PRELEȚIA 6-7. Elemente de geometrie analitică.

Suprafețele și ecuațiile lor.

Exemplul 1.

Sferă .

Exemplul 2.

F(x,y,z)=0(*),

Aceasta - ecuația suprafeței

Exemple:

x 2 + y 2 – z 2 = 0 (con)

Avion.

Ecuația unui plan care trece prin punct dat perpendicular pe un vector dat.

Să luăm în considerare un avion în spațiu. Fie M 0 (x 0 , y 0 , z 0) – punct dat planul P, a este un vector perpendicular pe planul ( vector normal avion).

(1) – ecuația vectorială a planului.

În formă de coordonate:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0 (2)

Am obținut ecuația unui plan care trece printr-un punct dat.

Ecuația generală a planului.

Să deschidem parantezele din (2): Ax + By + Cz + (-Ax 0 – By 0 – Cz 0) = 0 sau

Ax + By + Cz + D = 0 (3)

Ecuația rezultată a planului liniar, adică Ecuația de gradul I în raport cu coordonatele x, y, z. Prin urmare, avionul este suprafață de ordinul întâi .

Declaraţie: Orice ecuație liniară în raport cu x, y, z definește un plan.

Orice avion m.b. este dat de ecuația (3), care se numește ecuația generală a planului.

Cazuri speciale ale ecuației generale.

a) D=0: Ax + By + Cz = 0. Deoarece coordonatele punctului O(0, 0, 0) satisfac această ecuație, apoi planul specificat de aceasta trece prin origine.

b) C=0: Ax + By + D = 0. În acest caz, vectorul normal al planului , deci avionul, dat de ecuaţie paralel cu axa OZ.

c) C=D=0: Ax + By = 0. Planul este paralel cu axa OZ (deoarece C=0) și trece prin originea coordonatelor (din moment ce D=0). Aceasta înseamnă că trece prin axa OZ.

d) B=C=0: Ax + D = 0 sau . Vector, adică Și . În consecință, planul este paralel cu axele OY și OZ, adică. este paralelă cu planul YOZ și trece prin punctul .

Luați în considerare singuri cazurile: B=0, B=D=0, A=0, A=D=0, A=C=0, A=B=0/

Ecuația unui plan care trece prin trei puncte date.

Deoarece toate cele patru puncte aparțin planului, atunci acești vectori sunt coplanari, adică. produsul lor amestecat este zero:

Am obținut ecuația unui plan care trece prin trei puncte sub formă de vector.

În formă de coordonate:

(7)

Dacă extindem determinantul, obținem ecuația planului sub forma:

Ax + By + Cz + D = 0.

Exemplu. Scrieți ecuația planului care trece prin punctele M 1 (1,-1,0);

M2 (-2,3,1) şi M3 (0,0,1).

, (x - 1) 3 - (y + 1)(-2) + z 1 = 0;

3x + 2y + z – 1 = 0.

Ecuația unui plan în segmente

Să fie dată ecuația generală a planului: Ax + By + Cz + D = 0 și D ≠ 0, adică. avionul nu trece prin origine. Împărțiți ambele părți cu –D: și notează: ; ; . Apoi

primit ecuație plană în segmente .

unde a, b, c sunt valorile segmentelor tăiate de planul pe axele de coordonate.

Exemplul 1. Scrieți ecuația planului care trece prin punctele A(3, 0, 0);

B(0, 2, 0) și C(0, 0, -3).

a=3; b=2; c=-3, sau 2x + 3y - 2z – 6 = 0.

Exemplul 2. Găsiți valorile segmentelor tăiate de plan

4x – y – 3z – 12 = 0 pe axele de coordonate.

4x – y – 3z = 12 a=3, b=-12, c=-4.

Ecuație plană normală.

Fie dat un anumit plan Q De la originea coordonatelor, trageți o perpendiculară OP pe plan. Fie |OP|=p și vector : . Să luăm punctul curent M(x, y, z) al planului și să calculăm produs punctual vectori şi : .

Dacă proiectăm punctul M pe direcția , atunci vom ajunge la punctul P.T.O., obținem ecuația

(9).

Stabilirea unei linii în spațiu.

Linia L în spațiu poate fi definită ca intersecția a două suprafețe. Fie punctul M(x, y, z) situat pe dreapta L aparține atât suprafeței P1, cât și suprafeței P2. Atunci coordonatele acestui punct trebuie să satisfacă ecuațiile ambelor suprafețe. Prin urmare, sub ecuația dreptei L în spațiu înțelegeți un set de două ecuații, fiecare dintre ele fiind ecuația suprafeței corespunzătoare:

Linia L conține acele și numai acele puncte ale căror coordonate satisfac ambele ecuații din (*). Mai târziu ne vom uita la alte moduri de a defini linii în spațiu.

O grămadă de avioane.

O grămadă de avioane– mulţimea tuturor planurilor care trec printr-o dreaptă dată – axa fasciculului.

Pentru a defini un pachet de planuri, este suficient să specificați axa acestuia. Fie dată ecuația acestei drepte în vedere generală:

.

Scrieți o ecuație a fasciculului- înseamnă a alcătui o ecuație din care, cu o condiție suplimentară, se poate obține ecuația oricărui plan al fasciculului, cu excepția, b.m. unul. Să înmulțim ecuația II cu l și să o adăugăm la ecuația I:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + l(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) sau

(A1 + lA2)x + (B1 + lB2)y + (C1 + lC2)z + (D1 + lD2) = 0 (2).

l – parametru – un număr care poate lua valori reale. Pentru orice valoare aleasă a lui l, ecuațiile (1) și (2) sunt liniare, adică. acestea sunt ecuațiile unui anumit plan.

1. Vă vom arăta că acest plan trece prin axa fasciculului L. Luați un punct arbitrar M 0 (x 0, y 0, z 0) L. În consecință, M 0 P 1 și M 0 P 2. Mijloace:

În consecință, planul descris de ecuația (1) sau (2) aparține fasciculului.

2. Se poate dovedi și contrariul: orice plan care trece prin dreapta L este descris de ecuația (1) cu o alegere corespunzătoare a parametrului l.

Exemplul 1. Scrieți ecuația unui plan care trece prin dreapta de intersecție a planelor x + y + 5z – 1 = 0 și 2x + 3y – z + 2 = 0 și prin punctul M(3, 2, 1).

Scriem ecuația fasciculului: x + y + 5z – 1 + l(2x + 3y – z + 2) = 0. Pentru a găsi l, ținem cont că M R:

Orice suprafață din spațiu poate fi considerată ca un loc de puncte care are o proprietate comună tuturor punctelor.

Exemplul 1.

Sferă – un set de puncte echidistante de un punct dat C (centru). С(x 0 ,y 0 ,z 0). Prin definiție |CM|=R sau sau . Această ecuație este valabilă pentru toate punctele sferei și numai pentru ele. Dacă x 0 =0, y 0 =0, z 0 =0, atunci .

Într-un mod similar, puteți crea o ecuație pentru orice suprafață dacă este selectat un sistem de coordonate.

Exemplul 2. x=0 – ecuația planului YOZ.

Exprimând definiția geometrică a unei suprafețe în termeni de coordonatele punctului său curent și adunând toți termenii într-o singură parte, obținem o egalitate de formă

F(x,y,z)=0(*),

Aceasta - ecuația suprafeței , dacă coordonatele tuturor punctelor de pe suprafață satisfac această egalitate, dar coordonatele punctelor care nu se află pe suprafață nu.

Astfel, fiecare suprafață din sistemul de coordonate selectat are propria sa ecuație. Cu toate acestea, nu fiecare ecuație de forma (*) corespunde unei suprafețe în sensul definiției.

Exemple:

2x – y + z – 3 = 0 (plan)

x 2 + y 2 – z 2 = 0 (con)

x 2 + y 2 +3 = 0 – coordonatele niciunui punct nu satisfac.

x 2 + y 2 + z 2 =0 – singurul punct (0,0,0).

x 2 = 3y 2 = 0 – linie dreaptă (axa OZ).

Ecuaţie
suprafete
F(x,y,z)=0
.

Avion. Ecuația unui plan cu punct și vector normal

Poziția avionului în spațiu
poate fi determinat prin setarea unora
punctul M0 din plan și orice
vector normal. Normal
un vector plan este oricare
vector perpendicular pe acesta
avion.

Fie punctul M0(x0,y0,z0) să se afle în plan.
Să introducem un punct arbitrar în considerare
planul M(x,y,z).
z
n(A,B,C)
M
y
M0
x

Vectorii n(A, B, C) și M 0 M (x x0 , y y0 , z z0)
ortogonală.
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Ecuația unui plan cu punct și
vector normal.

Exemplul 1:

trecând prin punctul M(2,3,-1)
perpendicular pe vectorul n(1,2, 3)
Soluţie:
După formula: 1(x-2)+2(y-3)-3(z+1)=0
sau x+2y-3z-11=0

Exemplul 2:
Scrieți ecuația planului,
trecând prin punctul M(1,0,0)
perpendicular pe vectorul n(2,0,1) .
Soluţie:
Se obține: 2(x-1)+0(y-0)+1(z-0)=0
sau 2x+z-2=0.

Ecuația planului general

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, să-l extindem
paranteze și notăm –Aх0-Ву0-Сz0=D.
Să prezentăm ecuația celor luate în considerare
avion pentru a vedea:
Ax+By+Cz+D=0 - ecuația generală a planului.
Coeficienții A, B, C sunt
coordonate vectoriale normale
avion.

Cazuri speciale ale ecuației planului general

1. Fie A=0, B,C,D≠0. Apoi: By+Cz+D=0.
Vector plan normal n(0, B, C)
perpendicular pe axa OX și, prin urmare,
planul este paralel cu axa OX.
z
y
x

Ecuațiile Ax+Cz+D=0 și Ax+By+D=0
exprimă plane paralele cu axele amplificatorului operațional
și OZ.
2. D=0, A,B,C≠0. Ecuația plană:
Ax+By+Cz=0. Punctul O(0,0,0) satisface
ecuația plană. Ecuația se stabilește
plan care trece prin origine
coordonate
3. A=0, D=0, B,C≠0. Ecuația plană:
Prin+Cz=0. Avionează în același timp
paralel cu axa OX și trece prin început
coordonate, adică trece prin axa OX.

Similar cu ecuațiile Ax+Cz=0 și Ax+By=0
planuri expres care trec prin axe
OY și OZ.
4. A=0, B=0, C,D≠0. Ecuația plană:
Cz+D=0. Avionează în același timp
paralel cu axele OX și OU, adică coordona
avion OXY. Similar cu Eq.
Prin+D=0 și Ax+D=0 exprimă planele,
paralel cu planurile de coordonate OXZ
și OYZ.

Exemplu:
Z=3
z
3
y
x

A=0, B=0, D=0, C≠0.
Ecuație plană: Cz=0 sau z=0. Acest
planul este simultan paralel
planul de coordonate OXY, adică se
planul de coordonate OXY. De asemenea:
y=0 și x=0 – ecuații de coordonate
avioanele OXZ și OYZ.

Ecuația unui plan care trece prin trei puncte date

Trei puncte nu pe aceeași linie M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3).
M(x,y,z) – punctul arbitrar al planului.
z
M2
M1
M3
M

Vectorii M1M, M 1M 2, M 1 M 3,
coplanare. S-au amestecat
produsul este zero.
x x1
x2 x1
y y1
y2 y1
z z1
z 2 z1 0
x3 x1
y3 y1
z3 z1
Aceasta este ecuația dorită a planului,
trecând prin trei puncte date.

Exemplu. Scrieți ecuația planului,
trecând prin punctele M1(1,2,1),
M2(0,1,4), M3(-3,3,2).
Soluție: Folosind cea obținută
ecuație, avem:
x 1 y 2 z 1
1
4
2
1
3 0
1
Sau 4x+11y+5z-31=0

Unghiul dintre plane, condiția de paralelism și perpendicularitatea a două plane

Două planuri: A1x+B1y+C1z+D1=0 și
A2x+B2y+C2z+D2=0. Normalul lor
vectori n1 (A1, B1, C1), n2 (A2, B2, C2)
Unghiul dintre două plane
numit unghiul dintre normala lor
vectori
n1 n2
Cosω=
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22

Dacă planurile sunt perpendiculare, atunci ele
vectori normali de asemenea
perpendiculară și, prin urmare
produsul punctual este zero:
A1·A2+B1·B2+C1·C2=0.
Dacă planurile sunt paralele, atunci
vectorii lor normali sunt paraleli și
Aceasta înseamnă că sunt valabile următoarele relații:
A1 B1 C1
A2 B2 C2

Exemplu: scrieți ecuația planului,
trecând prin punctul M(0,1,4)
paralel cu planul 2x-4y-z+1=0.
Rezolvare: Vector normal al dat
avionul va fi normal
vector şi pentru planul dorit.
Folosim ecuația planului în punct
și vector normal:
2(x-0)-4(y-1)-(z-4)=0 sau 2x-4y-z+8=0.

.Distanţa de la punct la plan

găsiți distanța de la punctul M(x0,y0,z0) la
plan: Ax+By+Cz+D=0. Să renunțăm la subiect
M este perpendicular pe MK pe planul (d).
z
M
n
K
x
y

Fie punctul K să aibă coordonatele x1,y1,z1
n KM n KM d n
Sau n KM A(x0-x1)+B(y0-y1)+C(z0-z1)=
= Ax0+By0+Cz0-(Ax1+By1+Cz1).
Punctul K se află în plan
coordonatele satisfac ecuația
plan, adică Ax1+By1+Cz1+D=0.

Ținând cont de acest lucru, obținem: n KM
Ax0+By0+Cz0+D-(Ax1+By1+Cz1+D)=
Ax0+By0+Cz0+D.
Atunci: Ax0+By0+Cz0+D= d n ;
d
Ax0 Cu 0 Cz0 D
A B C
2
2
2

Exemplu:
Aflați distanța de la punctul M (-1,2,3) la
planul 2x-6y-3z+2=0.
Soluţie:
Să folosim formula și să înlocuim în
ecuația planului de coordonate
punct dat:
d
2 (1) (6) 2 3 (3) 2
2 2 (6) 2 32
21
=
=3
7

Ecuații generale ale unei drepte în spațiu

Se consideră o linie dreaptă în spațiu
ca linia de intersecție a două plane.
A1 x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2 0
Sistemul stabilește o linie dreaptă dacă
planurile nu sunt paralele,
A1 B1 C1
A2 B2 C 2

Ecuații canonice ale unei drepte în spațiu

Poziția liniei L în spațiu
determinat fără ambiguitate dacă este cunoscut
un punct M0(x0,y0,z0) întins
linia dreaptă L și este dat un vector de direcție
S(m,n,p)
S
M
M0

M(x,y,z) este un punct arbitrar pe acesta
direct. Apoi vectorii
M 0 M =(x-x0, y-y0, z-z0) și S (m, n, p)
va fi coliniar:
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
- ecuații canonice ale dreptei în
spațiu sau ecuații ale unei linii drepte
vector punct și direcție.

Exemplul 1:

prin punctul M(1,2,3), paralel cu dreapta
x 1 y 7 z
2
5
3
Soluţie:
Deoarece dreptele sunt paralele, atunci S (2,5,3)
este vectorul de direcție și cel dorit
direct. Prin urmare:
x 1 y 2 z 3
2
5
3

Exemplul 2:
Scrieți ecuația dreptei L care trece
prin punctul M(1,2,3) și având
vector de direcție S (2,0,5)
Soluţie:
Să folosim formula:
x 1 z 3
Şi
2
5
y-2=0,
adică 5x-2z+1=0 și y=2. Aceasta înseamnă că
linia dreaptă se află în planul y=2

Ecuațiile unei drepte în spațiu din două puncte

Sunt date două puncte M1(x1,y1,z1) și M2(x2,y2,z2).
Scrieți ecuația dreptei care trece prin
prin două puncte.
M1
M2

Linia dreaptă trece prin punctul M1 și are
ca vector de direcție M 1M 2
Ecuația arată astfel:
x x1
y y1
z z1
x2 x1 y 2 y1 z 2 z1
Exemplu: scrieți ecuația dreptei,
trecând prin punctele M1(1,4,-3) și
M2(2,1,1).
Soluție: Să folosim formula
x 2 y 1 z 1
1
3
4

Ecuații parametrice ale unei linii în spațiu

Luați în considerare ecuațiile canonice
linie dreaptă: x x0 y y0 z z 0
m
n
p
Să introducem parametrul t:
x x0 y y 0 z z 0
t
m
n
p
-∞ < t <+∞.

Primim:
x x0
t
da m y
0
t
n
z z0 t
p
sau
x x0 mt
y y0 nt
z z pct
0
ecuații parametrice ale unei linii drepte în
spaţiu. În această formă sunt adesea
utilizat în mecanică și fizică, parametrul t,
de obicei, timp.

Reducerea ecuațiilor generale ale unei linii drepte în spațiu la formă canonică

Ecuațiile generale ale dreptei sunt date în
spaţiu
A1 x B1 y C1 z D1 0 (1)
A2 x B2 y C2 z D2 0
Aduceți-le la forma canonică
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p

Pentru a rezolva problema aveți nevoie de:
1. găsiți coordonatele (x0,y0,z0) ale oricărei
un punct situat pe o linie
2. găsiți coordonatele (m,n,p) ale ghidajului
vector al acestei linii.
Pentru a găsi coordonatele punctului M0 dăm
una dintre coordonate este o valoare numerică arbitrară
valoare, de exemplu presupunem x=x0. Aducând-o înăuntru
în sistemul (1), obținem un sistem de doi
ecuații cu necunoscute y și z. Să rezolvăm.
Drept urmare, a fost găsit un punct pe linie
M0(x0,y0,z0).

Ca vector de direcție pe care îl luăm
vector care este rezultatul
produs vectorial al normalului
vectorii a două planuri.
S (m, n, p) n1 n2
i
A1
j
B1
A2
B2
k
B1
C1
B2
C2
C1
C2
i
A1
C1
A2
C2
j
A1
B1
A2
B2
k

Obținem coordonatele ghidului
vector:
A1 B1
A1 C1
B1 C1
p
n
m
A2 B2
A2 C2
B2 C2
Ecuații generale direct, scris în
forma canonica:
x x0
y y0
z z0
B1 C1
C1 A1
A1 B1
B2
C2
C2
A2
A2
B2

Exemplu: Scrieți ecuația canonică
direct
x 2 y z 5 0
x y z 1 0
Soluție: Să setăm z0=0. Apoi:
x 2 y 5
x y 1
Prin urmare: y0=-6, x0=7. Punctul M0 întins pe
linie dreaptă, are coordonatele: (7,-6,0).

Să găsim vectorul direcție. Normal
vectorii plani au coordonate
n1 (1,2, 1)
Apoi
n2 (1,1,1)
eu j k
S n1 n2 1 2 1 3i 2 j k
1 1
1
Ecuațiile canonice ale dreptei au forma:
x 7 y 6 z
3
2
1

Unghiul dintre două drepte în spațiu, condiția de perpendicularitate și paralelism al dreptelor

liniile L1 si L2 sunt date in forma canonica cu
vectori de direcție
S1 (m1, n1, p1) și S2 (m2, n2, p2)
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y 2 z z 2
m2
n2
p2

Unghiul dintre două drepte se numește unghi
între vectorii lor de direcție.
S1 S 2
cos(L1, L2) cos(S1, S2)
S1 S 2
cos(L1, L2)
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22

Liniile sunt perpendiculare dacă
vectorii lor de direcție sunt perpendiculari:
Adică S1 S2 0 sau
m1m2+n1n2+p1p2=0.
Liniile sunt paralele dacă sunt paralele
vectori de direcție:
m1 n1
p1
m2 n 2 p 2

Exemplu: Găsiți unghiul dintre linii
x 2 y 7
z
1
3
2
Şi
x 10 y 3 z 5
4
1
2
Rezolvare: Vectorii de direcție ai liniilor drepte
au coordonatele: (1,3,-2) și (4,1,2).
Prin urmare,
1 4 3 1 (2) 2
3
cos(L1, L2)
1 9 4 16 1 4 7 16
3
(L1, L2) arccos
7 16

Unghiul dintre o linie dreaptă și un plan

Planul P este dat: Ax+By+Cz+D=0, și
drept L:
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
n
S
ω
φ

Unghiul dintre o linie dreaptă și un plan
numit unghiul φ dintre linie și proiecție
este într-un avion.
ω - unghiul dintre vectorul normal
plan și vector de direcție
direct. ω=π/2-φ. Atunci sinφ=cos(π/2-φ)=
=cosω. Dar cosω=cos (n, S)
Apoi
n S
sinφ= cos (n, S)
n S

sinφ =
Am Bn Cp
m 2 n 2 p 2 A2 B 2 C 2
Exemplu: Găsiți unghiul dintre o linie dreaptă:
x 2 y 1 z
3
2
6
și plan: 2x+y+2z-5=0.
Rezolvare: Vector plan normal
are coordonatele: (2,1,2), direcţionare
vectorul linie are coordonatele: (3,2,-6).
păcat
6 2 12
4
2
2
2
2
2
2
21
2 1 2 3 2 6

Condiția de perpendicularitate și paralelism a unei drepte și a unui plan.

x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
P
Linia L este dată:
iar planul P: Ax+By+Cz+D=0.
Dacă linia este paralelă cu planul, atunci
vector directie drept
perpendicular pe vectorul normal
avion.
S
n
L

Prin urmare, produsul lor scalar
egal cu zero: A·m+B·n+C·p=0.
Dacă linia este perpendiculară pe plan, atunci
acești vectori sunt paraleli.
S
n
R
L
În acest caz:
A B C
m n p

Exemplu:
Scrieți ecuația dreptei,
trecând prin punctul M(1,2,-3),
perpendicular pe plan
4x+2y-z+5=0.
Soluţie:
Deoarece planul este perpendicular
drept, apoi un vector normal și
vector de direcție paralel:
x 1 y 2 z 3
4
2
1

Să ne uităm la o problemă tipică.
Având în vedere vârfurile piramidei ABCD: A(1,0,0);
B(0,2,0); C(0,0,3), D(2,3,4). Găsi:
1. Lungimea și ecuația muchiei AB,
2. Ecuația și aria feței ABC,
3. Ecuația și lungimea înălțimii au fost omise
de la vârful D la fața ABC,
4. Unghiul dintre muchia AD și fața ABC,
5. Volumul piramidei.

Desen:
z
D
C
B
O
x
y

1. Să introducem vectorul AB în considerare. Lui
coordonate: (0-1;2-0;0-0) sau (-1;2;0). Lungime
muchia AB este egală cu modulul vectorului.
AB= 1 4 0 5
Ecuația dreptei AB (ecuația dreptei de-a lungul
două puncte):
x 1 y
1 2
Sau 2x+y-2=0

2. Ecuația feței ABC (ecuația
plan în trei puncte):
x 1 y z
1 2 0 0
1
0 3
Prin urmare: (x-1)∙6-y∙(-3)+z∙2=0,
sau 6x+3y+2z-6=0.
Găsiți aria triunghiului ABC cu
folosind un produs vectorial
vectorii AB și AC

Coordonatele vectoriale AB =(-1;2;0),
vector AC =(-1,0,3).
1
SΔABC= AB AC
unități mp
2
Opera de artă vectorială:
i
jk
AB AC 1 2 0 6i 3 j 2k
1 0 3

Apoi
1
S ABC 6i 3 j 2k
2
1
7
36 9 4 3.5 q.åä.
2
2

Ecuația înălțimii - ecuația unei linii drepte
punctul D(2,3,4) și vectorul direcție. ÎN
ca vector ghid –
vector normal al feței ABC: n (6,3,2)
x 2 y 3 z 4
6
3
2
Pentru a afla lungimea înălțimii pe care o folosim
formula:
Ax0 Cu 0 Cz0 D
d
A2 B 2 C 2

Primim:
d
6 2 3 3 2 4 6
36 9 4
27
3
4. Unghiul dintre muchia AD și fața ABC.
Ecuația feței ABC: 6x+3y+2z-6=0,
un vector normal are coordonatele:
(6,3,2). Să scriem ecuațiile dreptei,
trecând prin punctele A(1,0,0) și D(2,3,4):
x 1 y 0 z 0
2 1 3 0 4 0

Această linie dreaptă are un vector de direcție cu
coordonate: (1,3,4). Apoi
păcat
=
Am Bn Cp
m n p A B C
2
2
2
2
6 1 3 3 2 4
12 32 4 2 6 2 32 2 2
arcsin
2
23
7 26
2
=
23
23
26 7 7 26

5. Volumul piramidei este 1/6 din volum
paralelipiped construit pe
vectori, ca pe laturi. Noi folosim
produs mixt al vectorilor.
Coordonatele vectoriale: AB =(-1,2,0),
AC○ =(-1,0,3), AD =(1,3,4)
○ Vparalelepiped
1 2 0
1 0 3 23
1
3 4
○ Vpiramide=23/6 unități cubice

Ecuațiile canonice ale unei linii în spațiu sunt ecuații care definesc o dreaptă care trece printr-un punct dat, coliniar cu vectorul de direcție.

Fie dat un punct și un vector direcție. Un punct arbitrar se află pe o dreaptă l numai dacă vectorii și sunt coliniari, adică condiția este îndeplinită pentru ei:

.

Ecuațiile de mai sus sunt ecuațiile canonice ale dreptei.

Numerele m , nŞi p sunt proiecții ale vectorului direcție pe axele de coordonate. Deoarece vectorul este diferit de zero, atunci toate numerele m , nŞi p nu poate fi simultan egal cu zero. Dar unul sau două dintre ele se pot dovedi a fi zero. În geometria analitică, de exemplu, este permisă următoarea intrare:

,

ceea ce înseamnă că proiecţiile vectorului pe axă OiŞi Oz sunt egale cu zero. Prin urmare, atât vectorul cât și linia definită de ecuațiile canonice sunt perpendiculare pe axele OiŞi Oz, adică avioane yOz .

Exemplul 1. Scrieți ecuații pentru o dreaptă în spațiu perpendiculară pe un plan şi trecând prin punctul de intersecţie a acestui plan cu axa Oz .

Soluţie. Să găsim punctul de intersecție al acestui plan cu axa Oz. Din moment ce orice punct situat pe axă Oz, are coordonatele , atunci, presupunând în ecuația dată a planului x = y = 0, obținem 4 z- 8 = 0 sau z= 2 . Prin urmare, punctul de intersecție al acestui plan cu axa Oz are coordonatele (0; 0; 2) . Deoarece linia dorită este perpendiculară pe plan, este paralelă cu vectorul său normal. Prin urmare, vectorul de direcție al dreptei poate fi vectorul normal avion dat.

Acum să scriem ecuațiile necesare ale unei drepte care trece printr-un punct O= (0; 0; 2) în direcția vectorului:

Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date

O linie dreaptă poate fi definită prin două puncte aflate pe ea Şi În acest caz, vectorul de direcție al dreptei poate fi vectorul . Atunci ecuațiile canonice ale dreptei iau forma

.

Ecuațiile de mai sus determină o dreaptă care trece prin două puncte date.

Exemplul 2. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă din spațiu care trece prin punctele și .

Soluţie. Să notăm ecuațiile de linie dreaptă necesare în forma dată mai sus în referința teoretică:

.

Deoarece , atunci linia dreaptă dorită este perpendiculară pe axă Oi .

Drept ca linia de intersecție a planelor

O linie dreaptă în spațiu poate fi definită ca linia de intersecție a două plane neparalele și, adică, ca o mulțime de puncte care satisfac un sistem de două ecuații liniare

Ecuațiile sistemului sunt numite și ecuații generale ale unei linii drepte în spațiu.

Exemplul 3. Alcătuiți ecuații canonice ale unei drepte în spațiu date de ecuații generale

Soluţie. Pentru a scrie ecuațiile canonice ale unei linii sau, ceea ce este același lucru, ecuațiile unei linii care trece prin două puncte date, trebuie să găsiți coordonatele oricăror două puncte de pe linie. Ele pot fi punctele de intersecție ale unei linii drepte cu oricare două plane de coordonate, de exemplu yOzŞi xOz .

Punct de intersecție a unei drepte și a unui plan yOz are o abscisă x= 0 . Prin urmare, presupunând în acest sistem de ecuații x= 0, obținem un sistem cu două variabile:

Decizia ei y = 2 , z= 6 împreună cu x= 0 definește un punct O(0; 2; 6) linia dorită. Apoi presupunând în sistemul dat de ecuații y= 0, obținem sistemul

Decizia ei x = -2 , z= 0 împreună cu y= 0 definește un punct B(-2; 0; 0) intersecția unei drepte cu un plan xOz .

Acum să scriem ecuațiile dreptei care trece prin puncte O(0; 2; 6) și B (-2; 0; 0) :

,

sau după împărțirea numitorilor la -2:

,

unghiul dintre planuri

Se consideră două plane α 1 și α 2, definite, respectiv, de ecuațiile:

Sub unghiîntre două plane vom înţelege unul dintre unghiurile diedrice formate de aceste plane. Este evident că unghiul dintre vectorii normali și planele α 1 și α 2 este egal cu unul dintre unghiurile diedrice adiacente indicate sau . De aceea . Deoarece Şi , Asta

.

Exemplu. Determinați unghiul dintre plane x+2y-3z+4=0 și 2 x+3y+z+8=0.

Condiție pentru paralelismul a două plane.

Două plane α 1 și α 2 sunt paralele dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt paraleli și, prin urmare .

Deci, două plane sunt paralele între ele dacă și numai dacă coeficienții coordonatelor corespunzătoare sunt proporționale:

sau

Condiția de perpendicularitate a planurilor.

Este clar că două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt perpendiculari și, prin urmare, sau .

Astfel, .

Exemple.

DREPT ÎN SPAȚIU.

ECUAȚIE VECTORALĂ PENTRU O LINIE.

ECUATII DIRECTE PARAMETRICE

Poziția unei linii în spațiu este complet determinată prin specificarea oricăruia dintre punctele sale fixe M 1 și un vector paralel cu această dreaptă.

Se numeste un vector paralel cu o dreapta ghiduri vector al acestei linii.

Deci, lăsați linia dreaptă l trece printr-un punct M 1 (x 1 , y 1 , z 1), situată pe o dreaptă paralelă cu vectorul .

Luați în considerare un punct arbitrar M(x,y,z) pe o linie dreaptă. Din figură este clar că .

Vectori și sunt coliniare, deci există un astfel de număr t, ce , unde este multiplicatorul t poate lua orice valoare numerică în funcție de poziția punctului M pe o linie dreaptă. Factor t numit parametru. După ce au desemnat vectorii de rază ai punctelor M 1 și M respectiv, prin și , obținem . Această ecuație se numește vector ecuația unei linii drepte. Arată că pentru fiecare valoare a parametrului t corespunde vectorului raza unui punct M, întins pe o linie dreaptă.

Să scriem această ecuație sub formă de coordonate. Rețineți că, si de aici

Ecuațiile rezultate se numesc parametrice ecuațiile unei linii drepte.

La modificarea unui parametru t se schimbă coordonatele x, yŞi zși punct M se mișcă în linie dreaptă.

ECUAȚII CANONICE ALE DIRECTULUI

Lasă M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – un punct situat pe o linie dreaptă l, Și este vectorul său de direcție. Să luăm din nou un punct arbitrar pe linie M(x,y,z)și luați în considerare vectorul .

Este clar că vectorii sunt, de asemenea, coliniari, deci coordonatele lor corespunzătoare trebuie să fie proporționale, prin urmare,

– canonic ecuațiile unei linii drepte.

Nota 1. Rețineți că ecuațiile canonice ale dreptei pot fi obținute din cele parametrice prin eliminarea parametrului t. Într-adevăr, din ecuațiile parametrice obținem sau .

Exemplu. Scrieți ecuația dreptei în formă parametrică.

Să notăm , de aici x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Nota 2. Fie linia dreaptă perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, de exemplu axa Bou. Atunci vectorul direcție al dreptei este perpendicular Bou, prin urmare, m=0. În consecință, ecuațiile parametrice ale dreptei vor lua forma

Excluzând parametrul din ecuații t, obținem ecuațiile dreptei în forma

Totuși, și în acest caz, suntem de acord să scriem formal ecuațiile canonice ale dreptei în forma . Astfel, dacă numitorul uneia dintre fracții este zero, aceasta înseamnă că linia dreaptă este perpendiculară pe axa de coordonate corespunzătoare.

Similar cu ecuațiile canonice corespunde unei drepte perpendiculare pe axele BouŞi Oi sau paralel cu axa Oz.

Exemple.

ECUAȚII GENERALE ALE LINEILOR DREPTĂ CA LINII DE INTERSECȚIE A DOUA PLANURI

Prin fiecare linie dreaptă din spațiu există nenumărate avioane. Oricare două dintre ele, intersectându-se, îl definesc în spațiu. În consecință, ecuațiile oricăror două astfel de planuri, considerate împreună, reprezintă ecuațiile acestei drepte.

În general, oricare două plane neparalele definite de ecuațiile generale

determinați linia dreaptă a intersecției lor. Aceste ecuații se numesc ecuații generale direct.

Exemple.

Construiți o dreaptă dată de ecuații

Pentru a construi o linie dreaptă, este suficient să găsiți oricare dintre punctele sale. Cel mai simplu mod este să selectați punctele de intersecție ale unei linii drepte cu planuri de coordonate. De exemplu, punctul de intersecție cu planul xOy obţinem din ecuaţiile dreptei, presupunând z= 0:

După ce am rezolvat acest sistem, găsim ideea M 1 (1;2;0).

În mod similar, presupunând y= 0, obținem punctul de intersecție al dreptei cu planul xOz:

Din ecuațiile generale ale unei linii drepte se poate trece la ecuațiile ei canonice sau parametrice. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct M 1 pe o dreaptă și vectorul direcție al unei drepte.

Coordonatele punctului M 1 obținem din acest sistem de ecuații, dând uneia dintre coordonate o valoare arbitrară. Pentru a găsi vectorul direcție, rețineți că acest vector trebuie să fie perpendicular pe ambii vectori normali Şi . Prin urmare, dincolo de vectorul direcție al dreptei l puteți lua produsul vectorial al vectorilor normali:

.

Exemplu. Dați ecuații generale ale dreptei la forma canonică.

Să găsim un punct situat pe o linie. Pentru a face acest lucru, alegem în mod arbitrar una dintre coordonate, de exemplu, y= 0 și rezolvați sistemul de ecuații:

Vectorii normali ai planurilor care definesc dreapta au coordonate Prin urmare, vectorul direcție va fi drept

. Prin urmare, l: .

unghiul dintre drepte

Unghiîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

Evident, unghiul φ dintre drepte poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , folosind formula pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

Metoda grafică. Planul de coordonate (x;y)

Ecuațiile cu un parametru provoacă dificultăți logice serioase. Fiecare astfel de ecuație este în esență o versiune scurtă a unei familii de ecuații. Este clar că este imposibil să notăm fiecare ecuație dintr-o familie infinită, dar, cu toate acestea, fiecare dintre ele trebuie rezolvată. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este să utilizați o reprezentare grafică a dependenței unei variabile de un parametru.

Pe plan, funcția definește o familie de curbe în funcție de parametru. Ne va interesa ce transformare plană poate fi folosită pentru a trece la alte curbe ale familiei (vezi , , , , , , ).

Transfer paralel

Exemplu. Pentru fiecare valoare a parametrului, determinați numărul de soluții ale ecuației.

Soluţie. Să construim un grafic al funcției.

Să luăm în considerare. Aceasta este o linie dreaptă paralelă cu axa OX.

Răspuns. Dacă, atunci nu există soluții;

dacă, atunci 3 soluții;

dacă, atunci 2 soluții;

dacă, 4 soluții.

Întoarce-te

Trebuie remarcat imediat că alegerea unei familii de curbe nu este monotonă (spre deosebire de problemele în sine) sau, mai degrabă, este aceeași: în toate problemele - linii drepte. În plus, centrul de rotație aparține dreptei.

Exemplu. Pentru ce valori ale parametrului ecuația are o soluție unică?

Soluţie. Să luăm în considerare funcția și. Graficul celei de-a doua funcții este un semicerc cu un centru într-un punct cu coordonate și rază =1 (Fig. 2).

Arc AB.

Toate razele care trec între OA și OB se intersectează într-un punct, iar OB și OM (tangentă) se intersectează, de asemenea, într-un punct. Coeficienții unghiulari OA și, respectiv, OB sunt egali. Panta tangentei este egală cu. Se găsește ușor din sistem

Deci, familiile drepte au un singur punct comun cu un arc la.

Răspuns. .

Exemplu. În ce condiții are ecuația o soluție?

Soluţie. Să luăm în considerare funcția. Examinând-o pentru monotonitate, aflăm că crește pe interval și scade pe. Punct - este punctul maxim.

O funcție este o familie de drepte care trec printr-un punct. Să ne uităm la Figura 2. Graficul funcției este arcul AB. Dreaptele care vor fi situate între drepte OA și OB satisfac condițiile problemei. Coeficientul de pantă al dreptei OA este un număr, iar OB este .

Răspuns. Când ecuația are 1 soluție;

pentru alte valori ale parametrului nu există soluții.

Omotezia. Compresie la drept

Exemplu. Găsiți toate valorile parametrului pentru fiecare dintre care ecuația are exact 8 soluții.

Soluţie. Avem. Să luăm în considerare funcția. Primul dintre ele specifică o familie de semicercuri cu un centru într-un punct cu coordonate, al doilea o familie de drepte paralele cu axa absciselor.

Numărul de rădăcini va corespunde cu numărul 8 atunci când raza semicercului este mai mare și mai mică, adică. Rețineți că există.

Răspuns. sau.

Metoda grafică. Planul de coordonate (x;a)

În general, ecuațiile, care conțin un parametru, nu sunt prevăzute cu niciun sistem de soluții clar, proiectat metodic. Trebuie să căutați anumite valori ale parametrilor prin atingere, căutând, rezolvând un număr mare de ecuații intermediare. Această abordare nu asigură întotdeauna succesul în găsirea tuturor valorilor parametrului pentru care ecuația nu are soluții sau are una, două sau mai multe soluții. Adesea, unele valori ale parametrilor se pierd sau apar valori suplimentare. Pentru a face acestea din urmă, este necesar să se efectueze un studiu special care poate fi destul de dificil.

Să luăm în considerare o metodă care simplifică munca de rezolvare a ecuațiilor cu un parametru. Metoda este următoarea

1. Dintr-o ecuație cu o variabilă xși parametru o Să exprimăm parametrul în funcție de x: .

2. În planul de coordonate x O o construiți un grafic al funcției.

3. Luați în considerare liniile drepte și selectați acele intervale ale axei O o, pe care aceste drepte îndeplinesc următoarele condiții: a) nu intersectează graficul funcției, b) intersectează graficul funcției într-un punct, c) în două puncte, d) în trei puncte și așa mai departe.

4. Dacă sarcina este de a găsi valorile x, apoi ne exprimăm x prin o pentru fiecare dintre intervalele de valori găsite o separat.

Vederea unui parametru ca o variabilă egală este reflectată în metodele grafice. Astfel, apare un plan de coordonate. S-ar părea că un detaliu atât de nesemnificativ precum respingerea denumirii tradiționale a planului de coordonate prin litere xŞi y defineşte una dintre cele mai eficiente metode de rezolvare a problemelor cu parametri.

Metoda descrisă este foarte clară. În plus, aproape toate conceptele de bază ale cursului de algebră și principiile analizei își găsesc aplicare în el. Este implicat întregul set de cunoștințe asociate studiului unei funcții: aplicarea derivatei pentru determinarea punctelor extreme, găsirea limitei funcției, asimptote etc.. d. (vezi , , ).

Exemplu. La ce valori ale parametrilor ecuația are două rădăcini?

Soluţie. Să trecem la un sistem echivalent

Graficul arată că ecuația are 2 rădăcini.

Răspuns. Când ecuația are două rădăcini.

Exemplu. Găsiți mulțimea tuturor numerelor pentru fiecare dintre care ecuația are doar două rădăcini diferite.

Soluţie. Să rescriem această ecuație în următoarea formă:

Acum este important să nu ratați asta și - rădăcinile ecuației originale numai cu condiția. Să acordăm atenție faptului că este mai convenabil să construim un grafic pe un plan de coordonate. În figura 5, graficul dorit este o unire de linii continue. Aici răspunsul este „citește” prin linii verticale.

Răspuns. La, sau, sau.