Sensul geometric al diferenţialului total al unei funcţii de mai multe variabile. Increment complet și diferențial complet

05.07.2020

Cărămidă

Simțul geometric diferenţial complet funcția a două variabile f(x, y) în punctul (x 0, y 0) este incrementul aplicatei (coordonatele z) ale planului tangent la suprafață atunci când se trece de la punctul (x 0, y 0) la punctul (x 0 + Dx, y 0 +Dу).

Derivate parțiale de ordin superior. : Dacă o funcție f(x, y) este definită într-un domeniu D, atunci derivatele sale parțiale vor fi, de asemenea, definite în același domeniu sau o parte a acestuia. Vom numi aceste derivate derivate parțiale de ordinul întâi.

Derivatele acestor funcții vor fi derivate parțiale de ordinul doi.

Continuând să diferențiem egalitățile rezultate, obținem derivate parțiale de ordin superior. Definiţie. Derivate parțiale ale formei etc. se numesc derivate mixte. teorema lui Schwartz:

Dacă derivate parțiale de ordin superior f.m.p. sunt continue, atunci derivatele mixte de același ordin diferă doar în ordinea diferențierii = între ele.

Aici n este puterea simbolică a derivatei, care este înlocuită cu puterea reală după ridicarea expresiei dintre paranteze la aceasta.

14. Ecuația planului tangent și normala suprafeței!

Fie N și N 0 puncte ale acestei suprafețe. Să desenăm o linie dreaptă NN 0. Se numeste planul care trece prin punctul N 0 plan tangent la suprafață dacă unghiul dintre secanta NN 0 și acest plan tinde spre zero, când distanța NN 0 tinde spre zero.

Definiţie. Normal fata de suprafata in punctul N 0 este o dreapta care trece prin punctul N 0 perpendicular pe planul tangent la aceasta suprafata.

În orice punct suprafața are fie un singur plan tangent, fie nu îl are deloc.

Dacă suprafața este dată de ecuația z = f(x, y), unde f(x, y) este o funcție derivabilă în punctul M 0 (x 0, y 0), plan tangentîn punctul N 0 (x 0 ,y 0, (x 0 ,y 0)) există și are ecuația:

Ecuația normalei la suprafață în acest punct:

Simțul geometric diferența totală a unei funcții a două variabile f(x, y) în punctul (x 0, y 0) este incrementul aplicatei (coordonatele z) ale planului tangent la suprafață la deplasarea din punctul (x 0). , y 0) până la punctul (x 0 + Dx, y 0 +Dу).

După cum puteți vedea, semnificația geometrică a diferenţialului total al unei funcții a două variabile este un analog spațial al semnificației geometrice a diferenţialului unei funcţii a unei variabile.

16. Câmp scalar și caracteristicile acestuia. Liniile de nivel, derivate în direcție, gradientul câmpului scalar.

Dacă fiecare punct din spațiu este asociat cu o mărime scalară, atunci apare un câmp scalar (de exemplu, un câmp de temperatură, un câmp potențial electric). Dacă sunt introduse coordonate carteziene, atunci ele indică și sau Câmpul poate fi plat dacă este central (sferic) dacă cilindric dacă

Suprafețe și linii de nivel: Proprietățile câmpurilor scalare pot fi studiate vizual folosind suprafețe de nivel. Acestea sunt suprafețe în spațiu pe care capătă o valoare constantă. Ecuația lor este: . Într-un câmp scalar plat, liniile de nivel sunt curbe pe care câmpul ia o valoare constantă: În unele cazuri, liniile de nivel pot degenera în puncte, iar suprafețele de nivel în puncte și curbe.

Derivată direcțională și gradient al unui câmp scalar:

Fie vectorul unitar cu coordonate un câmp scalar. Derivata direcțională caracterizează schimbarea câmpului într-o direcție dată și se calculează folosind formula Derivata direcțională este produs punctual vector și vector cu coordonate , care se numește gradientul funcției și se notează Deoarece , unde unghiul dintre și , atunci vectorul indică direcția celei mai rapide creșteri a câmpului și modulul său este egal cu derivata în această direcție. Deoarece componentele gradientului sunt derivate parțiale, nu este dificil să se obțină următoarele proprietăți ale gradientului:

17. Extrema de f.m.p. Extremum local de f.m.p., condiții necesare și suficiente pentru existența acestuia. Cea mai mare și cea mai mică valoare a f.m.p. în limitată zonă închisă.

Fie definită funcția z = ƒ(x;y) într-un domeniu D, punctul N(x0;y0)

Un punct (x0;y0) se numește punct maxim al funcției z=ƒ(x;y) dacă există o vecinătate d a punctului (x0;y0) astfel încât pentru fiecare punct (x;y) diferit de (xo;yo), din această vecinătate este valabilă inegalitatea ƒ(x;y).<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(x0;y0). Valoarea funcției în punctul de maxim (minim) se numește maxim (minim) al funcției. Maximul și minimul unei funcții se numesc extreme. Rețineți că, prin definiție, punctul extremum al funcției se află în domeniul de definire al funcției; maxim și minim au caracter local (local): valoarea funcției în punctul (x0; y0) este comparată cu valorile acesteia în puncte suficient de apropiate de (x0; y0). În regiunea D, o funcție poate avea mai multe extreme sau niciuna.

Condiții necesare (1) și suficiente (2) pentru existență:

(1) Dacă în punctul N(x0;y0) funcția diferențiabilă z=ƒ(x;y) are un extremum, atunci derivatele sale parțiale în acest punct sunt egale cu zero: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0)=0. Comentariu. O funcție poate avea un extremum în punctele în care cel puțin una dintre derivatele parțiale nu există. Punctul în care derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției z ≈ ƒ(x; y) sunt egale cu zero, adică f"x=0, f"y=0, se numește punct staționar al funcției z.

Punctele staționare și punctele în care cel puțin o derivată parțială nu există sunt numite puncte critice

(2) Fie funcția ƒ(x;y) într-un punct staționar (xo; y) și o parte din vecinătatea sa au derivate parțiale continue până la ordinul doi inclusiv. Să calculăm în punctul (x0;y0) valorile A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Să notăm Apoi:

1. dacă Δ > 0, atunci funcția ƒ(x;y) în punctul (x0;y0) are un extremum: maxim dacă A< 0; минимум, если А > 0;

2. dacă Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

3. În cazul lui Δ = 0, poate exista sau nu un extremum în punctul (x0;y0). Este nevoie de mai multe cercetări.

Pentru o funcție a unei variabile y = f(x) la punct x 0 sensul geometric al diferenţialului înseamnă incrementul ordonatei tangentei trasate la graficul funcţiei în punctul cu abscisa x 0 când se deplasează la un punct x 0 +  x. Iar diferența unei funcții a două variabile în acest sens este un increment degete tangentă avion trasă la suprafața dată de ecuație z = f(x, y) , la un moment dat M 0 (x 0 , y 0 ) când se deplasează la un punct M(x 0 +  x, y 0 +  y). Să definim un plan tangent la o anumită suprafață:

Df . Avion care trece printr-un punct R 0 suprafete S, numit plan tangentîntr-un punct dat, dacă unghiul dintre acest plan și o secantă care trece prin două puncte R 0 Şi R(orice punct de pe suprafață S) , tinde spre zero atunci când punctul R tinde de-a lungul acestei suprafețe până la un punct R 0 .

Lăsați suprafața S dat de ecuaţie z = f(x, y). Apoi se poate arăta că această suprafață are la punct P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) plan tangent dacă și numai dacă funcția z = f(x, y) este diferențiabilă în acest moment. În acest caz, planul tangent este dat de ecuația:

z – z 0 = +
(6).

§5. Derivată direcțională, gradient al unei funcții.

Funcții derivate parțiale y= f(x 1 , x 2 .. x n ) prin variabile x 1 , x 2 . . . x n exprimă viteza de schimbare a unei funcții în direcția axelor de coordonate. De exemplu, este rata de modificare a funcției prin X 1 – adică se presupune că un punct aparținând domeniului de definire al funcției se deplasează doar paralel cu axa OH 1 , iar toate celelalte coordonate rămân neschimbate. Cu toate acestea, se poate presupune că funcția se poate schimba și într-o altă direcție care nu coincide cu direcția niciunei axe.

Luați în considerare o funcție a trei variabile: u= f(x, y, z).

Să rezolvăm problema M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) și o linie dreaptă direcționată (axă) l, trecând prin acest punct. Lasă M(x, y, z) - un punct arbitrar al acestei drepte și M 0 M- distanta de la M 0 la M.

u = f (x, y, z) – f(x 0 , y 0 , z 0 ) – creșterea funcției la un punct M 0 .

Să găsim raportul dintre incrementul funcției și lungimea vectorului
:

Df . Derivată a unei funcții u = f (x, y, z) in directie l la punct M 0 se numeşte limita raportului dintre incrementul unei funcţii şi lungimea vectorului M 0 Mdeoarece acesta din urmă tinde spre 0 (sau, care este același lucru, ca și M La M 0 ):

(1)

Această derivată caracterizează rata de schimbare a funcției în punct M 0 in directie l.

Lasă axa l (vector M 0 M) forme cu axe BOU, OY, OZ unghiuri
respectiv.

Să notăm x-x 0 =
;

y - y 0 =
;

z - z 0 =
.

Apoi vectorul M 0 M = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 )=
și cosinusurile sale de direcție:

;

(4).

(4) – formula de calcul a derivatei directionale.

Să considerăm un vector ale cărui coordonate sunt derivatele parțiale ale funcției u= f(x, y, z) la punct M 0 :

grad u - gradient de funcție u= f(x, y, z) la punct M(x, y, z)

Proprietăți gradient:

Concluzie: lungimea gradientului funcției u= f(x, y, z) – este cea mai mare valoare posibilă în acest moment M(x, y, z) , și direcția vectorului grad u coincide cu direcția vectorului care părăsește punctul M, de-a lungul căruia funcția se schimbă cel mai rapid. Adică direcția gradientului funcției grad u - este direcția celei mai rapide creșteri a funcției.

Definiţie Pentru o funcție f(x, y), se numește expresia Dz = f(x + Dx, y + Dy) – f(x, y) increment complet .

Dacă funcția f(x, y) are derivate parțiale continue, atunci

Apoi obținem, folosind teorema lui Lagrange

Deoarece derivatele parțiale sunt continue, atunci putem scrie egalitățile:

Definiţie. Expresia se numește increment complet funcțiile f(x, y) la un anumit punct (x, y), unde a 1 și a 2 sunt funcții infinitezimale pentru Dх ® 0 și, respectiv, Dу ® 0.

Definiţie: Diferenţial complet funcția z = f(x, y) se numește liniară principală în raport cu incrementele Dх și Dу ale funcției Dz în punctul (x, y).

Pentru o funcție a unui număr arbitrar de variabile:

Exemplu. Găsiți diferența completă a funcției.

Exemplu. Găsiți diferența completă a unei funcții

Sensul geometric diferenţial complet.

Plan tangent și normal la suprafață.

normal

plan tangent

Fie N și N 0 puncte ale acestei suprafețe. Să desenăm o linie dreaptă NN 0. Se numeste planul care trece prin punctul N 0 plan tangent la suprafață dacă unghiul dintre secanta NN 0 și acest plan tinde spre zero, când distanța NN 0 tinde spre zero.

Definiţie. Normal fata de suprafata in punctul N 0 este o dreapta care trece prin punctul N 0 perpendicular pe planul tangent la aceasta suprafata.

În orice punct suprafața are fie un singur plan tangent, fie nu îl are deloc.

Dacă suprafața este dată de ecuația z = f(x, y), unde f(x, y) este o funcție derivabilă în punctul M 0 (x 0, y 0), planul tangent în punctul N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) există și are ecuația:

Ecuația normalei la suprafață în acest punct este:

Exemplu Aflați ecuațiile planului tangent și normala la suprafață

În punctul M(1, 1, 1).

Ecuația planului tangent:

Ecuația normală:

Derivate parțiale de ordin superior.

Să fie o mulțime X în spațiu. Fiecare punct al acestui set este determinat de un set de numere care sunt coordonatele acestui punct. Vom spune că o funcție de n-variabile este dată pe mulțimea X dacă fiecare punct după o anumită lege se pune în conformitate singular z, adică .

Exemplu: fie x 1, x 2, x 3 lungimea, lățimea și adâncimea bazinului. Apoi găsim suprafața piscinei.

Funcția n-variabile numit continuu intr-un punct , dacă limita funcției în acest punct este egală cu valoarea funcției în punctul limită, i.e. .

Definiţie: funcția derivată parțială față de o variabilă este derivata unei funcții z față de variabilă, calculată cu condiția ca toate celelalte variabile să rămână constante.

Derivată parțială.

Exemplu

Pentru o funcție de două variabile, putem introduce patru derivate parțiale de ordinul doi, atunci

1., scrie: două z de două ori.

Teorema derivatele mixte, acolo unde sunt continue, nu depind de ordinea în care sunt calculate derivatele. Acest lucru este valabil pentru derivatele mixte de orice ordin și pentru o funcție a oricărui număr de variabile.

Dacă o funcție f(x, y) este definită într-un domeniu D, atunci derivatele sale parțiale vor fi, de asemenea, definite în același domeniu sau o parte a acestuia.

Vom numi aceste derivate derivate parțiale de ordinul întâi.

Derivatele acestor funcții vor fi derivate parțiale de ordinul doi.

Continuând să diferențiem egalitățile rezultate, obținem derivate parțiale de ordin superior.

Definiţie Derivate parțiale ale formei etc. sunt numite derivate mixte.

Teorema Dacă funcția f(x, y) și derivatele ei parțiale sunt definite și continue în punctul M(x, y) și în vecinătatea acestuia, atunci următoarea relație este adevărată: .

atunci se numeste punctul M 0 punct minim.

Teorema (condiții necesare pentru un extremum) Dacă funcția f(x,y) în punctul (x 0, y 0) are un extremum, atunci în acest punct fie ambele derivate parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero, fie cel puțin una dintre ele nu există .

Vom numi acest punct (x 0, y 0) punct critic.

Teorema (condiții suficiente pentru un extremum) Fie în vecinătatea punctului critic (x 0, y 0) funcția f(x, y) să aibă derivate parțiale continue până la ordinul doi inclusiv. Luați în considerare expresia:

1) Dacă D(x 0 , y 0) > 0, atunci în punctul (x 0 , y 0) funcția f(x, y) are un extremum dacă

2) - 0, atunci în punctul (x 0, y 0) funcția f(x, y) nu are extremă

Dacă D = 0, nu se poate trage nicio concluzie despre prezența unui extremum.

Plan tangent și normal la suprafață.

plan tangent

Definiţie. Normal fata de suprafata in punctul N 0 este o dreapta care trece prin punctul N 0 perpendicular pe planul tangent la aceasta suprafata.

În orice punct suprafața are fie un singur plan tangent, fie nu îl are deloc.

Ecuația normalei la suprafață în acest punct este:

Exemplu. Aflați ecuațiile planului tangent și normala la suprafață

în punctul M(1, 1, 1).

Ecuația planului tangent:

Ecuația normală:

20.4. Calcule aproximative folosind diferențele totale.

Fie funcția f(x, y) diferențiabilă în punctul (x, y). Să găsim incrementul total al acestei funcții:

Dacă substituim expresia în această formulă

atunci obținem o formulă aproximativă:

Exemplu. Calculați aproximativ valoarea pe baza valorii funcției la x = 1, y = 2, z = 1.

Din expresia dată determinăm x = 1,04 – 1 = 0,04, y = 1,99 – 2 = -0,01,

z = 1,02 – 1 = 0,02.

Să găsim valoarea funcției u(x, y, z) =

Găsirea derivatelor parțiale:

Diferenţiala totală a funcţiei u este egală cu:

Valoarea exactă a acestei expresii este 1,049275225687319176.

20.5. Derivate parțiale de ordin superior.

Dacă o funcție f(x, y) este definită într-un domeniu D, atunci derivatele sale parțiale vor fi, de asemenea, definite în același domeniu sau o parte a acestuia.

Vom numi aceste derivate derivate parțiale de ordinul întâi.

Derivatele acestor funcții vor fi derivate parțiale de ordinul doi.

Continuând să diferențiem egalitățile rezultate, obținem derivate parțiale de ordin superior.

Definiţie. Derivate parțiale ale formei etc. sunt numite derivate mixte.

Teorema. Dacă funcția f(x, y) și derivatele sale parțiale sunt definite și continue în punctul M(x, y) și în vecinătatea acestuia, atunci următoarea relație este adevărată:

Aceste. derivatele parțiale de ordin superior nu depind de ordinea diferențierii.

Diferențiale de ordin superior sunt definite în mod similar.

…………………