Diferenţial funcția y=ƒ(x) în punctul x se numește partea principală a incrementului său, egală cu produsul derivatei funcției și incrementul argumentului și se notează dу (sau dƒ(x)): dy= ƒ"(x) ∆x.
Diferențiale principale:
Diferenţialul unei funcţii are proprietăţi similare cu cele ale derivatei.
- Constanta diferentiala egal cu zero:
dc = 0, c = const. - Diferenţialul sumei funcţiilor diferenţiabile egală cu suma diferenţialelor termenilor:
Consecinţă. Dacă două funcții diferențiabile diferă printr-un termen constant, atunci diferențele lor sunt egale
d(u+c) = du (c= const).
- Diferenţial de produs a două funcții diferențiabile este egal cu produsul primei funcție și diferența celei de-a doua plus produsul celei de-a doua cu diferența primei:
d(uv) = udv + vdu.
Consecinţă. Multiplicatorul constant poate fi scos din semnul diferenţial
d(cu) = cdu (c = const).
- Diferenţial de coeficient u/v a două funcții diferențiabile u = u(x) și v = v(x) este determinată de formula
- Proprietatea de independență a formei unui diferențial față de alegerea unei variabile independente (invarianța formei unui diferențial): diferența unei funcții este egală cu produsul derivatei și diferențiala unui argument, independent dacă aceasta argumentul este o variabilă independentă sau o funcție a unei alte variabile independente.
Derivate și diferențiale de ordin superior.
Fie derivata unei funcții f diferentiabil. Atunci derivata derivatei acestei funcții se numește derivata a doua funcții f si este desemnat f". Astfel,
f"(x) = (f"(x))" .
Dacă este diferențiabilă ( n- 1) derivata a functiei f, apoi ea n derivata a-lea se numeste derivata lui ( n- 1) derivata a functiei f si este desemnat f(n). Aşa,
f(n)(x) = (f(n-1)(x))" , n ϵ N, f(0)(x) = f(x).
Număr n numit ordinea derivatei.
Diferenţial n-a ordine funcții f numit diferențial de diferențial ( n- Ordinul 1 al aceleiași funcții. Astfel,
d n f(x) = d(d n -1 f(x)), d 0 f(x) = f(x), n ϵ N.
Dacă x este variabila independentă, atunci
dx= const and d 2 x = d 3 x = ... = d n x = 0.
În acest caz formula este valabilă
d n f(x) = f (n) (x)(dx)n.
Derivate n-ordinea din funcţiile elementare de bază
Formulele sunt valabile
Aplicarea derivatelor la studiul funcţiilor.
Teoreme de bază pentru diferențierea funcțiilor:
teorema lui Rolle
Lasă funcția f: [o, b] → R este continuu pe segmentul [ o, b] și are o derivată finită sau infinită în acel segment. Să, în plus, f(o) = f(b). Apoi în interiorul segmentului [ o, b] există un punct ξ astfel încât f"(ξ ) = 0.
teorema lui Lagrange
Dacă funcţia f: [o, b] → R este continuu pe segmentul [ o, b] și are o derivată finită sau infinită în punctele interioare ale acestui segment, astfel încât f(b) - f(o) = f"(ξ )(b - o).
teorema lui Cauchy
Dacă fiecare dintre funcţii fŞi g este continuă pe [ o, b] și are o derivată finită sau infinită pe ] o, b[și dacă, în plus, derivatul g"(x) ≠ 0 pe ] o, b[, astfel încât formula să fie validă
Dacă mai ai nevoie de asta g(o) ≠ g(b), apoi condiția g"(x) ≠ 0 poate fi înlocuit cu unul mai puțin strict:
24.1. Conceptul de funcție diferențială
Fie funcția y=ƒ(x) să aibă o derivată diferită de zero în punctul x.
Apoi, conform teoremei despre legătura dintre o funcție, limita ei și o funcție infinitezimală, putem scrie D у/D x=ƒ"(x)+α, unde α→0 la ∆х→0, sau ∆у =ƒ"(x) ∆х+α ∆х.
Astfel, incrementul funcției ∆у este suma a doi termeni ƒ"(х) ∆х și а ∆х, care sunt infinitezimali pentru ∆x→0. În acest caz, primul termen este infinit funcție mică de același ordin ca ∆х, deoarece 
iar al doilea termen este o funcție infinitezimală a mai multor ordin înalt, decât ∆x:
Prin urmare, primul termen ƒ"(x) ∆x se numește partea principală a incrementului funcții ∆у.
Diferenţial de funcţie y=ƒ(x) în punctul x se numește partea principală a incrementului său, egală cu produsul derivatei funcției și incrementul argumentului și se notează dу (sau dƒ(x)):
dy=ƒ"(x) ∆x. (24.1)
Diferenţialul dу se mai numeşte diferenţial de ordinul întâi. Să găsim diferența variabilei independente x, adică diferența funcției y=x.
Deoarece y"=x"=1, atunci, conform formulei (24.1), avem dy=dx=∆x, adică diferența variabilei independente este egală cu incrementul acestei variabile: dx=∆x.
Prin urmare, formula (24.1) poate fi scrisă după cum urmează:
dy=ƒ"(х)dх, (24.2)
cu alte cuvinte, diferenţialul unei funcţii este egal cu produsul derivatei acestei funcţii şi diferenţialul variabilei independente.
Din formula (24.2) rezultă egalitatea dy/dx=ƒ"(x). Acum notația
derivata dy/dx poate fi considerată ca raportul diferenţialelor dy şi dx.
<< Пример 24.1
Aflați diferența funcției ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x).
Rezolvare: Folosind formula dy=ƒ"(x) dx găsim
dy=(3x 2 -sin(l+2x))"dx=(6x-2cos(l+2x))dx.
<< Пример 24.2
Aflați diferența unei funcții
Calculați dy pentru x=0, dx=0,1.
Soluţie:
Înlocuind x=0 și dx=0,1, obținem
24.2. Semnificația geometrică a funcției diferențiale
Să aflăm semnificația geometrică a diferenţialului.
Pentru a face acest lucru, să desenăm o tangentă MT la graficul funcției y=ƒ(x) în punctul M(x; y) și să considerăm ordonata acestei tangente pentru punctul x+∆x (vezi Fig. 138). În figura ½ AM½ =∆х, |AM 1 |=∆у. Din triunghiul dreptunghic MAB avem:
Dar, după semnificația geometrică a derivatei, tga=ƒ"(x). Prin urmare, AB=ƒ"(x) ∆x.
Comparând rezultatul obținut cu formula (24.1), obținem dy=AB, adică diferența funcției y=ƒ(x) în punctul x este egală cu incrementul în ordonata tangentei la graficul funcției la acest punct, când x primește un increment ∆x.
Acesta este sensul geometric al diferenţialului.
24.3 Teoreme de bază despre diferenţiale
Teoremele de bază asupra diferențialelor pot fi obținute cu ușurință folosind legătura dintre diferențială și derivata unei funcții (dy=f"(x)dx) și teoremele corespunzătoare asupra derivatelor.
De exemplu, deoarece derivata funcției y=c este egală cu zero, atunci diferența unei valori constante este egală cu zero: dy=с"dx=0 dx=0.
Teorema 24.1. Diferenta sumei, produsului si catului a doua functii diferentiabile este determinata de urmatoarele formule:
Să demonstrăm, de exemplu, a doua formulă. Prin definiția diferenţialului avem:
d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu
Teorema 24.2. Diferenţialul unei funcţii complexe este egal cu produsul derivatei acestei funcţii faţă de argumentul intermediar şi diferenţialul acestui argument intermediar.
Fie y=ƒ(u) și u=φ(x) două funcții diferențiabile care formează o funcție complexă y=ƒ(φ(x)). Folosind teorema derivatei unei funcții complexe, putem scrie
y" x =y" u u" x.
Înmulțind ambele părți ale acestei egalități cu dx, învățăm y" x dx=y" u u" x dx. Dar y" x dx=dy și u" x dx=du. În consecință, ultima egalitate poate fi rescrisă după cum urmează:
dy=у" u du.
Comparând formulele dy=y" x dx și dy=y" u du, vedem că prima diferență a funcției y=ƒ(x) este determinată de aceeași formulă indiferent dacă argumentul său este o variabilă independentă sau este o funcţia altui argument.
Această proprietate a unui diferențial se numește invarianță (imuabilitate) a formei primei diferențiale.
Formula dy=y" x dx în aparență coincide cu formula dy=y" u du, dar există o diferență fundamentală între ele: în prima formulă x este o variabilă independentă, deci dx=∆x, în a doua formulă există o funcție a lui x , prin urmare, în general, du≠∆u.
Folosind definiția unei diferențiale și teoremele de bază despre diferențiale, este ușor să convertiți un tabel de derivate într-un tabel de diferențiale.
De exemplu: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu
24.4. Masa diferentiala
24.5. Aplicarea diferenţialului la calcule aproximative
După cum se știe deja, incrementul ∆у al funcției у=ƒ(х) în punctul x poate fi reprezentat ca ∆у=ƒ"(x) ∆х+α ∆х, unde α→0 la ∆х→0, sau ∆у= dy+α ∆х Renunțând la infinitezimalul α ∆х de ordin mai mare decât ∆х, obținem o egalitate aproximativă.
∆у≈dy, (24,3)
Mai mult, această egalitate este mai precisă, cu cât ∆х este mai mic.
Această egalitate ne permite să calculăm aproximativ incrementul oricărei funcții diferențiabile cu mare precizie.
Diferenţialul este de obicei mult mai simplu de găsit decât incrementul unei funcţii, astfel încât formula (24.3) este utilizată pe scară largă în practica de calcul.
<< Пример 24.3
Aflați valoarea aproximativă a incrementului funcției y=x 3 -2x+1 la x=2 și ∆x=0,001.
Rezolvare: Aplicam formula (24.3): ∆у≈dy=(x 3 -2x+1)" ∆x=(3x 2 -2) ∆x.
Deci, ∆у» 0,01.
Să vedem ce eroare a fost făcută calculând diferenţialul unei funcţii în loc de incrementul acesteia. Pentru a face acest lucru, găsim ∆у:
∆у=((x+∆x) 3 -2(x+∆x)+1)-(x 3 -2x+1)=x 3 +3x 2 ∆x+3x (∆x) 2 +(∆x ) 3 -2x-2 ∆x+1-x 3 +2x-1=∆x(3x 2 +3x ∆x+(∆x) 2 -2);
Eroarea absolută a aproximării este
|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.
Înlocuind valorile lui ∆у și dy în egalitate (24.3), obținem
ƒ(x+∆x)-ƒ(x)≈ƒ"(x)∆x
ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24.4)
Formula (24.4) este utilizată pentru a calcula valorile aproximative ale funcțiilor.
<< Пример 24.4
Calculați aproximativ arctan (1,05).
Rezolvare: Se consideră funcția ƒ(x)=arctgx. Conform formulei (24.4) avem:
arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,
adică 
Deoarece x+∆x=1,05, atunci la x=1 și ∆x=0,05 obținem:
Se poate arăta că eroarea absolută a formulei (24.4) nu depășește valoarea M (∆x) 2, unde M este cea mai mare valoare a lui |ƒ"(x)| pe segmentul [x;x+∆x].
<< Пример 24.5
Ce distanță va parcurge un corp în timpul căderii libere pe Lună în 10,04 s de la începutul căderii? Ecuația căderii libere a unui corp
H=glt2/2, gl =1,6 m/s2.
Rezolvare: Trebuie să găsim H(10,04). Să folosim formula aproximativă (ΔH≈dH)
H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. La t=10 s și ∆t=dt=0,04 s, H"(t)=g l t, găsim
Problemă (pentru soluție independentă). Un corp cu masa m=20 kg se deplasează cu viteza ν=10,02 m/s. Calculați aproximativ energia cinetică a corpului
24.6. Diferențiale de ordin superior
Fie y=ƒ(x) o funcție derivabilă și argumentul ei x variabilă independentă. Atunci prima ei diferență dy=ƒ"(x)dx este, de asemenea, o funcție a lui x; diferența acestei funcții poate fi găsită.
Diferenţialul diferenţialului funcţiei y=ƒ(x) se numeşte a doua ei diferență(sau diferenţial de ordinul doi) şi se notează cu d 2 y sau d 2 ƒ(x).
Deci, prin definiție, d 2 y=d(dy). Să găsim expresia pentru a doua diferenţială a funcţiei y=ƒ(x).
Deoarece dx=∆х nu depinde de x, atunci când diferențiem considerăm constanta dx:
d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(x)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 adică .
d 2 y=ƒ"(х)dх 2. (24,5)
Aici dx 2 înseamnă (dx) 2.
Diferenţialul de ordinul trei este definit şi găsit în mod similar
d 3 y=d(d 2 y)=d(ƒ"(x)dx 2)≈f"(x)(dx) 3.
Și, în general, o diferență de ordinul al n-lea este o diferență de la o diferență de ordinul (n-1)-lea: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .
De aici constatăm că, în special, pentru n=1,2,3
în consecință obținem:
adică derivata unei funcţii poate fi considerată ca raportul dintre diferenţialul ei de ordinul corespunzător şi gradul corespunzător al diferenţialului variabilei independente.
Rețineți că toate formulele de mai sus sunt valabile numai dacă x este o variabilă independentă. Dacă funcția y=ƒ(x), unde x este funcția unei alte variabile independente, atunci diferențiale de ordinul doi și de ordinul superior nu au proprietatea invarianței formei și sunt calculate folosind alte formule. Să arătăm acest lucru folosind exemplul unei diferenţiale de ordinul doi.
Folosind formula diferențială a produsului (d(uv)=vdu+udv), obținem:
d 2 y=d(f"(x)dx)=d(ƒ"(x))dx+ƒ"(x) d(dx)=ƒ"(x)dx dx+ƒ"(x) d 2 x , adică
d 2 y=ƒ"(x)dx 2 +ƒ"(x) d 2 x.
(24,6)
Comparând formulele (24.5) și (24.6), suntem convinși că în cazul unei funcții complexe se modifică formula diferențială de ordinul doi: apare al doilea termen ƒ"(x) d 2 x.
Este clar că dacă x este o variabilă independentă, atunci
d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0
<< Пример 24.6
iar formula (24.6) intră în formula (24.5).
Aflați d 2 y dacă y = e 3x și x este o variabilă independentă.
<< Пример 24.7
Rezolvare: Deoarece y"=3e 3x, y"=9e 3x, atunci conform formulei (24.5) avem d 2 y=9e 3x dx 2.
Aflați d 2 y dacă y=x 2 și x=t 3 +1 și t este o variabilă independentă.
Rezolvare: Folosim formula (24.6): deoarece
y"=2x, y"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2 , Că 2
d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt
O altă soluție: y=x 2, x=t 3 +1. Prin urmare, y=(t 3 +1) 2. ¢¢ Apoi, conform formulei (24.5)
d 2 y=y
dt 2, d 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 . = 0;
1. d c(x)) = d 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 . 2.d( c u(x);
d c u(x) ± u(x 3.d( x v u(x);
)) = d u( c u(x) u(x)) = u(x)±d c u(x) + c u(x 4.d( x);
)d c u(x) / u(x)) = (u(x)±d c u(x) - c u(x)±d u(x)) / u 2 (x).
)d v(
5.d((x)Să subliniem încă o proprietate pe care o are diferenţialul, dar derivata nu o are. Se consideră funcția y = f(u), unde u = φ(x), adică se consideră funcția complexă y = f(φ(x)). Dacă fiecare dintre funcțiile f și φ sunt diferențiabile, atunci derivata unei funcții complexe, conform teoremei, este egală cu y" = f"(u) · u". Atunci diferența funcției(c u)dy = f"(c u)dx = f"
u"dx = f"
| 5.d((c u)du | (6) |
întrucât u"dx = du. Adică du.
Ultima egalitate înseamnă că formula diferențială nu se schimbă dacă în loc de o funcție a lui x considerăm o funcție a variabilei u. Această proprietate a diferenţialului se numeşte Rețineți că în formula (5) dx = ∆ x, iar în formula (6) du este doar partea liniară a incrementului funcției c u.
Luați în considerare expresia pentru prima diferență
5.d((x)dx.
Fie funcția din partea dreaptă o funcție diferențiabilă într-un punct dat x. Pentru a face acest lucru, este suficient ca y = f(x) să fie diferențiabil de două ori într-un punct dat x, iar argumentul este fie o variabilă independentă, fie o funcție diferențiabilă de două ori.
Diferenţial de ordinul doi
Definiția 1 (diferențială de ordinul doi). Valoarea δ(d y) diferenţială faţă de prima diferenţială (5) la δ x=d x, se numește a doua diferență a funcției y = f(x) și se notează cu d 2 y.
Astfel,
d 2 y=δ ( dy)| δ x = dx .
Diferenţial dn y poate fi introdus prin inducţie.
Definiția 7. Valoarea δ(d n-1 y) diferential de( n- 1) diferența la δ x=d x, numit n- m funcţie diferenţială y = f(x) și se notează cu d n y.
Să găsim o expresie pentru d 2 yÎn același timp, luăm în considerare două cazuri când x-variabila independenta si cand x = φ( t), adică este o funcție a variabilei t.
1. lasa x = φ( t), Atunci
d 2 = δ ( dy)| δ x = dx = δ( f"(x)dx)| δ x = dx =
= {δ( f"(x))dx+f"(x)δ( dx)} | δ x = dx =f""(x)(dx) 2 +f"(x)d 2 x.
| d 2 y = f""(x)(dx) 2 +f"(x)d 2 x. | (7) |
2. fie x variabila independentă, atunci
d 2 y = f""(x)(dx) 2 ,
deoarece în acest caz δ(dx) = (dx)"δ x = 0.
În mod similar, prin inducție este ușor de obținut următoarea formulă dacă x este variabila independentă:
d n y = f (n) (x)(dx)n.
Din această formulă rezultă că f (n) = d n y/(dx) n.
În concluzie, observăm că diferențialele de ordinul doi și de ordinul superior nu au proprietatea invarianței, ceea ce este imediat clar din formula pentru diferența de ordinul doi (7).
Calcul integral al unei funcții a unei variabile
Integrală nedefinită.
O funcție se numește antiderivată față de funcție dacă este diferențiabilă și condiția este îndeplinită
Evident, unde C este orice constantă.
Integrala nedefinită a unei funcții este mulțimea tuturor antiderivatelor acestei funcții. Integrala nedefinită se notează și este egală cu
