sau z max) până la punctul cel mai îndepărtat de această axă
Dimensiunea momentelor de rezistenţă este m 3 în SI.
Raza de inerție
Raza de inerție secțiunea relativă la o anumită axă se numește valoare determinată din relația:
Razele de rotație sunt exprimate în unități SI de m.
Comentariu: secțiunile transversale ale elementelor structurilor moderne reprezintă adesea o anumită compoziție de materiale cu rezistență diferită la deformare elastică, caracterizată, după cum se știe dintr-un curs de fizică, prin modulul Young. E. În cazul cel mai general al unei secțiuni neomogene, modulul lui Young este o funcție continuă a coordonatelor punctelor secțiunii, adică. E = E(z, y). Prin urmare, rigiditatea unei secțiuni neomogene în proprietăți elastice se caracterizează prin caracteristici mai complexe decât caracteristicile geometrice ale unei secțiuni omogene, și anume cele elastic-geometrice de formă
2.2. Calcul caracteristici geometrice figuri simple
Secțiune dreptunghiulară
Să determinăm momentul axial de inerție al dreptunghiului în raport cu axa z. Să împărțim aria dreptunghiului în zone elementare cu dimensiuni b(lățimea) și dy(înălţime). Apoi aria unui astfel de dreptunghi elementar (umbrit) este egală cu dA = b dy. Înlocuirea valorii dAîn prima formulă, obținem
Prin analogie, scriem momentul axial în jurul axei la:
Momentele axiale de rezistență ale unui dreptunghi:
; 
În mod similar, puteți obține caracteristici geometrice pentru alte figuri simple.
Secțiune rotundă
Este convenabil să găsești mai întâi momentul polar de inerție J p .
Apoi, având în vedere că pentru un cerc J z = J y, A J p = J z + J y, vom găsi Jz =Jy = Jp / 2.
Să împărțim cercul în inele infinitezimale de grosime dρ si raza ρ ; zona unui astfel de inel dA = 2 ∙ π ∙ ρ ∙ dρ. Înlocuind expresia pentru dAîntr-o expresie pentru Jpși integrând, obținem
2.3. Calculul momentelor de inerție față de axe paralele
zŞi y:
Este necesar să se determine momentele de inerție ale acestei secțiuni în raport cu „noile” axe z 1Şi y 1, paralele cu cele centrale și distanțate de acestea la distanță oŞi b respectiv:
Coordonatele oricărui punct din „noul” sistem de coordonate z 1 0 1 y 1 poate fi exprimat prin coordonate în „vechile” axe zŞi y Aşa:
Din moment ce axele zŞi y– moment central, apoi static S z = 0.
În cele din urmă, putem scrie formulele de „tranziție” pentru transferul paralel al axelor:
Rețineți că coordonatele oŞi b trebuie înlocuite ținând cont de semnul lor (în sistemul de coordonate z 1 0 1 y 1).
2.4. Calculul momentelor de inerție la rotirea axelor de coordonate
Fie cunoscute momentele de inerție ale unei secțiuni arbitrare în raport cu axele centrale z, y:
; 
;
Să întoarcem topoarele z, yîntr-un unghi α în sens invers acelor de ceasornic, considerând că unghiul de rotație al axelor în acest sens este pozitiv.
Este necesar să se determine momentele de inerție în raport cu „noile” axe (rotate). z 1Şi y 1:
Coordonatele site-ului elementar dAîn „noul” sistem de coordonate z 1 0y 1 poate fi exprimat prin coordonate în axele „vechi” astfel:
Inlocuim aceste valori in formulele momentelor de inertie in axele „noile” si integram termen cu termen:
După ce am făcut transformări similare cu expresiile rămase, vom scrie în sfârșit formulele de „tranziție” la rotirea axelor de coordonate:
Rețineți că dacă adunăm primele două ecuații, obținem
adică momentul polar de inerție este mărimea invariant(cu alte cuvinte, neschimbat la rotirea axelor de coordonate).
2.5. Axele principale și momentele principale de inerție
Până acum, au fost luate în considerare caracteristicile geometrice ale secțiunilor dintr-un sistem de coordonate arbitrar, dar sistemul de coordonate în care secțiunea este descrisă de cel mai mic număr de caracteristici geometrice prezintă cel mai mare interes practic. Acest sistem de coordonate „special” este specificat de poziția axelor principale ale secțiunii. Să introducem conceptele: axele principaleŞi principalele momente de inerție.
Axele principale– două axe reciproc perpendiculare, față de care momentul de inerție centrifugal este zero, în timp ce momentele de inerție axiale iau valori extreme (maximum și minim).
Se numesc axele principale care trec prin centrul de greutate al secțiunii axele centrale principale.
Se numesc momentele de inerție față de axele principale principalele momente de inerție.
Axele centrale principale sunt de obicei desemnate prin litere uŞi v; principalele momente de inerție - J uŞi Jv(prin definiție J uv = 0).
Să derivăm expresii care ne permit să aflăm poziția axelor principale și mărimea momentelor principale de inerție. Stiind asta J uv= 0, folosim ecuația (2.3):
Colţ α 0 definește poziția axelor principale față de orice axe centrale zŞi y. Colţ α 0 depus între axă z si axa uși este considerat pozitiv în sens invers acelor de ceasornic.
Rețineți că, dacă secțiunea are o axă de simetrie, atunci, în conformitate cu proprietatea momentului de inerție centrifugal (a se vedea secțiunea 2.1, paragraful 4), o astfel de axă va fi întotdeauna axa principală secțiuni.
Excluzând unghiul α în expresiile (2.1) și (2.2) folosind (2.4), obținem formule pentru determinarea principalelor momente axiale de inerție:
Să scriem regula: axa maximă face întotdeauna un unghi mai mic cu cel al axelor (z sau y) față de care momentul de inerție are o valoare mai mare.
2.6. Forme raționale ale secțiunilor transversale
Tensiunile normale într-un punct arbitrar al secțiunii transversale a unei grinzi în timpul îndoirii directe sunt determinate de formula:
, (2.5)
Unde M– momentul încovoietor în secțiunea transversală luată în considerare; la– distanţa de la punctul luat în considerare până la axa centrală principală perpendiculară pe planul de acţiune al momentului încovoietor; J x– momentul central principal de inerție al secțiunii.
Cele mai mari tensiuni normale de tracțiune și compresiune într-o secțiune transversală dată apar în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră. Ele sunt determinate de formulele:
; 
,
Unde la 1Şi la 2– distante fata de axa centrala principala X până la cele mai îndepărtate fibre întinse și comprimate.
Pentru grinzile din materiale plastice, când [σ p ] = [σ c ] ([σ p ], [σ c ] sunt tensiunile admisibile pentru materialul grinzii în tensiune și respectiv compresiune), secțiuni care sunt simetrice față de sunt folosite axe. În acest caz, condiția de rezistență are forma:
≤
[σ], (2,6)
Unde W x = J x / y max– momentul de rezistență al secțiunii transversale a fasciculului față de axa centrală principală; ymax = h/2(h– înălțimea secțiunii); M max– cel mai mare moment încovoietor în valoare absolută; [σ] – efortul de încovoiere admisibil al materialului.
Pe lângă condiția de rezistență, fasciculul trebuie să satisfacă și condiția economică. Cele mai economice sunt acele forme de secțiune transversală pentru care cel mai mare moment de rezistență se obține cu cea mai mică cantitate de material (sau cu cea mai mică suprafață a secțiunii transversale). Pentru ca forma secțiunii să fie rațională, este necesar, dacă este posibil, să se distribuie secțiunea departe de axa centrală principală.
De exemplu, o grindă în I standard este de aproximativ șapte ori mai puternică și de treizeci de ori mai rigidă decât o grindă pătrată de aceeași secțiune transversală realizată din același material.
Trebuie avut în vedere că atunci când poziția secțiunii se modifică în raport cu sarcina care acționează, rezistența grinzii se modifică semnificativ, deși aria secțiunii transversale rămâne neschimbată. În consecință, secțiunea trebuie poziționată astfel încât linia de forță să coincidă cu cea a axelor principale față de care momentul de inerție este minim. Ar trebui să vă străduiți să vă asigurați că îndoirea grinzii are loc în planul cu cea mai mare rigiditate.
Static numită secţiunea de mecanică teoretică în care doctrină generală despre forţe şi studiază condiţiile de echilibru ale corpurilor sub influenţa forţelor.
Statica se bazează pe câteva principii de bază ( axiome), care sunt o generalizare a experienței industriale de secole a omenirii și a cercetării teoretice.
Axioma 1. Dacă două forțe acționează asupra unui corp liber absolut rigid, atunci corpul poate fi în echilibru dacă și numai dacă aceste forțe sunt egale ca mărime și sunt direcționate de-a lungul aceleiași drepte în direcții opuse (Fig. 1.2).
Fig.1.2
Axioma 2. Acțiunea unui anumit sistem de forțe asupra unui corp absolut rigid nu se va modifica dacă i se adaugă sau scade din el un sistem echilibrat de forțe. Dacă, atunci. Consecinţă: acțiunea unei forțe asupra unui corp absolut rigid nu se va modifica dacă punctul de aplicare al forței este deplasat de-a lungul liniei sale de acțiune către orice alt punct al corpului. Lasă corpul să fie acționat de o forță aplicată într-un punct O puterea . Să alegem un punct arbitrar pe linia de acțiune a acestei forțe ÎN, și să-i aplice forțe echilibrate și, în plus, . Deoarece forțele formează un sistem echilibrat de forțe, conform celei de-a doua axiome a staticii, acestea pot fi aruncate. În consecință, asupra corpului va acționa o singură forță, egală, dar aplicată la punctul respectiv ÎN(Fig. 1.3).
Fig.1.3
Axioma 3. Două forțe aplicate unui corp solid într-un punct au o rezultantă aplicată în același punct și reprezentată de diagonala unui paralelogram construit pe aceste forțe ca pe laturi. Vector egal cu diagonala unui paralelogram construit pe vectori și se numește suma geometrică a vectorilor și (Fig. 1.4).
Axioma 4. Legea egalității de acțiune și reacție. Cu orice acțiune a unui corp asupra altuia, are loc o reacție de aceeași amploare, dar opusă ca direcție (Fig. 1.5).
Fig.1.5
Axioma 5. Principiul călirii. Echilibrul unui corp în schimbare (deformabil) sub influența unui anumit sistem de forțe nu va fi perturbat dacă corpul este considerat întărit, adică. absolut solid.
4. Caracteristicile geometrice ale figurilor. Moment static. Moment de inerție centrifugal, moment de inerție polar (concepte de bază).
Rezultatul calculelor depinde nu numai de aria secțiunii transversale, prin urmare, la rezolvarea problemelor privind rezistența materialelor, nu se poate face fără a determina caracteristicile geometrice ale figurilor: momente de inerție statice, axiale, polare și centrifuge. Este imperativ să se poată determina poziția centrului de greutate al secțiunii (caracteristicile geometrice enumerate depind de poziția centrului de greutate). Pe lângă caracteristicile geometrice ale figurilor simple: dreptunghi, pătrat, isoscel și triunghiuri dreptunghiulare, cerc, semicerc. Se indică centrul de greutate și poziția axelor centrale principale și se determină caracteristicile geometrice în raport cu acestea, cu condiția ca materialul fasciculului să fie omogen.
Caracteristicile geometrice ale dreptunghiului și pătratului
Momentele axiale de inerție ale unui dreptunghi (pătrat)
CARACTERISTICILE GEOMETRICE ALE UNUI TRIANGUL DREPTUNGULAR
Momentele axiale de inerție ale unui triunghi dreptunghic
CARACTERISTICILE GEOMETRICE ALE UNUI TRIANGUL ISOScel
Momentele axiale de inerție ale unui triunghi isoscel
CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE CERCULUI
Momentele axiale de inerție ale unui cerc
CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SEMICERCULUI
Momentele axiale de inerție ale unui semicerc
Moment static
Să considerăm secțiunea transversală a tijei cu aria F. Să desenăm axele de coordonate x și y printr-un punct arbitrar O. Să selectăm un element de zonă cu coordonatele x și y (Fig. 4.1).
Să introducem conceptul de moment de inerție static în jurul unei axe - o valoare egală cu produsul elementului de zonă () cu distanța (indicată de litera y) față de axa x: 
În mod similar, momentul static de inerție în jurul axei y este:
Însumând astfel de produse pe aria F, obținem momentul static de inerție al întregii figuri în raport cu axele x și y:
.
Momentul static de inerție cifra relativă la axă se măsoară în unități de lungime cub (cm3) și poate fi pozitivă, negativă și egală cu zero.
Fie coordonatele centrului de greutate al figurii. Continuând analogia cu momentul forței, putem scrie următoarele expresii:
Astfel, momentul (momentul static) al ariei unei figuri în raport cu o axă este produsul ariei și distanța de la centrul său de greutate la axă.
Momente centrifuge inerţia corpului faţă de axele dreptunghiulare Sistemul de coordonate carteziene se numesc următoarele cantități:
Unde x, yŞi z- coordonatele unui element mic al corpului volum dV, densitate ρ Şi masa dm.
Se numește axa OX axa principală de inerție a corpului, Dacă momente centrifuge inerţie J xyŞi J xz sunt simultan egale cu zero. Prin fiecare punct al corpului pot fi trasate trei axe principale de inerție. Aceste axe sunt reciproc perpendiculare între ele. Momentele de inerție ale corpului raportat la cele trei axe principale de inerție desenate într-un punct arbitrar O corpurile sunt numite principalele momente de inerție ale corpului.
Principalele axe de inerție care trec prin centru de masă corpurile sunt numite principalele axe centrale de inerție ale corpului, iar momentele de inerție despre aceste axe sunt ale sale principalele momente centrale de inerție. Axa de simetrie a unui corp omogen este întotdeauna una dintre principalele sale axe centrale de inerție.
Momentul polar de inerție- suma integrală a produselor zonelor de platforme elementare dA pe pătrat din distanța lor de la pol - ρ 2 (în sistemul de coordonate polar), preluat pe întreaga zonă a secțiunii transversale. Adică:
Această valoare este folosită pentru a prezice capacitatea unui obiect de a rezista la torsiune. Are dimensiunea unităților de lungime până la a patra putere ( m 4 , cm 4 ) și nu poate fi decât pozitiv.
Pentru o zonă în secțiune transversală în formă de cerc cu o rază r momentul polar de inerție este:
Dacă combinăm originea sistemului de coordonate cartezian dreptunghiular 0 cu polul sistemului polar (vezi figura), atunci
deoarece 
.
