Pentru a simplifica înregistrarea și prezentarea materialului, ne vom limita la cazul funcțiilor a două variabile. Tot ceea ce urmează este valabil și pentru funcțiile oricărui număr de variabile.
Definiţie. Derivată parțială funcții z = f(x, y) prin variabilă independentă X numit derivat
calculată la constantă la.
Derivata parțială față de o variabilă este determinată în mod similar la.
Pentru derivatele parțiale sunt valabile regulile și formulele uzuale de diferențiere.
Definiţie. Produsul derivatei parțiale și incrementul argumentului X(y) se numește diferenţial parţial după variabilă X(la) funcţii a două variabile z = f(x, y) (simbol: ):
Dacă sub diferenţialul variabilei independente dx(dy) înțelege increment X(la), Asta
Pentru funcție z = f(x, y) să aflăm sens geometric derivatele sale de frecvenţă şi .
Luați în considerare punctul, punctul P 0 (X 0 ,y 0 , z 0) la suprafață z = f(x,la) și curbă L, care se obține prin tăierea suprafeței cu un plan y = y 0 . Această curbă poate fi privită ca un grafic al unei funcții a unei variabile z = f(x, y) în avion y = y 0 . Dacă ținut la punct R 0 (X 0 , y 0 , z 0) tangentă la curbă L, apoi, după semnificația geometrică a derivatei unei funcții a unei variabile 
, Unde o –
unghiul format de o tangentă cu direcția pozitivă a axei Oh.
Sau:
Să reparăm în mod similar o altă variabilă, de ex. să facem o secțiune transversală a suprafeței z = f(x, y) avion x = x 0 . Apoi funcția z = f(x 0 , y) poate fi considerat ca o functie a unei variabile la:
Unde b– unghiul format de tangenta in punct M 0 (X 0 , y 0) cu direcția pozitivă a axei Oi(Fig. 1.2).
Orez. 1.2. Ilustrarea semnificației geometrice a derivatelor parțiale
Exemplul 1.6. Dată o funcție z = x 2 – 3xy – 4la 2 – x + 2y + 1. Găsiți și .
Soluţie. Având în vedere la ca o constantă, obținem
Numărând X constantă, găsim
Cursul 3 FNP, derivate parțiale, diferențiale
Care este principalul lucru pe care l-am învățat în ultima prelegere?
Am învățat ce este o funcție a mai multor variabile cu un argument din spațiul euclidian. Am studiat ce limită și continuitatea sunt pentru o astfel de funcție
Ce vom învăța în această prelegere?
Continuând studiul nostru asupra FNP-urilor, vom studia derivatele și diferențiale parțiale pentru aceste funcții. Să învățăm cum să scriem ecuația unui plan tangent și a unei normale la o suprafață.
Derivată parțială, diferențială completă a FNP. Legătura dintre diferențiabilitatea unei funcții și existența derivatelor parțiale
Pentru o funcție a unei variabile reale, în urma studierii temelor „Limite” și „Continuitate” (Introducere în calcul), s-au studiat derivatele și diferențialele funcției. Să trecem la considerarea întrebărilor similare pentru funcțiile mai multor variabile. Rețineți că dacă toate argumentele, cu excepția unuia, sunt fixate în FNP, atunci FNP generează o funcție a unui argument, pentru care pot fi luate în considerare incrementul, diferența și derivata. Le vom numi increment parțial, diferențială parțială și, respectiv, derivată parțială. Să trecem la definiții precise.
Definiția 10.
Să fie dată o funcție de variabile unde 
- element de spațiu euclidian și incremente corespunzătoare de argumente , ,…, . Când valorile sunt numite incremente parțiale ale funcției. Incrementul total al unei funcții este cantitatea .
De exemplu, pentru o funcție a două variabile, unde este un punct pe plan și , incrementele corespunzătoare de argumente, incrementele , , vor fi parțiale. În acest caz, valoarea este incrementul total al unei funcții de două variabile.
Definiția 11.
Derivată parțială a unei funcții de variabile 
peste o variabilă este limita raportului dintre incrementul parțial al unei funcții peste această variabilă și incrementul argumentului corespunzător atunci când acesta tinde spre 0.
Să scriem Definiția 11 ca formulă 
sau în formă extinsă. (2) Pentru o funcție a două variabile, Definiția 11 se va scrie sub formă de formule 
, 
. Din punct de vedere practic această definițieînseamnă că atunci când se calculează derivata parțială față de o variabilă, toate celelalte variabile sunt fixe și considerăm această funcție ca o funcție a unei variabile selectate. Derivata obișnuită este luată în raport cu această variabilă.
Exemplul 4. Pentru funcția în care, găsiți derivatele parțiale și punctul în care ambele derivate parțiale sunt egale cu 0.
Soluţie
. Să calculăm derivatele parțiale, 
și scrieți sistemul sub forma Soluția acestui sistem este două puncte și 
.
Să luăm acum în considerare modul în care conceptul de diferenţial este generalizat la FNP. Reamintim că o funcție a unei variabile se numește diferențiabilă dacă incrementul ei este reprezentat sub formă 
, în acest caz, cantitatea este partea principală a incrementului funcției și se numește diferența sa. Mărimea este o funcție a lui , are proprietatea că , adică este o funcție infinitezimală față de . O funcție a unei variabile este diferențiabilă într-un punct dacă și numai dacă are o derivată în acel punct. În acest caz, constanta și este egală cu această derivată, adică formula este valabilă pentru diferenţial 
.
Dacă se ia în considerare o creștere parțială a FNP, atunci doar unul dintre argumente se schimbă, iar această creștere parțială poate fi considerată ca o creștere a unei funcții a unei variabile, adică aceeași teorie funcționează. Prin urmare, condiția de diferențiere 
satisfăcut dacă și numai dacă derivata parțială există, caz în care diferenţial parţial este determinat de formula 
.
Care este diferența totală a unei funcții de mai multe variabile?
Definiția 12.
Funcție variabilă 
numit diferențiabil într-un punct 
, dacă incrementul său este reprezentat sub forma . În acest caz, partea principală a incrementului se numește diferenţial FNP.
Deci, diferenţialul FNP este valoarea. Să clarificăm ce înțelegem prin cantitate 
, pe care îl vom numi infinitezimal în comparație cu incrementele argumentelor 
. Aceasta este o funcție care are proprietatea că, dacă toate incrementele cu excepția unuia sunt egale cu 0, atunci egalitatea este adevărată. 
. În esență, asta înseamnă că 
= = + +…+ .
Cum sunt legate între ele condițiile de diferențiere a unui FNP și condițiile de existență a derivatelor parțiale ale acestei funcții?
Teorema 1.
Dacă o funcţie de variabile este diferenţiabilă într-un punct , atunci are derivate parțiale în raport cu toate variabilele în acest moment și în același timp.
Dovada.
Scriem egalitatea pentru și în formă 
și împărțiți ambele părți ale egalității rezultate la . În egalitatea rezultată, trecem la limita la . Ca rezultat, obținem egalitatea necesară. Teorema a fost demonstrată.
Consecinţă.
Diferenţialul unei funcţii de variabile se calculează folosind formula 
. (3)
În exemplul 4, diferența funcției a fost egală cu . Rețineți că aceeași diferență în punct este egală cu 
. Dar dacă îl calculăm într-un punct cu incremente , , atunci diferența va fi egală cu . Rețineți că , valoarea exactă a funcției date în punctul 
este egală cu , dar aceeași valoare, calculată aproximativ folosind prima diferență, este egală cu . Vedem că prin înlocuirea incrementului unei funcții cu diferența sa, putem calcula aproximativ valorile funcției.
Va fi diferențiabilă o funcție a mai multor variabile într-un punct dacă are derivate parțiale în acest punct? Spre deosebire de o funcție a unei variabile, răspunsul la această întrebare este negativ. Formularea exactă a relației este dată de următoarea teoremă.
Teorema 2.
Dacă o funcţie de variabile într-un punct există derivate parțiale continue cu privire la toate variabilele, atunci funcția este diferențiabilă în acest punct.
sub forma de . Doar o variabilă se modifică în fiecare paranteză, așa că putem aplica formula de increment finit Lagrange în ambele. Esența acestei formule este că, pentru o funcție diferențiabilă continuu a unei variabile, diferența dintre valorile funcției în două puncte este egală cu valoarea derivatei într-un punct intermediar, înmulțită cu distanța dintre puncte. Aplicând această formulă la fiecare dintre paranteze, obținem . Datorită continuității derivatelor parțiale, derivata într-un punct și derivata într-un punct diferă de derivatele într-un punct prin mărimile și , tinzând spre 0 ca , tinzând spre 0. Dar atunci, evident, . Teorema a fost demonstrată. , și coordonatele. Verificați dacă acest punct aparține suprafeței. Scrieți ecuația planului tangent și ecuația normalei la suprafață în punctul indicat.
Soluţie.
Într-adevăr, . În ultima prelegere am calculat deja diferența acestei funcții într-un punct arbitrar, la punct dat este egal cu . In consecinta, ecuatia planului tangent se va scrie sub forma sau , iar ecuatia normalei - sub forma 
.
Linearizarea unei funcții. Plan tangent și normal la suprafață.
Derivate și diferențiale de ordin superior.
1. Derivate parțiale ale FNP *)
Luați în considerare funcția Şi = f(P), РÎDÌR n sau, ce este la fel,
Şi = f(X 1 , X 2 , ..., x n).
Să fixăm valorile variabilelor X 2 , ..., x n, și variabila X 1 să dăm incrementul D X 1. Apoi funcția Şi va primi un spor determinat de egalitate
= f (X 1 +D X 1 , X 2 , ..., x n) – f(X 1 , X 2 , ..., x n).
Acest increment este numit spor privat funcții Şi după variabilă X 1 .
Definiție 7.1. Funcția derivată parțială Şi = f(X 1 , X 2 , ..., x n) după variabilă X 1 este limita raportului dintre incrementul parțial al unei funcții și incrementul argumentului D X 1 la D X 1 ® 0 (dacă există această limită).
Derivata parțială cu privire la X 1 caractere
Astfel, prin definiție
Derivatele parțiale față de alte variabile sunt determinate în mod similar X 2 , ..., x n. Din definiție este clar că derivata parțială a unei funcții față de o variabilă x i este derivata obișnuită a unei funcții a unei variabile x i, când alte variabile sunt considerate constante. Prin urmare, toate regulile și formulele de diferențiere studiate anterior pot fi folosite pentru a găsi derivata unei funcții a mai multor variabile.
De exemplu, pentru funcție u = x 3 + 3xy – z 2 avem
Astfel, dacă o funcție a mai multor variabile este dată în mod explicit, atunci întrebările de existență și găsirea derivatelor sale parțiale se reduc la întrebările corespunzătoare privind funcția unei variabile - cea pentru care este necesară determinarea derivatei.
Să considerăm o funcție definită implicit. Fie ecuația F( x, y) = 0 definește o funcție implicită a unei variabile X. Corect
Teorema 7.1.
Fie F( x 0 , y 0) = 0 și funcțiile F( x, y), F¢ X(x, y), F¢ la(x, y) sunt continue într-o anumită vecinătate a punctului ( X 0 , la 0), și F¢ la(x 0 , y 0) ¹ 0. Apoi funcția la, dat implicit de ecuația F( x, y) = 0, are în punctul ( x 0 , y 0) derivată, care este egală cu
.
Dacă condițiile teoremei sunt îndeplinite în orice punct al regiunii DÌ R 2, atunci în fiecare punct al acestei regiuni 
.
De exemplu, pentru funcție X 3 –2la 4 + Wow+ 1 = 0 găsim
Fie acum ecuația F( x, y, z) = 0 definește o funcție implicită a două variabile. Să găsim și. Din momentul calculării derivatei în raport cu X produs la un fix (constant) la, atunci în aceste condiții egalitatea F( x, y=const, z) = 0 definește zîn funcţie de o variabilă X iar conform teoremei 7.1 obţinem
.
De asemenea 
.
Astfel, pentru o funcție a două variabile date implicit de ecuație 
, derivatele parțiale se găsesc folosind formulele: ,
Să luăm în considerare schimbarea unei funcții atunci când specificăm un increment la doar unul dintre argumentele sale - x i, și să-i spunem .
Definiție 1.7.Derivată parțială funcţionează prin argument x i numit .
Denumiri: .
Astfel, derivata parțială a unei funcții de mai multe variabile este de fapt definită ca derivată a funcției o variabilă – x i. Prin urmare, toate proprietățile derivatelor dovedite pentru o funcție a unei variabile sunt valabile pentru aceasta.
Comentariu. În calculul practic al derivatelor parțiale, folosim regulile uzuale pentru diferențierea unei funcții a unei variabile, presupunând că argumentul prin care se realizează diferențierea este variabil, iar argumentele rămase sunt constante.
1. z = 2x² + 3 xy –12y² + 5 x – 4y +2,
2. z = xy,
Interpretarea geometrică a derivatelor parțiale ale unei funcții a două variabile.
Luați în considerare ecuația suprafeței z = f(x,y) si deseneaza un avion x = const. Să selectăm un punct pe linia de intersecție a planului și a suprafeței M(x,y). Dacă dai argumentul la increment Δ lași luați în considerare punctul T de pe curba cu coordonatele ( x, y+Δ y, z+Δy z), apoi tangenta unghiului format de secanta MT cu direcția pozitivă a axei O la, va fi egal cu . Trecând la limita de la , aflăm că derivata parțială este egală cu tangentei unghiului format de tangenta la curba rezultată în punctul M cu direcția pozitivă a axei O u.În consecință, derivata parțială este egală cu tangenta unghiului cu axa O X tangentă la curba obţinută ca urmare a secţionării suprafeţei z = f(x,y) avion y= const.
Definiție 2.1. Creștere completă se numește funcția u = f(x, y, z).
Definiția 2.2. Dacă incrementul funcției u = f (x, y, z) în punctul (x 0 , y 0 , z 0) poate fi reprezentat sub forma (2.3), (2.4), atunci funcția se numește diferențiabilă la acest punct, iar expresia este numită parte liniară principală a incrementului sau diferenţialului total al funcţiei în cauză.
Denumiri: du, df (x 0, y 0, z 0).
La fel ca în cazul unei funcții a unei variabile, diferențele variabilelor independente sunt considerate a fi incrementele lor arbitrare, prin urmare
Observația 1. Deci, afirmația „funcția este diferențiabilă” nu este echivalentă cu afirmația „funcția are derivate parțiale” - pentru diferențiabilitate este necesară și continuitatea acestor derivate în punctul în cauză.
4. Plan tangent și normal la suprafață. Sensul geometric al diferenţialului.
Lasă funcția z = f (x, y) este diferențiabilă într-o vecinătate a punctului M (x 0 , y 0). Atunci derivatele sale parțiale sunt coeficienții unghiulari ai tangentelor la liniile de intersecție ale suprafeței z = f (x, y) cu avioane y = y 0Şi x = x 0, care va fi tangentă la suprafața însăși z = f (x, y). Să creăm o ecuație pentru planul care trece prin aceste linii. Vectorii de direcție tangenți au forma (1; 0; ) și (0; 1; ), deci normala la plan poate fi reprezentată ca produs vectorial: n = (- ,- , 1). Prin urmare, ecuația planului poate fi scrisă după cum urmează:
Unde z 0 = .
Definiție 4.1. Se numește planul definit de ecuația (4.1). plan tangent la graficul funcției z = f (x, y)într-un punct cu coordonate (x 0, y 0, z 0).
Din formula (2.3) pentru cazul a două variabile rezultă că incrementul funcției fîn vecinătatea unui punct M poate fi reprezentat ca:
În consecință, diferența dintre aplicațiile graficului unei funcții și planul tangent este infinitezimal mai mult decât ordin înalt, Cum ρ, la ρ→ 0.
În acest caz, funcția diferenţială f are forma:
care corespunde Creșterea aplicațiilor unui plan tangent la graficul unei funcții. Acesta este sensul geometric al diferenţialului.
Definiție 4.2. Vector diferit de zero perpendicular pe planul tangent într-un punct M (x 0 , y 0) suprafete z = f (x, y), numit normal la suprafata in acest punct.
Este convenabil să luați vectorul -- n = { , ,-1}.
Lucrarea practică nr. 2
„Funcție diferențială”
Scopul lecției: Învață să rezolvi exemple și probleme pe această temă.
Întrebări de teorie (linie de bază):
1. Aplicarea derivatelor pentru studiul funcțiilor la extrem.
2. Diferenţialul unei funcţii, sensul ei geometric şi fizic.
3. Diferenţial complet al unei funcţii de mai multe variabile.
4. Starea corpului în funcție de multe variabile.
5. Calcule aproximative.
6. Găsirea derivatelor parțiale și diferențialelor totale.
7. Exemple de utilizare a acestor concepte în farmacocinetică, microbiologie etc.
(auto-pregătire)
1. răspunde la întrebări pe tema lecției;
2. rezolva exemple.
Exemple
Găsiți diferențele următoarelor funcții:
| 1) | 2)  | 3)  |
4)  | 5)  | 6) |
7)  | 8) | 9)  |
10)  | 11) | 12)  |
13)  | 14)  | 15) |
16)  | 17) | 18)  |
19)  | 20)  |
Utilizarea derivatelor pentru studiul funcțiilor
Condiție pentru ca funcția y = f(x) să crească pe intervalul [a, b]
Condiție pentru ca funcția y=f(x) să scadă pe segmentul [a, b]
Condiție pentru funcția maximă y=f(x)at x=a
f"(a)=0 și f"" (a)<0
Dacă la x=a derivatele f"(a) = 0 și f"(a) = 0, atunci este necesar să se studieze f"(x) în vecinătatea punctului x = a. Funcția y=f( x) la x=a are un maxim, dacă, la trecerea prin punctul x = a, derivata f"(x) își schimbă semnul din „+” în „-”, în cazul unui minim - din „-” la „+” Dacă f"(x) nu își schimbă semnul la trecerea prin punctul x = a, atunci în acest moment funcția nu are extremă
Diferenţial de funcţie.
Diferenţialul unei variabile independente este egal cu incrementul acesteia:
Diferenţialul funcţiei y=f(x)
Diferenţialul sumei (diferenţei) a două funcţii y=u±v
Diferenţialul produsului a două funcţii y=uv
Diferenţialul câtului a două funcţii y=u/v
dy=(vdu-udv)/v 2
Creșterea funcției
Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f"(x) Δx
unde Δx: - increment argument.
Calculul aproximativ al valorii funcției:
f(x + Δx) ≈ f(x) + f"(x) Δx
Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative
Diferenţialul este utilizat pentru a calcula erori absolute şi relative în măsurători indirecte u = f(x, y, z.). Eroarea absolută a rezultatului măsurării
du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…
Eroarea relativă a rezultatului măsurării
du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u
FUNCȚIE DIFERENȚIALĂ.
Diferenţialul unei funcţii ca parte principală a incrementului unei funcţii
Şi. Strâns legat de conceptul de derivată este conceptul de diferenţial al unei funcţii. Lasă funcția f(x) este continuă pentru valorile date Xși are o derivată 
D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), de unde incrementul funcției Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, Unde a(Dx)® 0 la Dх® 0. Să determinăm ordinea infinitezimalului f¢(x)Dx Dx.:
Prin urmare, infinitezimal f¢(x)DxŞi Dx au aceeași ordine de micime, adică f¢(x)Dx = O.
Să determinăm ordinea infinitezimalului a(Dх)Dх relativ la infinitezimal Dx:
Prin urmare, infinitezimal a(Dх)Dх are un ordin mai mare de micime comparativ cu infinitezimal Dx, adică a(Dx)Dx = o.
Astfel, incrementul infinitezimal Df functia diferentiabila poate fi reprezentata sub forma a doi termeni: infinitezimal f¢(x)Dx de aceeași ordin de micime cu Dxși infinitezimal a(Dх)Dх ordin mai mare al micimii comparativ cu infinitezimal Dx. Asta înseamnă că în egalitate Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx la Dх® 0 al doilea termen tinde spre zero „mai rapid” decât primul, adică a(Dx)Dx = o.
Primul mandat f¢(x)Dx, liniară în raport cu Dx, numit functie diferentiala f(x) la punct X si denota dy sau df(a se citi „de igrek” sau „de ef”). Aşa,
dy = df = f¢(x)Dx.
Sensul analitic al diferenţialului este că diferența unei funcții este partea principală a incrementului funcției Df, liniar în raport cu incrementul argumentului Dx. Diferenţialul unei funcţii diferă de incrementul unei funcţii printr-un infinitezimal de ordin mai mare al micşorării decât Dx. într-adevăr, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx sau Df = df + a(Dx)Dx . Argument diferential dx egal cu incrementul acestuia Dx: dx=Dx.
Exemplu. Calculați valoarea diferențială a unei funcții f(x) = x 3 + 2x, Când X variază de la 1 la 1,1.
Soluţie. Să găsim o expresie generală pentru diferența acestei funcții:
Înlocuirea valorilor dx=Dx=1,1–1= 0,1Şi x = 1în ultima formulă, obținem valoarea dorită a diferenţialului: df½ x=1; = 0,5.
DERIVATE PARȚIALE ȘI DIFERENȚIALE.
Derivate parțiale de ordinul întâi. Derivată parțială de ordinul întâi a funcției z = f(x,y ) prin argumentare Xîn punctul în cauză (x;y) numită limită
dacă există.
Derivată parțială a unei funcții z = f(x, y) prin argumentare X este indicată de unul dintre următoarele simboluri:
În mod similar, derivata parțială cu privire la la notat și definit prin formula:
Deoarece derivata parțială este derivata obișnuită a unei funcții a unui argument, nu este dificil de calculat. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați toate regulile de diferențiere avute în vedere până acum, ținând cont în fiecare caz care dintre argumente este luată ca „număr constant” și care servește ca „variabilă de diferențiere”.
Comentariu. Pentru a găsi derivata parțială, de exemplu, în raport cu argumentul x – df/dx, este suficient să găsim derivata obișnuită a funcției f(x,y), considerând-o pe aceasta din urmă o funcţie a unui singur argument X, A la– constantă; a găsi df/dy- viceversa.
Exemplu. Găsiți valorile derivatelor parțiale ale unei funcții f(x,y) = 2x 2 + y 2 la punct P(1;2).
Soluţie. Numărând f(x,y) funcția unui singur argument X iar folosind regulile de diferențiere, găsim
La punctul P(1;2) valoare derivată
Considerând f(x;y) o funcție a unui argument y, găsim
La punctul P(1;2) valoare derivată
SARCINA PENTRU MUNCA INDEPENDENTĂ A ELEVULUI:
Găsiți diferențele următoarelor funcții:
Rezolvați următoarele probleme:
1. Cât de mult va scădea aria unui pătrat cu latura x=10 cm dacă latura se micșorează cu 0,01 cm?
2. Ecuația mișcării corpului este dată: y=t 3 /2+2t 2, unde s este exprimat în metri, t este în secunde. Aflați traseul s parcurs de corp în t=1,92 s de la începutul mișcării.
LITERATURĂ
1. Lobotskaya N.L. Fundamente ale matematicii superioare - M.: „Școala superioară”, 1978.C198-226.
2. Bailey N. Matematică în biologie și medicină. Pe. din engleză M.: „Mir”, 1970.
3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. Culegere de probleme de fizică medicală și biologică - M.: „Școala Superior”, 1987. P16-20.
