Exemple de utilizare a diferenţialelor în calcule aproximative. Aplicarea diferenţialului la calcule aproximative

05.07.2020

Luați în considerare problema răspândită la calculul aproximativ al valorii unei funcții folosind o diferenţială.

Aici și mai departe vom vorbi despre diferențiale de ordinul întâi, pentru concizie, vom spune de multe ori pur și simplu „diferențial”. Problema calculelor aproximative folosind diferențiale are un algoritm de soluție strict și, prin urmare, nu ar trebui să apară dificultăți speciale. Singurul lucru este că există mici capcane care vor fi și ele curățate. Așa că simțiți-vă liber să vă scufundați cu capul întâi.

În plus, secțiunea conține formule pentru găsirea erorilor absolute și relative ale calculelor. Materialul este foarte util, deoarece erorile trebuie calculate în alte probleme.

Pentru a stăpâni cu succes exemplele, trebuie să puteți găsi derivate ale funcțiilor cel puțin la un nivel intermediar, așa că dacă sunteți complet în pierdere cu diferențierea, vă rugăm să începeți cu găsirea derivatei într-un punct si cu găsirea diferenţialului în punct. Din mijloace tehnice, veți avea nevoie de un microcalculator cu diverse funcții matematice. Puteți utiliza capacitățile MS Excel, dar în acest caz este mai puțin convenabil.

Lecția constă din două părți:

– Calcule aproximative folosind valoarea diferenţială a unei funcţii a unei variabile într-un punct.

– Calcule aproximative folosind diferenţial complet valorile unei funcții a două variabile într-un punct.

Sarcina luată în considerare este strâns legată de conceptul de diferențial, dar întrucât nu avem încă o lecție despre semnificația derivatelor și diferențialelor, ne vom limita la o luare în considerare formală a exemplelor, care este suficient pentru a învăța cum să rezolvăm. ei.

Calcule aproximative folosind diferența unei funcții a unei variabile

În primul paragraf, funcția unei variabile reguli. După cum știe toată lumea, este notat cu y sau prin f(x). Pentru această sarcină este mult mai convenabil să folosiți a doua notație. Să trecem imediat la un exemplu popular care este adesea întâlnit în practică:

Exemplul 1

Soluţie: Vă rugăm să copiați în caiet formula de lucru pentru un calcul aproximativ folosind o diferență:

Să începem să ne dăm seama, totul este simplu aici!

Primul pas este crearea unei funcții. După condiție, se propune să se calculeze rădăcina cubă a numărului: , deci funcția corespunzătoare are forma: .

Trebuie să folosim formula pentru a găsi valoarea aproximativă.

Să ne uităm la partea stângă formule și îmi vine în minte gândul că numărul 67 trebuie reprezentat în formă. Care este cel mai simplu mod de a face asta? Recomand următorul algoritm: calculați această valoare pe un calculator:

– s-a dovedit a fi 4 cu coadă, acesta este un ghid important pentru soluție.

Ca x 0 selectați o valoare „bună”, astfel încât rădăcina să fie îndepărtată complet. Desigur, acest sens x 0 ar trebui să fie cât mai aproape posibil la 67.

În acest caz x 0 = 64. Într-adevăr, .

Notă: Când cu selecțiex 0 există încă o problemă, doar uitați-vă la valoarea calculată (în acest caz ), luați cea mai apropiată parte întreagă (în acest caz 4) și ridicați-o la puterea necesară (în acest caz ). Ca urmare, se va face selecția dorită x 0 = 64.

Dacă x 0 = 64, apoi incrementul argumentului: .

Deci, numărul 67 este reprezentat ca o sumă

Mai întâi calculăm valoarea funcției în punct x 0 = 64. De fapt, acest lucru a fost deja făcut mai devreme:

Diferența într-un punct se găsește prin formula:

– De asemenea, puteți copia această formulă în caiet.

Din formulă rezultă că trebuie să luați prima derivată:

Și găsiți-i valoarea la punct x 0:

Astfel:

Totul este gata! Conform formulei:

Valoarea aproximativă găsită este destul de apropiată de valoarea 4,06154810045 calculată cu ajutorul unui microcalculator.

Răspuns:

Exemplul 2

Calculați aproximativ, înlocuind incrementele funcției cu diferența acesteia.

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. O mostră aproximativă a proiectului final și răspunsul la sfârșitul lecției. Pentru începători, recomand să calculați mai întâi valoarea exactă pe un microcalculator pentru a afla ce număr să luați x 0 și care – pentru Δ x. Trebuie remarcat faptul că Δ xîn acest exemplu va fi negativ.

Unii s-ar fi întrebat de ce este necesară această sarcină dacă totul poate fi calculat calm și mai precis pe un calculator? Sunt de acord, sarcina este stupidă și naivă. Dar voi încerca să mă justific puțin. În primul rând, sarcina ilustrează semnificația funcției diferențiale. În al doilea rând, în antichitate, un calculator era ceva ca un elicopter personal în timpurile moderne. Eu însumi am văzut cum un computer de mărimea unei camere a fost aruncat dintr-unul din institute undeva prin anii 1985-86 (amatorii de radio au venit în fugă din tot orașul cu șurubelnițe, iar după câteva ore a rămas doar carcasa din unitate. ). Aveam și antichități în departamentul nostru de fizică, deși erau mai mici ca mărime – cam cât un birou. Așa s-au luptat strămoșii noștri cu metode de calcule aproximative. O trăsură trasă de cai este și transport.

Într-un fel sau altul, problema rămâne în cursul standard de matematică superioară și va trebui rezolvată. Acesta este principalul răspuns la întrebarea ta =).

Exemplul 3

Calculați aproximativ valoarea unei funcții folosind o diferență la punct x= 1,97. Calculați o valoare a funcției mai precisă la un punct x= 1,97 folosind un microcalculator, estimați eroarea absolută și relativă a calculelor.

De fapt, această sarcină poate fi ușor reformulată astfel: „Calculează valoarea aproximativă folosind un diferential"

Soluţie: Folosim formula familiară:

În acest caz, este deja dată o funcție gata făcută: . Încă o dată, aș dori să vă atrag atenția asupra faptului că pentru a desemna o funcție, în loc de „joc”, este mai convenabil să utilizați f(x).

Sens x= 1,97 trebuie reprezentat în formular x 0 = Δ x. Ei bine, este mai ușor aici, vedem că numărul 1.97 este foarte aproape de „doi”, așa că se sugerează singur. x 0 = 2. Și, prin urmare: .

Să calculăm valoarea funcției în punct x 0 = 2:

Folosind formula , să calculăm diferența în același punct.

Găsim prima derivată:

Și semnificația lui la punct x 0 = 2:

Astfel, diferența la punctul:

Ca urmare, conform formulei:

A doua parte a sarcinii este de a găsi eroarea absolută și relativă a calculelor.

Dar Δ y = Δ f(X 0) este incrementul funcției și f (X 0) Δ x = d f(X 0) – funcție diferențială.

Prin urmare, obținem în sfârșit

Teorema 1. Fie funcția y = f(X) în punctul x 0 are o derivată finită f (X 0)≠0. Apoi pentru valori suficient de mici Δ x există egalitate aproximativă (1), care devine arbitrar precisă pentru Δ x→ 0.

Astfel, diferenţialul funcţiei la punct X 0 este aproximativ egal cu incrementul funcției în acest punct.

Deoarece apoi din egalitatea (1) se obţine

la Δ x→ 0 (2)

la x→ X 0 (2  )

Deoarece ecuația tangentei la graficul funcției y= f(x) la un moment dat X 0 arata ca

Că egalitățile aproximative (1)-(2) înseamnă geometric că în apropierea punctului x=x 0 graficul funcției y=f(X) se înlocuiește aproximativ cu o tangentă la curba y = f(X).

La valori suficient de mici increment complet funcțiile și diferența diferă ușor, adică . Această circumstanță este utilizată pentru calcule aproximative.

Exemplul 1. Calculați aproximativ .

Soluţie. Să luăm în considerare funcția și să punem X 0 = 4, X= 3,98. Apoi Δ x =x –x 0 = – 0,02, f(x 0)= 2. Din moment ce , atunci f (X 0)=1/4=0,25. Prin urmare, folosind formula (2) obținem în final: .

Exemplul 2. Folosind diferența unei funcții, determinați cât de aproximativ se va schimba valoarea funcției y=f(X)=(3x 3 +5)∙tg4 x când valoarea argumentului său scade X 0 = 0 cu 0,01.

Soluţie. Datorită (1), schimbarea funcției y = f(X) la un moment dat X 0 este aproximativ egal cu diferența funcției în acest punct pentru valori suficient de mici ale lui D x:

Să calculăm diferența funcției df(0). Il avem pe D x= –0,01. Deoarece f (X)= 9x 2 ∙tg4 x + ((3x 3 +5)/ cos 2 4 x)∙4, atunci f (0)=5∙4=20 și df(0)=f (0)∙Δ x= 20·(–0,01) = –0,2.

Prin urmare Δ f(0) ≈ –0,2, adică la scăderea valorii X 0 = 0 argument al funcției la 0,01 valoarea funcției în sine y=f(X) va scădea cu aproximativ 0,2.

Exemplul 3. Fie ca funcția de cerere pentru un produs să aibă forma . Trebuie să găsiți cantitatea cerută pentru un produs la un preț p 0 =3 unități monetare și stabiliți aproximativ cât de mult va crește cererea atunci când prețul unui produs scade cu 0,2 unități monetare.

Soluţie. La un pret p 0 =3 unități monetare volumul cererii Q 0 =D(p 0)=270/9=30 unități. bunuri. Modificarea prețului Δ p= –0,2 den. unitati Datorită (1) Δ Q (p 0) ≈ dQ (p 0). Să calculăm diferența în volumul cererii pentru un produs.

De atunci D (3) = –20 și

diferenţial de volum al cererii dQ(3) = D  (3)∙Δ p= –20·(–0,2) = 4. Prin urmare, Δ Q(3) ≈ 4, adică când prețul unui produs scade p 0 =3 la 0,2 unități monetare volumul cererii pentru produs va crește cu aproximativ 4 unități de produs și va deveni egal cu aproximativ 30 + 4 = 34 de unități de produs.

Întrebări de autotest

1. Ce se numește diferența unei funcții?

2. Care este sensul geometric al diferenţialului unei funcţii?

3. Enumeraţi principalele proprietăţi ale funcţiei diferenţiale.

3. Scrieți formule care vă permit să aflați valoarea aproximativă a unei funcții folosind diferența acesteia.

Conceptul de diferenţial

Lasă funcția y = f(x) este diferențiabilă pentru o anumită valoare a variabilei x. Prin urmare, la punctul x există o derivată finită

Apoi, prin definiția limitei unei funcții, diferența

este o valoare infinitezimală la . Exprimând incrementul funcției din egalitatea (1), obținem

(2)

(valoarea nu depinde de , adică rămâne constantă la ).

Dacă , atunci în partea dreaptă a egalității (2) primul termen este liniar în raport cu . Prin urmare, când

este infinitezimal de acelaşi ordin de micime ca . Al doilea termen este un infinitezimal mai mult ordin înalt mai mic decât primul, deoarece raportul lor tinde spre zero ca

Prin urmare, ei spun că primul termen al formulei (2) este partea principală, relativ liniară, a incrementului funcției; cu cât este mai mic, cu atât este mai mare proporția de increment pe care o formează această parte. Prin urmare, pentru valori mici (și pentru ), creșterea funcției poate fi aproximativ înlocuită cu partea sa principală, adică

Această parte principală a incrementului funcției se numește diferența acestei funcții la punctul x si denota

Prin urmare,

(5)

Deci, diferența funcției y = f(x) este egal cu produsul derivatei sale și incrementul variabilei independente.

Comentariu. Trebuie amintit că dacă x– valoarea inițială a argumentului,

Valoarea incrementată, apoi derivata din expresia diferențială este luată la punctul de plecare x; în formula (5) acest lucru este evident din dosar, în formula (4) nu este.

Diferenţialul unei funcţii se poate scrie sub altă formă:

Sensul geometric diferenţial. Diferenţial de funcţie y = f(x) este egală cu incrementul ordonatei tangentei trasate la graficul acestei funcții în punctul ( x; y), la schimbare x prin suma.

Proprietăți diferențiale. Invarianța formei diferențiale

În acest paragraf și în următoarele, vom considera că fiecare dintre funcții este diferențiabilă pentru toate valorile considerate ale argumentelor sale.

Diferenţialul are proprietăţi similare cu cele ale derivatei:

(C este o valoare constantă) (8)

(9)

(10)

(12)

Formulele (8) – (12) se obțin din formulele corespunzătoare pentru derivată prin înmulțirea ambelor părți ale fiecărei egalități cu .

Luați în considerare diferența functie complexa. Fie o funcție complexă:

Diferenţial

această funcție, folosind formula pentru derivata unei funcții complexe, poate fi scrisă sub forma

Dar există o funcție diferențială, deci

(13)

Aici diferența este scrisă în aceeași formă ca în formula (7), deși argumentul nu este o variabilă independentă, ci o funcție. Prin urmare, exprimarea diferenţialului unei funcţii ca produs al derivatei acestei funcţii şi diferenţialului argumentului acesteia este valabilă indiferent dacă argumentul este o variabilă independentă sau o funcţie a unei alte variabile. Această proprietate se numește invarianta(invarianta) formei diferentiale.

Subliniem că în formula (13) nu poate fi înlocuită cu , deoarece

pentru orice funcție cu excepția liniară.

Exemplul 2. Scrieți diferența funcției

în două moduri, exprimându-l: prin diferenţialul variabilei intermediare şi prin diferenţialul variabilei x. Verificați potrivirea expresiilor rezultate.

Soluţie. Să punem

iar diferenta va fi scrisa sub forma

Înlocuind în această egalitate

Primim

Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative

Egalitatea aproximativă stabilită la primul paragraf

vă permite să utilizați o diferență pentru calcule aproximative ale valorilor funcției.

Să scriem egalitatea aproximativă mai detaliat. Deoarece

Exemplul 3. Folosind conceptul de diferenţial, calculaţi aproximativ ln 1,01.

Soluţie. Numărul ln 1.01 este una dintre valorile funcției y= jurnal x. Formula (15) în acest caz ia forma

Prin urmare,

care este o aproximare foarte bună: valoarea tabelului ln 1,01 = 0,0100.

Exemplul 4. Folosind conceptul de diferenţial, calculaţi aproximativ

Soluţie. Număr
este una dintre valorile funcției

Deoarece derivata acestei funcţii

atunci formula (15) va lua forma

primim

(valoare tabelară

Folosind valoarea aproximativă a unui număr, trebuie să fii capabil să judeci gradul de precizie al acestuia. În acest scop, se calculează erorile sale absolute și relative.

Eroarea absolută a numărului aproximativ este valoare absolută diferența dintre numărul exact și valoarea sa aproximativă:

Eroarea relativă a unui număr aproximativ este raportul dintre eroarea absolută a acestui număr și valoarea absolută a numărului exact corespunzător:

Înmulțind cu 4/3, găsim

Luând valoarea tabelului rădăcinii

pentru numărul exact, estimăm folosind formulele (16) și (17) erorile absolute și relative ale valorii aproximative:

Prin analogie cu liniarizarea unei funcții a unei variabile, atunci când se calculează aproximativ valorile unei funcție a mai multor variabile care este diferențiabilă la un anumit punct, se poate înlocui incrementul acesteia cu o diferenţială. Astfel, puteți găsi valoarea aproximativă a unei funcții a mai multor (de exemplu, două) variabile folosind formula:

Exemplu.

Calculați valoarea aproximativă
.

Luați în considerare funcția
și alegeți X 0 = 1, la 0 = 2. Apoi Δ x = 1,02 – 1 = 0,02; Δ y = 1,97 – 2 = -0,03. Vom găsi
,

Prin urmare, având în vedere că f ( 1, 2) = 3, obținem:

Diferențierea funcțiilor complexe.

Lasă argumentele funcției z = f (x, y) uŞi v: x = x (u, v), y = y (u, v). Apoi funcția f exista si o functie de la uŞi v. Să aflăm cum să găsim derivatele sale parțiale în raport cu argumentele u Şi v, fără a face o înlocuire directă

z = f (x(u, v), y(u, v)).În acest caz, vom presupune că toate funcțiile luate în considerare au derivate parțiale în raport cu toate argumentele lor.

Să stabilim argumentul u creştere Δ u, fără a schimba argumentul v. Apoi

Dacă setați incrementul doar la argument v, obținem: .

(2,8) u Să împărțim ambele părți ale egalității (2.7) la Δ v, iar egalitățile (2.8) – pe Δ u→ și treceți la limită, respectiv, la Δ v→ 0 și Δ 0. Să luăm în considerare că datorită continuităţii funcţiilor X Şi la

. Prin urmare,

Să luăm în considerare câteva cazuri speciale. x = x(Lasă), y = y(Lasă). t f (x, y) Apoi funcția Lasă este de fapt o funcție a unei variabile XŞi Şi, și este posibil, folosind formulele (2.9) și înlocuind derivatele parțiale în acestea u De vŞi Lasă la derivatele obișnuite în ceea ce privește x(Lasă) (desigur, cu condiția ca funcțiile să fie diferențiabile y(Lasă) Şi :

(2.10)

), obțineți o expresie pentru Lasă Să presupunem acum că ca X actioneaza ca o variabila XŞi Şi, adică legate de relație y = y(x). fÎn acest caz, ca și în cazul precedent, funcția este o funcție a unei variabile X. Lasă = x Folosind formula (2.10) cu
și având în vedere că

. (2.11)

, înțelegem asta f Să fim atenți la faptul că această formulă conține două derivate ale funcției X prin argumentare : în stânga este așa-numitul derivat total

, spre deosebire de cel privat din dreapta.

Exemple.

Apoi din formula (2.9) obținem: X De Şi(În rezultatul final înlocuim expresii pentru uŞi v).

ca functii z = Să găsim derivata completă a funcției x + y păcat( y = ²), unde x.

cos

Folosind formulele (2.5) și (2.9), exprimăm diferența totală a funcției z = f (x, y) , Unde x = x(u, v), y = y(u, v), prin diferenţiale de variabile u De v:

(2.12)

Prin urmare, forma diferențială este păstrată pentru argumente uŞi v la fel ca și pentru funcțiile acestor argumente X X Şi, adică este invariant(neschimbabil).

Funcții implicite, condiții pentru existența lor. Diferențierea funcțiilor implicite. Derivate parțiale și diferențiale de ordin superior, proprietățile lor.

Definiție 3.1. Funcţie Şi din X, definit de ecuație

F(x,y)= 0 , (3.1)

numit funcţie implicită.

Desigur, nu orice ecuație de forma (3.1) determină Şi ca o funcție unică (și, în plus, continuă) a X. De exemplu, ecuația elipsei

seturi Şi ca o funcţie cu două valori a X:
Pentru

Condițiile de existență a unei funcții implicite unice și continue sunt determinate de următoarea teoremă:

Teorema 3.1 (nicio dovadă). Lasă:

a) într-o vecinătate a punctului ( X 0 , y 0 ) ecuația (3.1) definește Şi ca o funcţie cu valoare unică a X: y = f(x) ;

b) când x = x 0 această funcție ia valoarea Şi 0 : f (x 0 ) = y 0 ;

c) funcţia f (x) continuu.

Să găsim, dacă sunt îndeplinite condițiile specificate, derivata funcției y = f (x) , și este posibil, folosind formulele (2.9) și înlocuind derivatele parțiale în acestea X.

Teorema 3.2. Lasă funcția Şi din X este dat implicit de ecuația (3.1), unde funcția F (x, y) îndeplineşte condiţiile teoremei 3.1. Să, în plus,
- funcții continue în anumite zone D conţinând un punct (x,y), ale căror coordonate satisfac ecuația (3.1), iar în acest punct
. Apoi funcția Şi din X are un derivat

(3.2)

Exemplu. Vom găsi , Dacă
. Vom găsi
,
.

Apoi din formula (3.2) obținem:
.

Derivate și diferențiale de ordin superior.

Funcții derivate parțiale z = f (x, y) sunt, la rândul lor, funcţii ale variabilelor XŞi Şi. Prin urmare, se pot găsi derivatele lor parțiale în raport cu aceste variabile. Să le desemnăm astfel:

Astfel, se obțin patru derivate parțiale de ordinul 2. Fiecare dintre ele poate fi diferențiat din nou în funcție de X iar prin Şiși obțineți opt derivate parțiale de ordinul 3 etc. Să definim derivatele de ordin superior după cum urmează:

Definiție 3.2.Derivată parțialăn -a ordine o funcție a mai multor variabile se numește prima derivată a derivatei ( n– Ordinul 1).

Derivatele parțiale au o proprietate importantă: rezultatul diferențierii nu depinde de ordinea diferențierii (de exemplu,
). Să demonstrăm această afirmație.

Teorema 3.3. Dacă funcţia z = f (x, y) și derivatele sale parțiale
definită şi continuă într-un punct M(x,y)și în unele din vecinătatea ei, apoi în acest punct

(3.3)

Consecinţă. Această proprietate este valabilă pentru derivate de orice ordin și pentru funcții ale oricărui număr de variabile.

Diferenţial funcţionează la un punct numită principală, liniară în raport cu incrementul argumentului
parte a incrementului de funcție
, egal cu produsul derivatei funcției din punct pentru creșterea variabilei independente:

De aici și creșterea funcției
diferită de diferența sa
pe termen nelimitat cantitate mică iar pentru valori suficient de mici putem lua în considerare
sau

Formula dată este folosită în calcule aproximative, iar cea mai mică
, cu atât formula este mai precisă.

Exemplul 3.1. Calculați aproximativ

Soluţie. Luați în considerare funcția
. Aceasta este o funcție de putere și derivata ei

Ca trebuie să luați un număr care îndeplinește următoarele condiții:

Sens
cunoscut sau destul de ușor de calculat;

Număr ar trebui să fie cât mai aproape posibil de numărul 33,2.

În cazul nostru, aceste cerințe sunt îndeplinite de număr = 32, pentru care
= 2,
= 33,2 -32 = 1,2.

Folosind formula, găsim numărul necesar:

+
.

Exemplul 3.2. Găsiți timpul necesar pentru a dubla un depozit bancar dacă rata dobânzii bancare pentru anul este de 5% pe an.

Soluţie. Pe parcursul unui an, contribuția crește cu
odata si pentru ani, contribuția va crește cu
dată. Acum trebuie să rezolvăm ecuația:
=2. Luând logaritmi, ajungem unde
. Obținem o formulă aproximativă de calcul
. crezând
, vom găsi
iar în conformitate cu formula aproximativă. În cazul nostru
(desigur, cu condiția ca funcțiile să fie diferențiabile
. De aici. Deoarece
, găsiți timp pentru a dubla contribuția
ani.

Întrebări de autotest

1. Dați definiția diferenţialului unei funcţii într-un punct.

2. De ce este aproximativă formula folosită pentru calcule?

3. Ce condiții trebuie să îndeplinească numărul? incluse în formula de mai sus?

Sarcini pentru munca independentă

Calculați valoarea aproximativă
, înlocuind la punct
creșterea funcției
diferenţialul său.

Tabelul 3.1

Numărul opțiunii

4 .Studierea funcțiilor și construirea graficelor acestora

Dacă o funcție a unei variabile este dată ca formulă
, atunci domeniul definiției sale este un astfel de set de valori ale argumentului , pe care sunt definite valorile funcției.

Exemplul 4.1. Valoarea funcției
sunt definite numai pentru valorile nenegative ale expresiei radicale:
. Prin urmare domeniul de definire al funcției este semiintervalul, deoarece valoarea funcției trigonometrice
satisface inegalitatea: -1
1.

Funcţie
numit chiar, dacă pentru orice valoare din domeniul său de definire egalitatea

X ciudat, dacă o altă relație este adevărată:
. În alte cazuri, funcția este apelată funcţie vedere generală.

Exemplul 4.4. Să luăm în considerare câteva cazuri speciale.
. Să verificăm: . Astfel, această funcție este uniformă.

Pentru funcție
corect. Prin urmare, această funcție este impară.

Suma funcțiilor anterioare
este o funcție de formă generală, deoarece funcția nu este egală
(desigur, cu condiția ca funcțiile să fie diferențiabile
.

Asimptotă grafica functionala
este o dreaptă care are proprietatea că distanța de la un punct ( ;
) a planului până la această dreaptă tinde spre zero pe măsură ce punctul grafic se mișcă nelimitat de la origine. Există asimptote verticale (Fig. 4.1), orizontale (Fig. 4.2) și oblice (Fig. 4.3).

Orez. 4.1. Programa

Orez. 4.2. Programa

Orez. 4.3. Programa

Asimptotele verticale ale unei funcții ar trebui căutate fie în punctele de discontinuitate de al doilea fel (cel puțin una dintre limitele unilaterale ale funcției într-un punct este infinită sau nu există), fie la capetele domeniului său de definire.
, Dacă
– numere finite.

Dacă funcţia
este definită pe întreaga linie numerică și există o limită finită
, sau
, apoi linia dreaptă dată de ecuație
, este o asimptotă orizontală dreaptă și linia dreaptă
- asimptotă orizontală din stânga.

Dacă există limite finite

X
,

atunci e drept
este asimptota înclinată a graficului funcției. Asimptota oblică poate fi și pe partea dreaptă (
) sau stângaci (
).

Funcţie
se numește crescător pe platou
, dacă pentru vreunul
, astfel încât >, inegalitatea este valabilă:
>
(scădere dacă:
<
). Multe
în acest caz se numește intervalul de monotonitate al funcției.

Următoarea condiţie suficientă pentru monotonitatea unei funcţii este valabilă: dacă derivata unei funcţii diferenţiabile în interiorul mulţimii
este pozitivă (negativă), atunci funcția crește (descrește) pe această mulțime.

Exemplul 4.5. Dată o funcție
. Găsiți intervalele sale de creștere și scădere.

Soluţie. Să-i găsim derivatul
. Este evident că >0 la >3 și <0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) și crește cu (3;
).

Punct numit un punct maxim local (minimum) funcții
, dacă în vreo vecinătate a punctului inegalitatea este valabilă
(
) . Valoarea funcției la un punct numit maxim (minimum). Funcțiile maxime și minime sunt unite printr-un nume comun extremum funcții.

Pentru functia
avea un extremum la punct este necesar ca derivata sa în acest punct să fie egală cu zero (
) sau nu a existat.

Sunt numite punctele în care derivata unei funcții este egală cu zero staţionar puncte de funcționare. Nu trebuie să existe un extremum al funcției într-un punct staționar. Pentru a găsi extreme, este necesar să se examineze suplimentar punctele staționare ale funcției, de exemplu, utilizând condiții suficiente pentru extrem.

Prima dintre ele este că dacă, la trecerea printr-un punct staționar De la stânga la dreapta, derivata funcției diferențiabile își schimbă semnul din plus în minus, apoi se atinge un maxim local în punct. Dacă semnul se schimbă de la minus la plus, atunci acesta este punctul minim al funcției.

Dacă semnul derivatei nu se schimbă la trecerea prin punctul studiat, atunci nu există un extremum în acest punct.

A doua condiție suficientă pentru extremul unei funcții într-un punct staționar folosește derivata a doua a funcției: dacă
<0, тоeste punctul maxim, iar dacă
>0, atunci - punct minim. La
=0 întrebarea despre tipul de extremum rămâne deschisă.